1 Введение. 4
2 Основные определения. 7
3 Пространство Ж2х[0; 1]. 10
4 Пространство Wk (R). 13
5 Пространства Соболева-Слободецкого 18
Список литературы 20
Рассмотрим пространство ограниченных аналитических функций в круге H1 (D). Сформулируем оригинальную проблему Пика об интерполяции:
Пусть fzj}n=1 - различные точки единичного круга D = {z 2 C : z < 1}, fwj}n=1
- комплексные числа. Когда существует функция ф и ; пространства H 1(D) такая, что
фящго) < 1,то есть sup ф^) < 1
zero
и ф является интерполирующей функцией, то есть
ф(^) = Wj 8 = 1..П.
В 1916 году Пик показал [8], что такая функция существует тогда и только тогда, когда матрица
) n
1 — Wj Wi I
1 - Zj Zi I
' i;j=1
положительно-полуопределена. Причём решение единственно тогда и только тогда, когда ранг этой матрицы строго меньше чем n, причём решение - это произведение Бляшке.
В 1927 г. Неванлинна описал множество решений в случае, когда ранг = n [9].
H1 (D) является пространством мультипликаторов для пространства H2 (D), которое является функциональным гильбертовым пространством. Воспроизводящее ядро для H2 (D) имеет вид:
k(z,C) = .
1 - Cz
С учетом этого факта описанную выше матрицу можно переписать в следующей форме:
{(1 - WjWi)k(zi,zj)} .
Рассмотрим теперь произвольное функциональное гильбертово пространство H на множестве X Пусть M(H) - соответствующее ему пространство мультипликаторов. Мы говорим, что пространство H обладает свойством Неванлинны- Пика (H 2 (NP)), если:
8 набора различных точек{zj}n=1 2 X, 8{Wj }n=1 2 C
из положительной-полуопределённости матрицы
{(1 - WjWi')k(zi,zj)} .
следует, что существует ф 2 M(H), такой, что:
||ф||м(H) < 1; ф(Л) = wj 8j = 1..п.
Нам потребуется усиленное свойство (CNP)(CompleteNevanlinna — Pick) которое мы определим ниже в разделе основных определений.
Интересным направлением в этой области является анализ того, какие пространства обладают свойством (CNP). Приведём несколько примеров:
1. Весовое пространство
H2(wn) = < f (z) = anzn — аналитическая в D : f ||2 = У^ an2wn < 1 > , где wn > 0 8n > 0. Весовое пространство обладает свойством (CNP) тогда и только тогда, когда веса удовлетворяют условию Шапиро-Шилдса [13]
1 М 1 П 1
= W0 ф bnz ,bn > 0. n
’ _ n=1
=0 Wn
Пространства с весом (п + 1)" при положительном а называются пространствами типа Дирихле (обладают свойством CNP(Mapman4,CaHfl6epr)[ll]), при отрицательных а - пространствами типа Бергмана, которые не обладают свойством (CNP)[1],
2. Локальные пространства Дирихле
D(P) = {f : f D(M) = fH + f,(z)2W^(z)dm(z) < i},
где ц - конечная положительная мера в замкнутом единичном круге,
1 - tz dd(t) . / 1 - z2 ,z - t 1 - t2 Jt z - t
- супергармническая функция. С.Шиморин установил [6], что они обладают свойством (CNP).
3. Пространство Арвесона H% это пространство аналитических функций в шаре Bn с C”, обладающее воспроизводящим ядром
k(x,y) = - 1 •
1 x, У/Сп
Оно обладает свойством (CNP).[1] Это ядро является универсальным в следующем смысле:
Для любого функционального гильбетова пространства H на множестве X, обладающего свойством (CNP), с воспроизводящим ядром kH(x,y), таким, что kH(x,y) = 0Vx, y 2 X существуют число n, инъекция b : X ! Bn, функция J(x) = 0 V x 2 X, такие, что
kH (х;У) = b(x)b(y)kH2 (b(x),b(y)):[l]
4. Пространство Соболева с весом на отрезке.
г1 к1
W2([0,1],w0>1) = {f—абс. непр. : f||2 = J jf(x)|2w0(x)dx+J |fz(x)|2w1(x)dx < 1g
где w0 2 C[0,1],w1 2 C 1[0,1] - положительные функции, обладает свойством (CNP)(n.KyHrren)[12], случай w0 = w1 = 1 рассмотрел Аглер [2].
Рассмотрим теперь пространство Соболева W2 (R) на прямой. Аглер доказал [2], что
W1(R) 2 (CNP)•
По аналогии с классическими пространствами Дирихле, следовало бы ожидать, что при увеличении гладкости свойство (CNP) должно сохраняться и для пространств Wk(R) при k > 1 (в пространствах Дирихле увеличивается а). Однако это не так. Основным результатом работы является доказательство отсутствия у пространства W22(R) свойства (CNP):
w22(r) 2 (cnp)•
Опр.Пространство Соболева-Слободецкого:
H• (R) = {/ : (1 + |y|2)2f(y) 2 L2(R)} .
Норма в пространстве Соболева-Слободецкого:
llf llH 2(R) = ||(1 + |у|2) 2 f(y)l|L2 (R).
Отметим, что
H 0(R) = L2(R).
Пространство L2 (R) не является функциональным гильбертовым пространством. При s < 0, пространство Hs(R) является пространством распределений. При s > 2 пространство вкладывается в пространство непрерывных функций [3] и является функциональным гильбертовым пространством. При целых s норма в Hs(R) эквивадентна норме в W2: (R) [3], и следовательно пространства Соболева W2s(R) и Соболева-Слободецкого Hs(R) совпадают как множества.
Скалярное произведение в Hs(R) имеет вид:
{f;9)H2(R) = (1 + lx2)sf(x)g(x)dx.
R
Г Г eixy
f (у] =< f;k(.,y) >H2(R= /(xje^dx = (1 + lxl2)sf (x) dx.
Jr Jr (1 + |x| )
To есть ядро равно:
e~ixykM=|-
При s = 2:
k(x, y) = C(1 + |x — y|)e-jx-yj.
Такое же ядро имеет пространство W22(R) с нормой:
llf ll2 = llf llL2(R) + 2||f 0||L2(R) + llf "||LW
Как показывают компьютерные вычисления, оно не обладает свойством (CNP). Для этого воспользуемся теоремой 1.2 и возьмём
xi = 1,x2 = 100, x3 = 200, x4 = 20.
k(xi,x4 )k(xi , x4) det 1 , —> = -3.609999518
k(xi,Xj )k(x4,x4) k ') i;j=1
Тогда
3
из чего следует, что эта матрица не является положительно определённой.
При s = 3: k(x,y) = C(3 + 3|x — y + |x — y|2)e x yj.
Компьютерные вычисления показывают, что это ядро также не обладает свой-
ством (CNP): x1 = 1,x2 = 100, x3 = 3,x4 = 4.
Тогда ( u, x)3
k(xi, x4)k(xj, x4)
det 1 - ’ } j 4 = -2.638624877.
k(xi, xj)k(x4, x4)
k i,j=i
