Анализ мультивирусной эпидемической модели с учетом распространения информации

Введение 3
Обзор литературы 4
Цели и задачи 5
Глава 1. Методы вычисления базового репродуктивного числа . . 7
1.1. Метод матрицы следующего поколения 7
1.2. Другие подходы вычисления базового репродуктивного числа 8
1.2.1 Оператор следующего поколения 8
1.2.2 Roв периодической среде 8
1.2.3 Метод функции выживания для вычисления Ro 9
Глава 2. Анализ различных эпидемических моделей 10
2.1. Вычисление Ro для модели SEIR 10
2.1.1 Численный эксперимент 12
2.2. Вычисление Roдля модели SI1I2R 13
2.2.1 Численный эксперимент 16
2.3. Вычисление Roдля модели SWIRS 17
2.3.1 Численный эксперимент 22
Глава 3. Анализ некоторых реальных инфекций 24
3.1. Эпидемия гриппа в британской школе в 1978 году 24
3.2. Анализ коронавирусной инфекции 25
3.3. Модель распространения двух штаммов коронавируса: SARS-
CoV-2 и B.1.1.7 27
Глава 4. Выводы 28
Заключение 28
Список литературы

Купить

В настоящее время эпидемические модели могут быть использованы в качестве инструмента для описания многих окружающих нас процессов. К ним относятся распространение биологических вирусов в популяциях людей или животных, распространение информации в социальных сетях, распространение вредоносных программ в компьютерных сетях.
В современном мире благодаря математическому моделированию существует возможность анализировать процесс распространения вирусов и делать краткосрочные прогнозы в зависимости от наложения дополнительных условий. Такими условиями являются введение карантинной группы, снижение контактов между людьми, применение вакцин - все меры, направленные на исчезновение или замедление процесса распространения инфекции.
Изучаемая тема является актуальной на сегодняшний день в связи с продолжением распространения коронавирусной инфекции, вызывающей мутацию ее вирусов. В дипломной работе в качестве области применения эпидемических моделей рассматривается распространение инфекций, передающихся воздушно-капельным путем (грипп, коронавирус и другие респираторные заболевания).
В качестве базовой модели, описывающей процесс распространения эпидемического процесса, используется модель susceptible-infected-recovered (SIR)[1], в которой S- это доля восприимчивых, они не являются инфицированными, но с некоторой вероятностью могут стать ими при контакте с инфицированным агентом, I- это доля инфицированных - тех, кто заразился и в настоящий момент может распространять вирус дальше среди восприимчивых, R- доля агентов, получивших иммунитет после болезни. Предполагается, что такие люди временно не участвуют в передаче вируса в популяции. Также существует расширенная модель SIRS, в которой выздоровевшие агенты с некоторой вероятностью могут снова стать восприимчивыми к этому же вирусу.
В данной работе рассматриваются различные модификации модели SIRс добавлением новых групп. Такой тип эпидемических моделей позволяет легко описывать инфекционные заболевания. Популяция делится на группы в зависимости от состояний, в которых находятся агенты. Например, некоторые заболевания имеют длинный период латентности вируса (т. е. человек уже может являться инфицированным в течение некоторого промежутка времени, но у него еще нет симптомов, и он пока не способен распространять инфекцию дальше). В таком случае для моделирования эпидемического процесса вводится дополнительная группа, состоящая из тех, кто не имеет распознаваемых симптомов (E- exposed). Можно также рассмотреть случаи, когда в популяции циркулируют несколько видов вирусов, например, несколько модификаций вирусов гриппа, SARS-COV-2 и других респираторных инфекций. Такая ситуация возникает регулярно в течении эпидемического сезона. В данном случае для описания процесса добавляются еще несколько инфицированных состояний, каждое из которых соответствует доли зараженных этим вирусом. Частный случай такой модели - модель SI1I2R с двумя типами вирусов. Подробнее она будет рассмотрена в разделе 2.2.
Одним из важнейших показателей распространения эпидемии является базовое репродуктивное число, обозначаемое Ro, им называется коэффициент, отражающий среднее количество агентов, которые могут быть заражены одним инфицированным агентом в популяции, не имеющей иммунитета [2]. Если Ro> 1, то эпидемический процесс развивается, т. е. количество заболевших растет быстрее, чем процесс выздоровления, если Ro< 1, то распространение вирусов идет на спад.
Значение коэффициента Roзависит от длительности инфекционного периода, вероятности инфицирования при контакте восприимчивого агента с инфицированным и частоты контактов.
Обзор литературы
В рамках исследования было проанализировано несколько статей на тему базового репродуктивного числа. В статье канадского математика P. van den Driessche на примере простой SIR модели дано определение числа Ro, и уделено большое внимание одному из способов его вычисления - методу матрицы следующего поколения, который будет также описан в данной работе позже. Помимо SIR модели с помощью этого метода в статье были выведены формулы для расчета базового репродуктивного числа некоторых других эпидемических моделей: модели западного вируса Нила, холеры, модели передачи сибирской язвы и вируса Зика. Кроме этого сделан краткий обзор на другие методы вычисления Roи их особенности.
Метод матрицы следующего поколения был также описан в статьях J. H. Jones [3] и O. Diekmann [4] как основной метод вычисления R0.
В статье [5] дается описание эпидемической модели susceptible-warned- infected-recovered-susceptible (SWIRS), в которой рассматривается распространение компьютерных вирусов по узлам компьютерной сети. По сравнению с классической моделью здесь добавляется группа W, в которой находятся предупрежденные узлы, они проинформированы о распространении вируса и готовы применять специальные средства защиты. В дипломном проекте эта модель использовалась с точки зрения распространения биологических вирусов в популяции людей.
Большой пласт специализированной работы также посвящен изучению и анализу эпидемических моделей в различных средах [6], [7], [8], [9], [20].
Также было уделено внимание публикациям на тему базового репродуктивного числа для коронавирусной инфекции. В начале эпидемии (в период с 1-го января 2020 года по 7-е февраля 2020 года) было опубликовано 12 исследований, в которых оценивалось Roдля COVID-19. Значения варьировались от 1,4 до 6,49 при среднем значении 3,28 [10]. При этом в центре ВОЗ по эпидемиологии и контролю инфекционных заболеваний при Университете Гонконга при анализе эпидемической модели было обнаружено репродуктивное число Ro около 2,68 (с 95%-ым достоверным интервалом 2,47 - 2,86) [11]. На данный момент базовое репродуктивное число у коронавируса чуть более двух, оно меняется в зависимости от поведения людей и того, какие меры они предпринимают для защиты от инфекции (это касается и восприимчивых, и инфицированных).
Цели и задачи
Целью данной работы является вычисление и анализ базового репродуктивного числа Roдля трех эпидемических моделей SEIR, SI1I2R и SWIRS в зависимости от числа контактов в день; вероятности инфицирования; мутации одного вируса в другой (последнее для моделей с несколькими типами вирусов); влияние информации о распространении вируса на изменение числа контактов; а также использование полученных теоретических результатов для анализа коэффициента R0на примере инфекций гриппа и коронавируса.
В рамках заявленной цели в данной выпускной квалификационной работе были поставлены следующие задачи:
• Изучение метода матрицы следующего поколения для вычисления базового репродуктивного числа;
• Получение формулы для вычисления базового репродуктивного числа для моделей: SI-1I2R, SEIR, SWIRSметодом матрицы следующего поколения;
• Проведение численных экспериментов в среде MATLAB для определения зависимости базового репродуктивного числа от числа контактов в день; вероятности инфицирования; мутации одного вируса в другой (последнее для моделей с несколькими типами вирусов);
• Оценка влияния информации на поведение агентов для модели SWIRS;
• Исследование базового репродуктивного числа для эпидемических процессов на примере инфекций гриппа и коронавируса;
• Анализ полученных результатов.
Купить