1 Введение 2
2 Математическая модель изгиба горизонтальной SD балки при чистом изгибе 4
2.1 Постановка задачи 4
2.2 Исследования НДС свободно опертой и консольной SD балок 5
2.3 Основные соотношения 10
2.3.1 Упругий случай 11
2.3.2 Пластический слой в зоне растяжения 12
2.3.3 Две зоны пластичности 13
3 Расчет упруго-пластического изгиба для стали А40ХM 14
3.1 Упругий случай 14
3.2 Пластический слой в зоне растяжения 17
3.3 Две зоны пластичности 19
4 Расчеты в пакете ANSYS 22
5 Заключение 23
Список литературы 25
Задачи проектирования и строительства требуют создания все более сложных математических моделей конструкций, учитывающих пластические свойства материалов. Основы математической теории пластичности определены в работах [1] [2]. Современные модели можно разделить на три группы. Первую группу составляют модели, в основу которых положена зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений или развивающихся деформаций, их называют разносопротивляющимися или разномодульными [3]. Вторая группа моделей определяет напряженно - деформированное состояние материалов за пределами упругого деформирования в зависимости от вида напряженного состояния [4]. Если при этом пределы текучести при растяжении или сжатии различаются, то такие материалы принято называть материалами с эффектом SD (strength-different) [5], в буквальном переводе — разнокрепкими.
Отечественные и зарубежные экспериментальные исследования [6] [7] показывают, что абсолютная разница в пределах текучести у материалов эффектом SD при растяжении и сжатии в разных направлениях может достигать 25-30%.
Введем новый параметр d как отношение предела текучести при сжатии одномерного образца as к пределу текучести при растяжении ае.
Построение предполагаемой математической модели изгиба SD-балок заключается в принятии ряда положений, в том числе гипотезы плоских сечений, одноосности нагружения, схемы идеальной пластичности [8]. Для задач изгиба в упругой стадии и при изотропном упруго-пластическом изгибе эти допущения позволяют построить точные решения, удовлетворяющие уравнениям равновесия и совместности деформаций [9]. В случае, когда точных решений построить не удается, математические задачи теории пластичности и нелинейной упругости можно рассматривать численно [10] или асимптотическими методами [11].
В данной работе построена математическая модель упруго-пластического изгиба горизонтальной балки прямоугольного поперечного сечения, находящейся под действием постоянного изгибающего момента. Использованы два варианта закрепления балки — свободное опирание и консоль. Материал балки предполагается пластически анизотропным, обладающим эффектом SD, когда пределы текучести при растяжении и сжатии материала балки различны.
На основе построенной модели решены две задачи упруго-пластического изгиба: чистый изгиб свободно опертой балки и изгиб консольной балки, а также проведено сравнение теоретического расчета и численного моделирования МКЭ.
Основываясь на классической теории изгиба балок и теории идеальной пластичности, задача решается аналитически. Получено дифференциальное уравнение для нахождения кривизны балки. В результате интегрирования получены точные решения для прогиба горизонтальной балки и определены значения изгибающего момента, вызывающего различные случаи НДС балки, в частности определены границы деформирования в упругой стадии, деформирование при образовании слоя пластичности при растяжении и образование двух слоев пластичности при растяжении и сжатии. Теоретические результаты подтверждены расчетом для материала с эффектом SD (сталь A 40XM).
Проведено исследование нарушения симметрии в развитии пластичности как следствия воздействия эффекта SD и сделаны численные оценки отклонения нейтральной оси балки от геометрической средней.
Результаты исследований дают новые критерии для возведения вертолетных площадок буровых платформ для шельфовой добычи углеводородов, увеличение их мощности и размеров.
