1 Введение 4
2 Постановка задачи и уравнения движения 5
3 Решение задачи с помощью принципа максимума Понтрягина 8
4 Связь полученного решения с неголономной механикой 9
5 Принцип Гаусса и обобщенный принцип
Гаусса 10
6 Решение задачи при помощи обобщенного
принципа Гаусса 12
7 Заключение 13
Список литературы 16
Одной из важнейших задач теории управления является задача нахождения оптимальной силы, переводящей механическую систему за требуемое время из одного фазового состояния, в котором заданы начальные обобщенные координаты и скорости, в конечное фазовое состояние с наперед заданными обобщенными координатами и скоростями. Если конечное фазовое состояние является состоянием покоя, то подобную задачу обычно называют задачей о гашении колебаний.
В данной работе для решения задачи гашения колебаний двухмассовой системы с пружиной используется новый метод, опирающийся на применение обобщенного принципа Гаусса [5]. Его результаты будут сравниваться с применением принципа максимума Понтрягина [1].
В данной работе найдено управление, переводящее двухмассовую систему с пружиной за заданное время в горизонтальном направлении на указанное расстояние из начального состояния покоя в конечное состояние покоя. Решение проводилось с помощью применения двух различных принципов, относящихся к разным областям механики — к теории управления и к неголономной механике. В первом случае применялся принцип максимума Понтрягина (первый метод), а во втором — обобщенный принцип Гаусса (второй метод).
Заметим, что при кратковременном движении оба метода дают практически одинаковые результаты (см. графики на рис.1), а в случае продолжительного движения результаты значительно различаются. Совпадение при кратковременном движении оправдывает применение метода из теории неголономной механики со связями высокого порядка для поставленных задач теории управления, так как результаты совпадают со значениями, полученными классическим путем на основе применения принципа максимума Понтрягина.
Если же движение оказывается длительным, то второй метод оказывается предпочтительнее первого, так как найденное управление раскачивает механическую систему меньше, чем при управлении, найденном классическим способом. Это можно объяснить тем, что в первом методе находится управление, содержащее гармоники с собственной частотой системы (безрамерная собственная частота системы !1 = 1), что стремится ввести систему в резонанс. В отличие от этого во втором методе управление отыскивается в виде полинома по времени, что обеспечивает сравнительно плавное движение системы.
Первый метод всегда находит управление, имеющее скачки в начале и в конце движения. Такие же скачки управления дает и второй метод при кратковременном движении, но при длительном движении при использовании обобщенного принципа Гаусса подобные скачки исчезают.
