Моделирование информационных процессов в социальных сетях

Введение 3
Постановка задачи и целей 8
Глава 1. Эпидемические модели 10
1.1 Модель SIS 10
1.2 Модель SAIS 13
1.3 Модель GEMF 16
Глава 2. Модель распространения информации о налоговых проверках 21
2.1 Описание модели SIAP 21
2.2 Процедура моделирования процесса распространения информации модели SIAP 27
Глава 3. Численное моделирование 31
3.1 Первая серия экспериментов 31
3.2 Вторая серия экспериментов 35
3.3 Третья серия экспериментов 38
3.4 Четвертая серия экспериментов 41
3.5 Выводы 45
Заключение 47
Список литературы 48
Приложение 51

Купить

Математическое моделирование уже давно применяется для изучения распространения инфекционных заболеваний. С его помощью были созданы эпидемические модели — упрощенный способ описания передачи инфекционных заболеваний через отдельных лиц. Эпидемическое моделирование помогает исследовать процессы распространения вирусных заболеваний, выявлять их тенденции к дальнейшему развитию, искать решения предотвращения эпидемий в будущем.
Самыми первыми эпидемическими моделями являются детерминированные. При их использовании предполагается, что популяция разделена на группы, которые соответствуют стадиям развития болезни и размер популяции фиксирован.
Первая детерминированная модель была представлена в 1927 году в статье «Contribution to the mathematical theory of epidemics» [1]. В ней W. O. Kermack и A. G. McKendrick описали модель SIR (susceptible — infected — recovered). Она легла в основу математического моделирования эпидемических процессов, так как позволяет описывать распространение простых инфекционных заболеваний, которые включают в себя три основные группы, соответствующие стадиям болезни: S — восприимчивые, I — инфицированные, R — иммунные. Но также SIR легко адаптируется под более сложные виды эпидемий.
В современных исследованиях большое внимание уделяется модели SIS (susceptible — infected — susceptible) [2] — модификации SIR модели — так как она может рассматриваться как простейшая модель эпидемии, в которой популяция разделена на две группы: инфицированные и восприимчивые.
В последнее время детерминированные модели применяются все реже, так как имеют некоторые недостатки. Один из самых главных заключается в том, что детерминированные модели не учитывают влияние отдельных индивидов на эпидемический процесс. Данный факт не позволяет получить полноценное представление об эпидемическом процессе. Это приводит к тому, что используемая модель далека от реальности. Поэтому сейчас изучаются новые методы и модели, учитывающие взаимосвязи индивидов в популяции. Это необходимо для того, чтобы оценивать и, возможно, контролировать влияние каждого индивида в распространении инфекционного заболевания.
Модификация детерминированных моделей заключается в том, что распространение инфекционного заболевания рассматривается на графе с применением теории марковских процессов. Узлы графа обозначают агентов, а ребра графа — контакты. В этом случае говорят о точных или стохастических моделях. Такой метод исследования эпидемического процесса применяет Piet Van Mieghem в своей статье [3]. В ней автор получает дифференциальные уравнения для точных моделей SIR и SIS.
Модель SIR была тщательно изучена в работе «An individual-based approach to SIR epidemics in contact networks» [4]. В этой статье, на основе детерминированной модели SIR, авторы проводят сравнительный анализ нескольких видов моделей распространения инфекции на случайной сети. Также исследуют взаимосвязь топологии сети и спектра матрицы смежности с параметрами эпидемии. Еще одним примером исследования влияния топологии является статья «Networks and epidemic models» [5]. Однако, в ней авторы делают упор на определение взаимосвязи между динамикой эпидемического процесса и различными типами сетей: случайной сетью, решеткой, моделью малого мира. Понимание структуры сети является важным аспектом моделирования, так как учет реальных размеров сети обычно невозможен в силу ограниченности ресурсов.
Как правило, в задачах моделирования процессов сеть задается одним графом. Однако, при изучении эпидемий это не всегда может быть корректно, так как между индивидами в обществе возникают контакты разных видов. Поэтому следующей ступенью в изучении распространения инфекционных заболеваний встал вопрос об изменении одноуровневой сетевой модели. В связи с этим в задачах, требующих рассмотрения нескольких типов взаимодействий между агентами, необходимо использовать многоуровневые сети.
Авторы в работе «Generalized Epidemic Mean-Field Model for Spreading Processes Over Multilayer Complex Networks» [6] предлагают обобщенную модель GEMF (Generalized Epidemic Mean-Field), применимую к эпидемическим моделям, которые могут включать в себя любое число состояний и уровней сети. Таким образом, исследование процессов распространения становится более эффективным, при использовании такой модели.
К сожалению, анализ точных моделей довольно сложный, поэтому на практике используются аппроксимации точных моделей. Piet Van Mieghem в статье «The N-Nntertwined SIS epidemic network model» [7] предложил модель NIMFA (N-Intertwined mean-field approximation) — аппроксимацию точной модели SIS. В работе «Virus spread in Networks» [8] в общем виде моделируется процесс распространения вируса на сети с применением теории Маркова для эпидемии, которая имеет два возможных состояния (группы). Найдена система обыкновенных дифференциальных уравнений для модели NIMFA, а также проведен сравнительный анализ этой модели и аналогичной ей точной модели.
На сегодняшний день имеется много научных исследований, посвященных изучению точных эпидемических моделей и их аппроксимаций. Причин такого интереса к данной теме может быть несколько.
Во-первых, конечно, с развитием науки люди смогли искоренить определенные виды инфекционных заболеваний, некоторые научились контролировать и не допускать их распространения среди населения. Однако, все еще существуют инфекционные заболевания, способные привести к летальному исходу, а также появляются новые, не изученные виды вирусов, которые могут спровоцировать вспышку эпидемии. К тому же у вирусов, вызывающих инфекционные заболевания, возникают мутации. Эта проблема была исследована в статье «Optimal Control of Influenza Epidemic Model with Virus Mutations» [9]. В ней рассматривается вариант эпидемии вируса гриппа среди населения, когда за один эпидемический сезон вирус гриппа мутирует, что приводит к циркуляции уже двух типов вируса в одной популяции. Классическая модель SIR, которая обычно применяется для изучения этого заболевания, не приспособлена для такого вида постановки задачи. Поэтому необходимо модернизировать ее, чтобы она учитывала динамику не только эпидемического процесса среди населения, но и мутации вируса.
Во-вторых, существуют различные аппроксимационные методы, которые, в большинстве случаев, могут быть применимы ко множеству эпидемических моделей. Однако, на сегодняшний момент не существует наилучшего метода аппроксимации, поэтому до сих пор возникают новые.
В работах [10] - [11] рассматриваются аппроксимации с использованием как методов теории среднего поля для модели SIS: N-intertwined mean-field approximation (NIMFA), Heterogeneous mean-field method (HMF), Second-order NIMFA, так и методов Link percolation approach (LP), Message passing approach (MP). Каждый из методов имеет свои положительные и отрицательные стороны, поэтому необходимо выбирать тот, который применим к конкретной задаче.
В-третьих, на основе классических моделей создаются новые за счет исключения или добавления состояний, описывающих эпидемию. Поэтому, для любого процесса, поведение которого подобно эпидемическому, можно создать модель и изучить динамику этого процесса. Например, авторы F. D. Sahneh и C. Scoglio статьи «Epidemic Spread in Human Networks» [12] добавили новую группу A (alert - бдительный) к модели SIS и получили модель SAIS. Она предполагает, что восприимчивый индивидуум может перейти в бдительное состояние A с вероятностью уд, если он окружен инфицированными соседями, а из этого состояния в инфицированное (I) с вероятностью у < /3 , где /3 - вероятность перехода индивида из восприимчивого в инфицированное состояние.
Как уже говорилось, методы моделирования эпидемий могут также применяться вне эпидемиологии, расширяя тем самым область их применения и круг задач. Например, для изучения распространения информации в обществе, в задачах сетевой безопасности или в исследованиях вирусного маркетинга.
A. L.Hill, D. G. Rand, M. A. Nowak, N. A. Christakis провели интересное исследование, посвященное изучению распространения положительных и отрицательных эмоций у людей посредством социальных сетей. В статье «Emotions as infectious diseases in a large social network: the SISa model» [13] приводятся результаты этого исследования. Они предложили свою модель SISa, которая была получена на основе классической SIS модели, с помощью дополнительной стадии a, которая задает процесс спонтанной смены настроения у человека, который не зависит от контактов рассматриваемого индивида.
Например, в работе «Complete game-theoretic characterization of SIS epidemics protection strategies» [14] группа ученых используют аппроксимационную модель NIMFA для анализа процесса распространения вируса в полной сети. В этой статье формулируется задача о поиске оптимальной стратегии защиты игрока от вредоносного программного обеспечения. Для постановки задачи применяется не только теория эпидемического моделирования, но и теория игр заполнения [15].
Рассмотрим еще один пример использования эпидемических моделей вне эпидемиологии. Для качественного налогового контроля необходимо осуществлять налоговые проверки, направленные на выявление недобросовестных налогоплательщиков, которые деклалируют свои доходы не в полном объеме или не декларируют их вовсе. Проблема заключается в том, что проведение таких аудитов требует больших финансовых вложений. Поэтому для снижения расходов на проверки, а также для побуждения людей платить налоги, указывая весь доход, в работах [16] - [18] рассматривается возможность влияния на поведение налогоплательщиков с помощью распространения информации о предстоящем аудите.

Купить