Введение 2
1 Обзор литературы 3
1.1 Состав крови и физические свойства 3
1.2 Общая математическая модель 3
1.3 Одномерная модель течения жидкости 6
1.4 Выводы 7
2 Математические модели 8
2.1 Неньютоновские одномерные модели 8
2.2 Разностные схемы 9
2.3 Начальные и граничные условия 11
2.3.1 Начальные условия 11
2.3.2 Условия на входе в систему 11
2.3.3 Условия на выходе из системы 11
2.3.4 Условия в узлах сочленения и бифуркации 12
2.4 Результаты 12
3 Вычислительный эксперимент 13
3.1 Программа для расчётов 13
3.2 Выбор разностной схемы 14
3.3 Задача о течении в одиночном сосуде 17
3.3.1 Результаты 17
3.4 Задача о течении в сосуде с бифуркацией 19
3.4.1 Результаты 19
3.5 Задача о течении в системе из 37 сосудов 26
3.5.1 Влияние порядка разностных производных на точность решения 27
3.5.2 Результаты 29
3.6 Результаты и выводы 40
4 Заключение 41
Список литературы 43
Математическое моделирование в медицине является в настоящее время актуальным, поскольку модели позволяют делать прогнозы без вмешательства в организм. Так, исследование поведения пульсовых волн в сердечно-сосудистой системе, а также исследование влияния болезней на это поведение может предоставить ценную информацию для диагностики и лечения (например см. [1]). Анализ результатов моделирования при различных осложнениях может помочь не только в выявлении изменений в системе (а значит и причины наблюдаемого недуга), но и в выявлении взаимосвязей между различными параметрами сердечно-сосудистой системы, которые могут помочь в установке оптимальных методов лечения.
При моделировании течения в сосудистых системах, как правило, используются одномерные модели, которые получаются посредством осреднения трёхмерных уравнений гидродинамики [14]. В таких моделях актуальным является учёт такого важного свойства крови, как неньютоновость. Кровь является неньютоновской жидкостью из-за наличия внутренней структуры, что ведёт к зависимости вязкости от скорости сдвига. В данной работе исследуется влияние учета неньютоновости крови на получаемое решение в рамках одномерных моделей.
Таким образом цель данной работы состоит в построении и апробации одномерных математических моделей, учитывающих неньютоновские свойства крови. Для её достижения необходимо решить следующие задачи:
• Построение одномерных математических моделей течения крови как неньютоновской жидкости.
• Программная реализация алгоритмов численных методов.
• Анализ полученных результатов и сравнение моделей между собой.
В Главе 1 произведён обзор литературы: описана кровь и её свойства, рассмотрены трёхмерная и одномерная математические модели для описания движения кровотока, а также установлено влияние неньютоновости. В Главе 2 приведен математический аппарат, который необходим для получения решения на основе полученной математической модели: указываются используемые граничные и начальные условия, рассматриваются различные разностные схемы. В Главе 3 продемонстрированы результаты вычислительного эксперимента. В заключении представлены основные результаты и выводы по работе.
Таким образом в ходе работы были получены следующие основные результаты:
1. Представлены одномерные математические модели течения крови, учитывающие неньютоновские свойства.
2. Разработан комплекс программ , позволяющий проводить численное моделирование течения крови в сосудистых системах.
3. Проведено численное моделирование течений крови в различных сосудистых системах.
4. Проведено сравнение решений, получаемых для различных моделей.
По полученным результатам можно сделать следующие выводы:
1. Решения, соответствующие неньютоновским моделям, имеют следующие особенности:
(a) их отклонения от случая ньютоновской модели увеличиваются при удалении от входа в систему;
(b) эти отклонения увеличиваются при уплощении профиля скорости.
2. Решения для неньютоновских моделей соответствуют экспериментальным данным лучше, чем решение для ньютоновской модели.
