Применение эволюционных методов для идентификации хаотических систем
|
Введение 4
1 Хаотические динамические системы 7
1.1 Определение динамической системы 7
1.2 Аттракторы динамических систем 7
2 Эволюционные алгоритмы 12
2.1 Принцип работы эволюционных алгоритмов 12
2.2 Алгоритм дифференциальной эволюции 14
3 Идентификация динамических систем с помощью
эволюционного алгоритма 17
3.1 Идентификация нехаотической динамической системы 17
3.2 Идентификация хаотической динамической системы 21
Заключение 35
Список литературы 36
Приложение 39
1 Хаотические динамические системы 7
1.1 Определение динамической системы 7
1.2 Аттракторы динамических систем 7
2 Эволюционные алгоритмы 12
2.1 Принцип работы эволюционных алгоритмов 12
2.2 Алгоритм дифференциальной эволюции 14
3 Идентификация динамических систем с помощью
эволюционного алгоритма 17
3.1 Идентификация нехаотической динамической системы 17
3.2 Идентификация хаотической динамической системы 21
Заключение 35
Список литературы 36
Приложение 39
Математическое моделирование реальных жизненных процессов имеет большое значение для лучшего понимания их функционирования и прогнозирования или моделирования их динамического поведения.
Теория динамических систем, которая исследует качественное поведение прикладных физических систем с помощью математических моделей, возникла в 19 веке благодаря таким ученым, как А. Пуанкаре [30] и А. М. Ляпунов [31]. Для моделирования динамических процессов требуется их анализ и понимание законов их эволюции. Можно построить модель, которая будет приближена к наблюдаемому в реальности процессу и выражена в математической форме в виде системы дифференциальных (или разностных) уравнений. Для некоторых эволюционных процессов (таких как маятник с трением, LC-осциллятор и т.д.) вывод точной математической модели не представляет большой трудности, однако адекватное математическое описание и моделирование сложных процессов (таких как динамика климата, динамика человеческого мозга и других биологических систем) является трудной задачей. Эта задача осложняется тем, что динамика исследуемых процессов может иметь стохастический или хаотический характер.
Одни из первых примеров хаотических динамических систем были описаны Э. Лоренцем [9] и М. Эно [10]. Два известных хаотических аттрактора, носящие их имена, являются одними из основных объектов исследования и "бенчмарков" теории хаоса в современной литературе. Хаотические системы обычно характеризуются следующими свойствами: чувствительностью к начальным условиям, топологическим перемешиванием и плотным вложением в хаотический аттрактор счетного числа неустойчивых пери-одических траекторий. В научных и инженерных исследованиях многие нелинейные процессы имеют хаотический характер; управление и синхронизация таких хаотических систем в последние годы интенсивно исследуются в большом количестве прикладных областей, таких как механика [33], биология [32], медицина [11], информатика [12-14] и др. При этом построение и дальнейшее исследование математической модели таких нелинейных процессов связано с нахождением параметров модели, позволяющих наиболее адекватно и точно промоделировать эволюцию процесса. Таким образом, задача оценки параметров становится одной из ключевых задач для управления и синхронизации хаотических систем.
Задачей идентификации (или реконструкции) хаотических динамических систем занимаются на данный момент многие ученые [24,25,28,29]. Данная задача заключается в построении приближенных или точных математических моделей динамических систем на основе экспериментальных данных. Первые методологии решения данной задачи стали развиваться в физике, в рамках численного моделирования экспериментов, а также в теории управления, в рамках проектирования модельных управляющих систем. В более общем плане проблема идентификации параметров лежит в основе многих прикладных задач обработки сигналов, направленных на извлечение информации из соответствующих временных рядов, таких как, например, радиолокационные, гидроакустические, сейсмические, речевые, коммуникационные или биомедицинские (ЭЭГ, ЭКГ, ЭМГ) сигналы [35].
Существуют две разновидности задачи идентификации: непараметрическая и параметрическая. В первом случае проблема идентификации связана с определением подходящей структуры модели, способной описывать наблюдаемые явления [1,26]. Параметрическая идентификация связана с использованием экспериментальных данных для оценки и восстановления некоторых параметров в рамках данной конкретной модели.
Для решения задачи идентификации параметров хаотической системы ряд исследований был сосредоточен на методах, основанных на синхронизации. Метод синхронизации на основе обратной связи и метод адаптивного управления были введены для оценки параметров нескольких хаотических систем [22], кроме того, предложенный подход был также использован для оценки одного параметра передатчика для передачи хаотического сигнала [23].
Так как идентификацию параметров системы можно представить в виде многомерной оптимизационной задачи, то появляется все больше ис-следований, в которых эту задачу пытаются решить различными методами оптимизации [27]. Применение классических численных методов поиска экстремума многоэкстремальных функций со сложным рельефом поверхностей уровня становится малоэффективным. В настоящее время большое внимание уделяется разработке приближенных методов глобальной оптимизации, которые позволяют найти решение «высокого качества» за приемлемое время. Среди них широкое распространение получили метаэвристические методы оптимизации, одной из разновидностей которых являются эволюционные алгоритмы [1].
Алгоритм дифференциальной эволюции - один из наиболее мощных стохастических алгоритмов реальной параметрической оптимизации, используемых в настоящее время. Первые исследования алгоритма появились в виде технического отчета Р. Сторна и К. Прайса [2], в котором данный алгоритм на тестовых функциях для оптимизации показал себя как сильный конкурент среди семейства эволюционных алгоритмов. Алгоритм довольно прост в реализации и универсален, поэтому является часто используемым инструментом для параметрической идентификации нелинейных динамических систем [29,34].
Целью данной выпускной квалификационной работы является развитие новых подходов на основе алгоритма дифференциальной эволюции для решения задачи идентификации хаотических динамических систем.
Данная выпускная квалификационная работа состоит из трех разделов: первые два раздела содержат основные определения, относящиеся к хаотическим динамическим системам, описание задачи идентификации и основные принципы работы эволюционных алгоритмов, в частности, алгоритма дифференциальной эволюции. В третьем разделе рассматривается применение алгоритма дифференциальной эволюции для нехаотической модели электродвигателя постоянного тока и хаотической системы Лоренца с классическими параметрами.
Теория динамических систем, которая исследует качественное поведение прикладных физических систем с помощью математических моделей, возникла в 19 веке благодаря таким ученым, как А. Пуанкаре [30] и А. М. Ляпунов [31]. Для моделирования динамических процессов требуется их анализ и понимание законов их эволюции. Можно построить модель, которая будет приближена к наблюдаемому в реальности процессу и выражена в математической форме в виде системы дифференциальных (или разностных) уравнений. Для некоторых эволюционных процессов (таких как маятник с трением, LC-осциллятор и т.д.) вывод точной математической модели не представляет большой трудности, однако адекватное математическое описание и моделирование сложных процессов (таких как динамика климата, динамика человеческого мозга и других биологических систем) является трудной задачей. Эта задача осложняется тем, что динамика исследуемых процессов может иметь стохастический или хаотический характер.
Одни из первых примеров хаотических динамических систем были описаны Э. Лоренцем [9] и М. Эно [10]. Два известных хаотических аттрактора, носящие их имена, являются одними из основных объектов исследования и "бенчмарков" теории хаоса в современной литературе. Хаотические системы обычно характеризуются следующими свойствами: чувствительностью к начальным условиям, топологическим перемешиванием и плотным вложением в хаотический аттрактор счетного числа неустойчивых пери-одических траекторий. В научных и инженерных исследованиях многие нелинейные процессы имеют хаотический характер; управление и синхронизация таких хаотических систем в последние годы интенсивно исследуются в большом количестве прикладных областей, таких как механика [33], биология [32], медицина [11], информатика [12-14] и др. При этом построение и дальнейшее исследование математической модели таких нелинейных процессов связано с нахождением параметров модели, позволяющих наиболее адекватно и точно промоделировать эволюцию процесса. Таким образом, задача оценки параметров становится одной из ключевых задач для управления и синхронизации хаотических систем.
Задачей идентификации (или реконструкции) хаотических динамических систем занимаются на данный момент многие ученые [24,25,28,29]. Данная задача заключается в построении приближенных или точных математических моделей динамических систем на основе экспериментальных данных. Первые методологии решения данной задачи стали развиваться в физике, в рамках численного моделирования экспериментов, а также в теории управления, в рамках проектирования модельных управляющих систем. В более общем плане проблема идентификации параметров лежит в основе многих прикладных задач обработки сигналов, направленных на извлечение информации из соответствующих временных рядов, таких как, например, радиолокационные, гидроакустические, сейсмические, речевые, коммуникационные или биомедицинские (ЭЭГ, ЭКГ, ЭМГ) сигналы [35].
Существуют две разновидности задачи идентификации: непараметрическая и параметрическая. В первом случае проблема идентификации связана с определением подходящей структуры модели, способной описывать наблюдаемые явления [1,26]. Параметрическая идентификация связана с использованием экспериментальных данных для оценки и восстановления некоторых параметров в рамках данной конкретной модели.
Для решения задачи идентификации параметров хаотической системы ряд исследований был сосредоточен на методах, основанных на синхронизации. Метод синхронизации на основе обратной связи и метод адаптивного управления были введены для оценки параметров нескольких хаотических систем [22], кроме того, предложенный подход был также использован для оценки одного параметра передатчика для передачи хаотического сигнала [23].
Так как идентификацию параметров системы можно представить в виде многомерной оптимизационной задачи, то появляется все больше ис-следований, в которых эту задачу пытаются решить различными методами оптимизации [27]. Применение классических численных методов поиска экстремума многоэкстремальных функций со сложным рельефом поверхностей уровня становится малоэффективным. В настоящее время большое внимание уделяется разработке приближенных методов глобальной оптимизации, которые позволяют найти решение «высокого качества» за приемлемое время. Среди них широкое распространение получили метаэвристические методы оптимизации, одной из разновидностей которых являются эволюционные алгоритмы [1].
Алгоритм дифференциальной эволюции - один из наиболее мощных стохастических алгоритмов реальной параметрической оптимизации, используемых в настоящее время. Первые исследования алгоритма появились в виде технического отчета Р. Сторна и К. Прайса [2], в котором данный алгоритм на тестовых функциях для оптимизации показал себя как сильный конкурент среди семейства эволюционных алгоритмов. Алгоритм довольно прост в реализации и универсален, поэтому является часто используемым инструментом для параметрической идентификации нелинейных динамических систем [29,34].
Целью данной выпускной квалификационной работы является развитие новых подходов на основе алгоритма дифференциальной эволюции для решения задачи идентификации хаотических динамических систем.
Данная выпускная квалификационная работа состоит из трех разделов: первые два раздела содержат основные определения, относящиеся к хаотическим динамическим системам, описание задачи идентификации и основные принципы работы эволюционных алгоритмов, в частности, алгоритма дифференциальной эволюции. В третьем разделе рассматривается применение алгоритма дифференциальной эволюции для нехаотической модели электродвигателя постоянного тока и хаотической системы Лоренца с классическими параметрами.
Основные результаты работы заключаются в следующем:
1. Для решения задачи параметрической идентификации изучен и реализован алгоритм дифференциальной эволюции: подобраны оптимальные параметры, реализована подходящая целевая функция;
2. Исследованы типичные методы для решения задачи параметрической идентификации на примере хаотической системы Лоренца;
3. Выявлены недостатки существующих решений задачи параметрической идентификации хаотических систем; реализован подход, основанный на вычислении спектра показателей Ляпунова, который в экспериментах показал лучшие результаты идентификации, по сравнению с существующими подходами.
В дальнейшем предполагается продолжить исследования в данном направлении, например, используя другие метаэврестические алгоритмы: как эволюционные (например, алгоритм самоорганизующейся миграции (SOMA)), так и алгоритмы оптимизации (метод адаптивного случайного поиска), а также разрабатывая более специальные целевые функции.
1. Для решения задачи параметрической идентификации изучен и реализован алгоритм дифференциальной эволюции: подобраны оптимальные параметры, реализована подходящая целевая функция;
2. Исследованы типичные методы для решения задачи параметрической идентификации на примере хаотической системы Лоренца;
3. Выявлены недостатки существующих решений задачи параметрической идентификации хаотических систем; реализован подход, основанный на вычислении спектра показателей Ляпунова, который в экспериментах показал лучшие результаты идентификации, по сравнению с существующими подходами.
В дальнейшем предполагается продолжить исследования в данном направлении, например, используя другие метаэврестические алгоритмы: как эволюционные (например, алгоритм самоорганизующейся миграции (SOMA)), так и алгоритмы оптимизации (метод адаптивного случайного поиска), а также разрабатывая более специальные целевые функции.