Актуальность темы. Решения большого количества практически важных задач адаптивного управления, машинного обучения, определения неявных характеристик систем, материалов и т. п. опираются на методы восстановления неизвестной зависимости по наблюдаемым экспериментальным данным. Их развитие можно найти в работах В. Н. Вапника, A. Я. Червоненскиса, В. Н. Фомина, А. Л. Фрадкова, В. А. Якубовича и других. Использование математических методов неразрывно связано с формированием моделей исследуемых явлений. Типичным подходом является выбор математической модели с включением в нее различных помех, относящихся, с одной стороны, к грубости математической модели и, с другой стороны, характеризующих неконтролируемые внешние возмущения объекта или системы.
При рассмотрении проблем оптимизации стохастическая постановка задачи часто является не только наиболее адекватной реальным процессам, но и, как правило, позволяет предлагать обоснованные алгоритмы решения для вычислительно сложных или плохо обусловленных задач. В последнее время в работах Б. Т Поляка, Д. Калафиоре, Р. Темпо, М. Кампи, Ф. Даббене, М. Вадисагара и многих других активно развиваются рандомизированные методы решения. Они обладают существенными достоинствами в сравнении с детерминированными методами. С одной стороны, в задачах требующих большого объема “перебора” вариантов алгоритмы, основанные на случайном выборе, позволяют за ограниченное время добиваться хороших результатов с определенной вероятностью. С другой стороны, возможность рандомизации процессов наблюдений позволяет во многих случаях избавиться от негативного влияния систематических погрешностей.
Теория оценивания неизвестных параметров при статистических неопределенностях достаточно хорошо развита в работах Л. Льюнга, Я. З. Цыпкина, Г. Кушнера, Д. Ина, Д. Спала и многих других. При случайной природе неопределенностей типичным подходом является оценивание неизвестных параметров системы на основе минимизации функционала среднего риска. В случае достаточно большого числа наблюдений системы со случайными параметрами возможно применение традиционного подхода, основанного на оценке методом наименьших квадратов. При этом для случайных помех результат имеет математическое обоснование, базирующееся на законе больших чисел и центральной предельной теореме.
Однако, существуют ситуации, когда нет возможности провести достаточное число наблюдений, обеспечивающее корректные условия применимости традиционных алгоритмов. Например, в работах C. В. Емельянова, В. И. Уткина, О. Н. Граничина и других в задачах адаптивного управления в условиях изменяющейся со временем структуры пространства состояний для оценки текущих значений неизвестных параметров системы есть только короткий промежуток времени, достаточный для того, чтобы провести небольшое количество наблюдений. Похожая ситуация может наблюдаться и при очень трудоемких испытаниях, проведение которых требует большого количества временных или материальных затрат. Еще одна проблема, с которой сталкиваются при синтезе законов управления,— недостаточная вариативность последовательности наблюдений. Например, если цель адаптивного управления состоит в минимизации отклонения вектора состояния системы от заданной траектории, то это часто приводит к вырожденной последовательности наблюдений, в то время как для успешного проведения идентификации неизвестных параметров системы должно быть обеспечено “разнообразие” наблюдений. Однако, в условиях неопределенностей при адаптивном управлении гибридными системами, системами с переключениями и, в более общем случае, при адаптивном управлении в условиях переменной структуры пространства состояний часто приходится принимать решение о текущих параметрах системы на основании конечного (и даже малого) набора наблюдений. Таким образом, необходимо разрабатывать методы оценивания неизвестных параметров систем, которые работоспособны при небольшом количестве данных наблюдений.
Одним из таких методов является метод знако-возмущенных сумм (Sign Perturbed Sums, SPS), позволяющий по малому числу наблюдений с заданной доверительной вероятностью получать доверительное множество для искомого параметра. Метод знако-возмущенных сумм сформулирован Б. Касаи, М. Кампи и Э. Вейером для многомерного линейного случая. Однако, для целого ряда практически важных задач актуально рассмотрение нелинейной зависимости.
В любом измерении присутствует не только случайная погрешность, но также и ошибка самого измерительного процесса — систематическая погрешность. При коротком интервале наблюдений в изменяющихся условиях трудно провести валидацию модели измерений для проведения “чистого” эксперимента без систематической погрешности. Существенным ограничением применимости метода знако-возмущенных сумм является предположение о симметричности относительно нуля вероятностного распределения случайных помех. Это актуализирует разработку алгоритмов оценивания, работоспособных в условиях произвольных внешних помех. В работах А. А. Сенова, О. Н. Граничина и других за счет рандомизации входных воздействий удалось в линейном случае ослабить условия независимости и симметричности помех наблюдения.
Практическая значимость состоит в том, что методы оценки неизвестных истинных значений параметров модели наблюдаемого процесса являются неотъемлемой частью стандартизации новых теоретических подходов для их последующего применения на практике. В частности, в задачах механики динамического разрушения в работах Н. Ф. Морозова, Ю. В. Петрова, А. А. Уткина изучается проблема определения значений параметра инкубационного времени разрушения материалов, позволяющего описывать прочность при динамических воздействиях, сила которых превосходит силу статического разрушения. Отличительной особенностью динамических испытаний является их большая трудоемкость, поэтому обычно для анализа имеется небольшое количество наблюдений, по которым нужно дать оценку значений целевых параметров.
Основные результаты:
1) метод знако-возмущенных сумм обобщен на нелинейный случай с симметричными независимыми внешними помехами и установлены условия, при которых обобщенный метод дает результирующее доверительное множество с задаваемой априори доверительной вероятностью;
2) модифицированный метод знако-возмущенных сумм обобщен на нелинейный случай при произвольных внешних помехах и установлены условия, при которых обобщенный метод дает результирующее доверительное множество с задаваемой априори доверительной вероятностью;
3) при малом наборе экспериментальных данных предложено и обосновано применение обобщенного метода знако-возмущенных сумм для расчетов доверительного интервала параметра инкубационного времени разрушения материала в динамических задачах механики разрушения, установлены условия, при которых предложенный метод дает результирующий доверительный интервал с задаваемой априори доверительной вероятностью.
