Кубические нормальные формы, их классификация и фазовые портреты
|
АННОТАЦИЯ 3
1. Введение.
1.1. Постановка задачи 2
1.2. Линейная эквивалентность однородных кубических систем 4
1.3. Структурные формы 6
1.4. Нормированные структурные формы и допустимые множества 7
2. Однородные кубические системы с линейным общим множителем.
2.1. Запись и линейная эквивалентность систем при 1 = 1 9
2.2. Выделение канонических форм и их допустимых множеств 10
2.3. Выделение канонических и минимальных множеств для CFm,1 13
2.4. Три класса линейной эквивалентности систем при l = 1 18
2.5. Сведение систем из первых двух классов к CFm,1 (m = 2, 3, 4) 20
2.6. Сведение систем из третьего класса к CFm,1 23
2.7. Обобщение результатов для случая l = 1 31
3. Однородные кубические системы без общего множителя.
3.1. Выделение канонических форм и канонических множеств 34
3.2. Сведение исходной системы к каждой из CFm’0 при m = 2, 3 38
4. Топологическая классификация однородных кубических систем c l = 0.
4.1. Описание метода получения топологической классификации 42
4.2. Фазовые портреты систем с каждой из Cfm,0 при m = 2, 3 46
5. Заключение 47
Список литературы 48
1. Введение.
1.1. Постановка задачи 2
1.2. Линейная эквивалентность однородных кубических систем 4
1.3. Структурные формы 6
1.4. Нормированные структурные формы и допустимые множества 7
2. Однородные кубические системы с линейным общим множителем.
2.1. Запись и линейная эквивалентность систем при 1 = 1 9
2.2. Выделение канонических форм и их допустимых множеств 10
2.3. Выделение канонических и минимальных множеств для CFm,1 13
2.4. Три класса линейной эквивалентности систем при l = 1 18
2.5. Сведение систем из первых двух классов к CFm,1 (m = 2, 3, 4) 20
2.6. Сведение систем из третьего класса к CFm,1 23
2.7. Обобщение результатов для случая l = 1 31
3. Однородные кубические системы без общего множителя.
3.1. Выделение канонических форм и канонических множеств 34
3.2. Сведение исходной системы к каждой из CFm’0 при m = 2, 3 38
4. Топологическая классификация однородных кубических систем c l = 0.
4.1. Описание метода получения топологической классификации 42
4.2. Фазовые портреты систем с каждой из Cfm,0 при m = 2, 3 46
5. Заключение 47
Список литературы 48
1.1. Постановка задачи.
Рассматриваем вещественную двумерную однородную кубическую систему ОДУ
̇x = P (x), (1.1)
где x = (x1 x2), P =(P1(x) P2(x)) = (
a1x3 1 + b1x2 1x2 + c1x1x2 2 + d1x3 2
a2x3 1 + b2x2 1x2 + c2x1x2 2 + d2x3 2
), P1, P2 6 ≡ 0.
Пусть вещественная неособая линейная замена
x = Ly (det L <> 0) (1.2)
преобразует (1.1) в систему
̇y = ̃P (y) ( ̃Pi = ̃aiy3 1 + ̃biy2 1 y2 + ̃ciy1y2 2 + ̃diy3 2 , i = 1, 2). (1.3)
В работе [1] была поставлена задача определения и конструктивного построения кубических нормальных форм вида (1.3), которые можно получить из системы (1.1) посредством замен (1.2). Для этого потребовалось осуществить классификацию множества систем (1.1) путем разбиения векторных многочленов P(x) на классы линейной эквивалентности. Основные линейные инварианты были получены [1, раздел 2].
В [1, разделы 1.2-1.4] всесторонне изучены проблемы, возникающие при нормализации возмущенных систем с многочленами P в невозмущенной части, и выяснены условия, при которых они минимизируются. На основании проведенных исследований для каждого класса эквивалентности в [2, раздел 1] были разработаны структурные и нормировочные принципы, позволяющие вполне упорядочить многочлены р, получаемые в результате замены (1.2), и, тем самым, теоретически выделить в каждом классе образующую - самый простой векторный многочлен р, называемый канонической формой (КФ).
Оказалось, что любую КФ можно отождествить с матрицей коэффициентов многочлена р, расположение нулевых элементов в которой фиксировано, а для ненулевых должны быть указаны канонические множества, описывающие их допустимые значения. Систему с КФ в правой части естественно называть кубической нормальной формой.
Наряду с задачей практического нахождения всех КФ в [1,раздел 1.1] были поставлены также четыре дополняющие ее технические вычислительные задачи, позволяющие эффективно использовать разработанную классификацию на практике. Они заключаются в том, чтобы для каждой КФ в явном виде выписать:
a) условия на коэффициенты векторного многочлена P (x);
b) замену (1.2), преобразующую P(x) при указанных условиях в выбранную КФ;
c) получаемые при этом значения элементов КФ из канонического множества;
d) минимальное каноническое множество, в котором отсутствуют те значения элементов, от которых можно избавиться заменой (1.2), сохраняющей структуру КФ.
В [2, р. 2] все поставленные задачи решены в случае, когда многочлены P1 и Р2 пропорциональны, т. е. имеют общий множитель третьей степени.
В работах [3] и [4] задачи эти решены, когда многочлены P1 и Р2 имеют общий множитель второй степени.
Основная цель предлагаемой работы заключается в получении аналогичных результатов для случаев, когда Pi и Р2 обладают линейным общим множителем, и когда они взаимно просты. Эти результаты опубликованы в работах [5] и [6].
Следует иметь в виду, что большое количество символьных вычислений, связанных со всевозможными линейными преобразованиями однородных кубических систем, их нормировкой и выделением общего множителя различных степеней, а также с решением различных алгебраических систем и уравнений, высоких степеней с параметрами невозможно без применения символьной математики. Для этих целей используется аналитический пакет Maple. В нем был написан набор стандартных процедур, используя которые для доказательства практически каждого утверждения были созданы соответствующие программы Maple.
Кроме того, в работе [1,р. 1] можно найти более подробную постановку задачи, которая включает в себя:
1) вывод связующей системы для возмущенных систем, зависящей исключительно от коэффициентом многочлена P, и выделение тех групп коэффициентов P, обнуление которых облегчает решение связующей системы, а значит, позволяет осознанно сформулировать структурные и нормировочные принципы, положенные в основу классификации систем (1.1), и выделить в линейно эквивалентных классах систем простейшие: те, правые части которых образуют канонические формы;
2) описание метода резонансных уравнений, позволяющего для возмущенных систем с какой-либо КФ в невозмущенной части дать конструктивное определение обобщенной нормальной формы с очевидным доказательством ее существования и выписать в явном виде все возможные структуры обобщенных нормальных форм, разумеется только для тех КФ, для которых удается решить связующую систему или хотя бы выписать резонансные уравнения, гарантирующие ее совместность;
3) обсуждение проблем и имеющихся результатов в близких по постановке задачах, когда в системе (1.1) рассматриваются квазиоднородные векторные многочлены P (x) с определенными весами переменных или когда степени многочленов Pi и P2 принимают всевозможные значения от единицы до трех.
Также в работе рассматривается метод определения фазового портрета систем (1.1) с многочленами P1 и P2, не имеющими общего множителя, и проведена топологическая классификация соответствующих систем с простейшими КФ в правой части. Поведение траекторий системы исследуется на бесконечности с помощью проекции на сферу Пуанкаре (см. [7]) с целью определить топологическую структуру системы в целом.
Остановимся в заключение на структуре предлагаемой работы.
Во введении приведены необходимые для дальнейшего определения и результаты, полученные в работах [1, р. 2] и [2, р. 1].
Раздел 2 целиком посвящен случаю, когда многочлены Pi, P2 системы (1.1) имеют вещественный общий множитель степени один.
В 2.1-2.4 предложена удобная форма записи системы, множество систем разбивается на три линейно неэквивалентных класса, и приведен полный список канонических форм со своими допустимыми и каноническими множествами.
В 2.5-2.6 последовательно рассматривается каждый из трех классов. Доказываются соответствующие им леммы о сведении к каноническим формам.
В 2.7 собраны в единую теорему все полученные результаты для случая линейного множителя.
В разделе 3 рассматривается случай взаимно простых многочленов Pi, P2.
В 3.1 приведен список канонических форм cm < 4, где m - число ненулевых элементов формы, со своими каноническими множествами. К сожалению, получить КФ cm > 5 не представляется возможным из-за непреодолимых технических трудностей.
В 3.2 в исследован вопрос о том, при каких условиях исходная система сводится к какой-либо из выделенных канонических форм cm < 3. Для этого исходная система предварительно сводится к системе с одним нулевым коэффициентом и одним нормированным.
Наконец, в разделе 4 рассматривается задача определения фазового портрета системы (1.1) с P1, P2 без общего множителя.
В 4.1 кратко излагается способ исследования поведения траекторий системы на бесконечности, и указан метод получения топологической классификации.
В 4.2 получена топологическая классификация систем, соответствующих каноническим формам cm < 3, а именно: указаны фазовые портреты в круге Пуанкаре для всех значений параметров из канонических множеств.
1.2. Линейная эквивалентность однородных кубических систем.
Рассмотрим вещественную двумерную однородную кубическую систему
̇x = P (x) или ̇x = A q[3](x), (1.4)
в которой P = (P1 P2) = (
a1x3 1 + b1x2 1x2 + c1x1x2 2 + d1x3 2
a2x3 1 + b2x2 1x2 + c2x1x2 2 + d2x3 2
), A = (A1 A2) =(
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
),
x = colon (x1, x2), q[3](x) = colon (x3 1, x2 1x2, x1x2 2, x3 2), причем строки A1, A2 <> 0.
Соглашение 1.1. В дальнейшем для краткости матрицу коэффициентов А будем, отождествлять с системой (1.4) или говорить, что А порождает систему (1.4).
Определение 1.1. Любой однородный многочлен с вещественными коэффициентами, являющийся общим множителем P1 и P2, будем, обозначать P0. Общий множитель P0 максимальной степени l (l = 1,2, 3) будем, обознач,ать P0. При отсутствии общего множителя будем, считать, что l = 0.
Для векторов r = (r1 r2), s = (s1 s2) введем функцию δrs = ∣
r1 s1
r2 s2
∣ = r1s2 − r2s1.
Установить наличие или отсутствие общего множителя у любых двух многочленов позволяет функция R = R(P1, P2), называемая результантом:
R = ∣
a1 b1 c1 d1 0 0
0 a1 b1 c1 d1 0
0 0 a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2 0 0
0 a2 b2 c2 d2 0
0 0 a2 b2 c2 d2
∣ = δ3 ad + δ2 acδcd + δabδ2 bd − 2δabδadδcd − δabδbcδcd − δacδadδbd.
Утверждение 1.1. Многочлены P1, P2 имеют вещественный общий множитель P0 ненулевой степени тогда и только тогда, когда R(P1, P2) = 0.
Для упрощения системы (1.4) будем использовать линейные неособые замены
{
x1 = r1y1 + s1y2
x2 = r2y1 + s2y2
или x = Ly, L =(
r1 s1
r2 s2
), δ = det L <> 0. (1.5)
Пусть замена (1.5) преобразует систему (1.4) в систему
̇y = ̃P (y) или ̇y = ̃A q[3](y), (1.6)
где ̃P =( ̃P1 ̃P2) =(
̃a1y3 1 + ̃b1y2 1 y2 + ̃c1y1y2 2 + ̃d1y3 2
̃a2y3 1 + ̃b2y2 1 y2 + ̃c2y1y2 2 + ̃d2y3 2
), ̃A = (
̃a1 ̃b1 ̃c1 ̃d1
̃a2 ̃b2 ̃c2 ̃d2
).
Для многочленов ̃P1, ̃P2 по аналогии с R введем результат ̃R = R( ̃P1, ̃P2).
В [1, ð. 2.2] для системы (1.6) получены следующие формулы
̃P (y) = L−1 P (Ly) = L−1 Aq[3](Ly), ̃R = δ6R,
̃A = δ−1
(
δP (r)s s1δ∂P (r)/∂r1 s + s2δ∂P (r)/∂r2 s r1δ∂P (s)/∂s1 s + r2δ∂P (s)/∂s2 s δP (s)s
−δP (r)r −s1δ∂P (r)/∂r1 r − s2δ∂P (r)/∂r2 r −r1δ∂P (s)/∂s1 r − r2δ∂P (s)/∂s2 r −δP (s)r
) . (1.7)
Среди замен (1.5), преобразующих (1.4) в (1.6), выделим две специальные замены:
(
r1 0
0 s2
) - нормировка, ̃A = (
a1r2 1 b1r1s2 c1s2 2 d1s32/r1
a2r3 1 /s2 b2r2 1 c2r1s2 d2s2 2
); (1.8)
(
0 1
1 0
)
- перенумерация, ̃A =
(
d2 c2 b2 a2
d1 c1 b1 a1
). (1.9)
Замечание 1.1. Нормировка (1.8) имеет следующие особенности:
1) назовем a2,b1,c2, d1 элементами нечетного зигзага, a1,b2,c1,d2 - четного, тогда у всех элементов нечетного зигзага можно одновременно изменить знак, а у любого элемента из четного зигзага знак изменить нельзя;
2) любое из отношений a1/b2, bj,/c2, c1/d2 на диагоналях изменить нельзя.
Замечание 1.2. Если в системе, полученной после замены L = (r, s), потребуется перенумерация, то лучше в исходной системе сразу сделать замену L = (s,r).
В то же время перенумерация (1.9) позволяет договориться о следующем.
Соглашение 1.2. В дальнейшем, не уменьшая общности, будем, считать, что в системе (1.4) при l = 1, 2, 3, 22 2222
a2 1 + a2 2 <> 0, если a2 1 + a2 2 + d2 1 + d2 2 <> 0. (1.10)
1.3. Структурные формы.
Базовым понятием развиваемой теории является понятие структурной формы.
Определение 1.2. Вещественную матрицу A =
(
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
)
с ненулевыми строками будем называть объединенной структурой m-формой (m = 2, 8) и обозначать USFm (united structural form), если какие-либо m ее элементов отличны от нуля, а остальные равны нулю. Конечное множество, объединяющее все USFm, будем обозначать SUSFm (set of USFm).
Очевидно, что объединенные структурные m-формы отличаются одна от другой различным расположением мест для ненулевых элементов.
В дальнейшем для краткости любую USFm можно будет записывать по строкам, указывая в каждой строке только ненулевые элементы, напр.,
(
a1 0 c1 0
0 0 0 d2
) = (a1, c1; d2).
Рассмотрим всевозможные расстановки ненулевых элементов в SUSFm (т = 2, 8).
Определение 1.3. Индексом, элемента aij (i = 1, 2; j = 1, 2, 3, 4) матрицы, A будем называть число, стоящее на месте (i, j) в матрице
(
1 2 3 4
4 3 2 1
). В свою очередь, индексом k матрицы A будем называть сумму индексов ненулевых элементов A и при необходимости писать A[k]. Аналогично вводятся индексы строк A1 и A2.
В [2, 1.1] должным образом введены структурные принципы (СП), позволяющие вполне упорядочить конечное множество SUSF = ⋃ 8 m=2 SUSFm и, в том числе, все входящие в него пары USFm, получаемые друг из друга при перенумерации (1.9).
Определение 1.4. Из двух различных объединенных структурных m-форм, получаемых друг из друга, перенумерацией, форму, являющуюся согласно СП предшествующей, будем, называть структурной m-формой, при желании добавляя, основная, и обозначать SFm, а другую - дополнительной и обозначать SFm а (additional SF).
Очевидно, что имеется также определенное количество "симметричных" структурных m-форм, т.е. таких SFm, которые не изменяются в ходе перенумерации (1.9).
Поскольку любая пара, состоящая из основной и дополнительной структурных форм линейно эквивалентна, то "худшая" с точки зрения СП дополнительная форма самостоятельного интереса не представляет, но использовать ее иногда будет удобно.
Соглашение 1.3. Согласно введенной упорядоченности сопоставим любой основной структурной т-форм,е порядковый ном,ер г и будем, обозначать ее SFm, а дополнительную к ней структурную форм,у - SF™.
В [2, 1.1] приведен Список 1.1, состоящий из 120 упорядоченных структурных форм, входящих в SUSF.
Определение 1.5. Представителем произвольной SF™ будем, называть любую числовую матрицу, структура, нулей которой совпадает со структурой SF™.
Итак, любую SF™ можно трактовать как совокупность всех ее представителей.
Важная характеристика SF™ связана с определением всех возможных значений максимальной степени общего множителя P0 (см.опр. 1.1), который можно выносить в правой части порожденной этой структурной формой системы (1.4) при различных значениях ненулевых коэффициентов. Поэтому множество вещественных ненулевых значений элементов любой SF™ разобьем на непустые множества s™’z (0 ≤ l ≤ 3) следующим образом: s™’1 содержит те и только те значения элементов SF™, при которых в правой части системы (1.4), порожденной этой формой, можно вынести общий множитель P0.
Определение 1.6. Для любой SF™, задаваемой матрицей А, запись SFm’1 означает ту же матрицу А, но значения ее ненулевых элементов принадлежат s™1 <> 0.
Иными словами, SFT’1 объединяет тех и только тех представителей SF™, чьи элементы принадлежат s^ , или, что то же самое, SF I порождает только такие системы, правые части которых имеют общий множитель максимальной степени l.
Из определения (1.6) и теоремы 2.3 [1,2.6] вытекает следующее утверждение.
Утверждение 1.2. S F™’11 линейно не эквивалентна SF™’12 пр и 11 = l2, т. е. любые два представителя, SFm’11 и SFm’12 линейно не эквивалентны.
Если SF™ имеет только одно множество s™,l° = 0, то, очевидно, SF™’1° = SF™.
1.4. Нормированные структурные формы и допустимые множества.
Следующим шагом на пути к определению канонической формы станет введение понятия нормированной структурной формы, основанного на нормировке при помощи замены (1.8) всех представителей SF™’1 с целью получения на двух, как правило (см. зам. 1.1), должным образом выбранных местах единичных по модулю элементов.
В [2, 1.2] приведены нормировочные принципы (НИ) выбора нормируемых элементов матрицы А, позволяющие осуществить нормировку любой из 120 SF™, т. е. однозначно выбрать в ней места для нормируемых элементов и значения, которые должны получить элементы на этих местах после нормировки. При этом нормирующая замена (1.8) определяется однозначно для всех SF, кроме SF32’2 и SF42’2, для которых элемент s2 в замене произволен и может быть выбран, например, единицей (см. зам. 1.1).
Итак, представители любой SF™’1 (числовые матрицы заданной структуры с элементами из s™1) разбиваются на классы эквивалентности относительно нормирующих замен (1.8), а в качестве образующих берутся нормированные представители.
Определение 1.7. SF™’1 будем называть нормированной структурной формой и обозначать NSF™’1 (normalized SF), если она, объединяет только своих нормированных в соответствии с НП представителей.
Соглашение 1.4. Любую нормированную структурную форм,у А будем, записывать в виде аБ, где вынесенный из матрицы А множитель а равен знаку первого нормированного элемента. Оставшиеся ненормированными ненулевые элементы матрицы Б, если таковые имеются, будем, должным образом, выражать через переменные, называем,ые в дальнейшем параметрами NSF и функции от них. Также при необходимости будем, записывать NSF как функцию от своих параметров.
Тем самым, параметры NSF, обозначаемые u,v,w,... , всегда предполагаются отличными от нуля. Например, NSF 5,1 7 = NSF 5,1 7 (σ, u, v) = σ
(
u v v − u 0
1 0 0 1
), но при этом v <> u, иначе m <> 5.
Соглашение 1.4 позволяет в матрице Б, используемой в дальнейшем для нормализации возмущенных систем, получить максимальное количество единиц, а множитель а, если он окажется отрицательным, заменой времени можно сделать равным единице.
Так, SF 2,1 2 = (a1; c2) заменой (1.8) может быть сведена к NSF 2,1 2 = σ
(
1 0 0 0
0 0 1 0
)
с σ = sign a1. Здесь нормируемые элементы расположены на разных зигзагах, и согласно замечанию 1.1 на знак элемента из четного зигзага повлиять невозможно, поэтому он выносится в виде множителя σ. А знак нормируемого элемента из нечетного зигзага всегда можно сделать равным σ, что и требуется в НП.
Определение 1.8. Если все ненулевые элементы SF™’1 расположены только на одном, из зигзагов, из-за, чего второй нормированный элемент в матрице B при его наличии может равняться как единице, так и минус единице (будем, обозначать его н), то получаемую NSF будем называть двойственной и обозначать NSF™;1.
Отметим, что для NSF™’1 по сравнению с SF™’1 существенно облегчается практическое написание условий, фиксирующих максимальную степень l общего множителя.
Так, NSF5 7 = σ
(
u v w 0
1 0 0 1
)
есть NSF5’2 при — v, w = u; NSF5’1 при w = v — u; NSF5’°, если не выполняются перечисленные выше ограничения на параметры.
Определение 1.9. Значения, параметров, при которых определена, произвольная, NSF™’1, будем называть допустимыми. Объединение допустимых значений параметров для, каждой из форм, будем, называть допустимым множеством и обозначать 'ps™'1 (permissible set). Допустимое множество будем называть тривиальным и обозначать tps™’1 (trivial ps), если входящие в него параметры ограничений не имеют.
1.5. Канонические множества и канонические формы. Итак, рассмотрим произвольную NSF™’1 матрицу, имеющую m ненулевых элементов с заданным расположением, фиксирующим i - ее порядковый номер в SUSFm согласно введенным СП. Наконец, l - это степень общего множителя P0, который выносится из правой части системы, порожденной любым представителем NSF™’Z. Согласно утверждению 1.2 l инвариантна относительно линейных неособых замен.
Отметим, что получение нормированных структурных форм - это формальная работа, требующая только нормировки (1.8), т. е. замены, не затрагивающей структуры порождающей эти формы матрицы A.
Теперь же станем упрощать NSF™’1, сводя их посредством подходящих линейных неособых замен (1.5) при определенных значениях параметров из pjs™’1 к предшествующим структурным формам, т. е. к SF™’1 с n < m или с j < i при n = m.
В связи с этим следует иметь в виду следующие два соображения.
С одной стороны, практически каждая NSF™’1 может сводиться к предшествующим SF™’1, т. е. имеет "лишних" представителей, линейно эквивалентных каким-либо представителям предшествующих форм. Значения параметров, допускающие таких представителей, надо удалять из pSm’1.
С другой стороны, те NSF™’1, которые при всех допустимых значениях своих параметров линейно эквивалентны каким-либо предшествующим формам, самостоятельного интереса не представляют, поскольку не могут выступать в роли "простейших".
Определение 1.10. Непустое множество, содержащее те и только те значения, m.l трт.1 параметров из ps , при которых NSF линейно не эквивалентна никакой предшествующей SF, будем называть каноническим и обозначать cs™’1 (canonical set).
Определение 1.11. Любую NSF™’1 будем называть канонической формой и обозначатъ CF™’1 (canonical form), если ее параметры принадлежат cs™’1.
Таким образом, матрицы CF™’1 и NSF™’1 выглядят одинаково, но параметры CF™’1 принадлежат cs™’1 - это ps™1, из которого удалены те значения, параметров при которых представители NSF™’1 заменами (1.5) сводятся к предшествующим SF.
Утверждение 1.3. Любые две канонические формы линейно не эквивалентны.
Это очевидное утверждение означает, что никакие два представителя различных CF или, что то же самое, никакие две системы (1.4), порожденные соответствующими числовыми матрицами, не могут быть связаны линейной неособой заменой.
В ряде случаев канонические множества параметров удается дополнительно ограничить при помощи линейных замен, преобразующих CF в себя.
Определение 1.12. Каноническое множество любой CF™’1 будем называть минимальным и обозначать mcs™’1 (minimal cs), если найдена линейная неособая замена, ™’l преобразующая CF, в себя и позволяющая ограничить значения, элементов cs t , а именно, если это возможно, то хотя, бы, один из неединичных элементов получен ограниченным, сверху и (или) снизу и (или) зафиксирован зна,к м,ножител,я, а.
Таким образом, если CF™’1 не содержит параметров или их невозможно ограничить, то автоматически cs ™’1 = mcs™’1, т. е. является минимальным.
Определение 1.13. Множество, содержащее те значения параметров из cs i m,l, от которых удается, избавиться при помощи линейных неособых замен, переводящих CF i m,l в себя, будем называть дополнительным и обозначать acs i m,l (additional cs).
Тем самым, mcs i m,l = cs i m,l acs i m,l.
Соглашение 1.5. В дальнейшем,: 1) Запись “... ( = [ q V v1 ] ... у = [ &2 V v2 ] ... ” будет означать, что или ( = q, у = &2, или ( = v1, у = v2; 2) условие, заключенное в круглые скобки и записанное после другого условия, не является, требованием,, а, приводится в качестве напоминания для, лучшего восприятия последующих рассуждений; 3) в формулировках результатов отличие от нуля, выражений, стоящих в знаменателе, не является предположением,, а, устанавливается, в ходе доказательства.
Рассматриваем вещественную двумерную однородную кубическую систему ОДУ
̇x = P (x), (1.1)
где x = (x1 x2), P =(P1(x) P2(x)) = (
a1x3 1 + b1x2 1x2 + c1x1x2 2 + d1x3 2
a2x3 1 + b2x2 1x2 + c2x1x2 2 + d2x3 2
), P1, P2 6 ≡ 0.
Пусть вещественная неособая линейная замена
x = Ly (det L <> 0) (1.2)
преобразует (1.1) в систему
̇y = ̃P (y) ( ̃Pi = ̃aiy3 1 + ̃biy2 1 y2 + ̃ciy1y2 2 + ̃diy3 2 , i = 1, 2). (1.3)
В работе [1] была поставлена задача определения и конструктивного построения кубических нормальных форм вида (1.3), которые можно получить из системы (1.1) посредством замен (1.2). Для этого потребовалось осуществить классификацию множества систем (1.1) путем разбиения векторных многочленов P(x) на классы линейной эквивалентности. Основные линейные инварианты были получены [1, раздел 2].
В [1, разделы 1.2-1.4] всесторонне изучены проблемы, возникающие при нормализации возмущенных систем с многочленами P в невозмущенной части, и выяснены условия, при которых они минимизируются. На основании проведенных исследований для каждого класса эквивалентности в [2, раздел 1] были разработаны структурные и нормировочные принципы, позволяющие вполне упорядочить многочлены р, получаемые в результате замены (1.2), и, тем самым, теоретически выделить в каждом классе образующую - самый простой векторный многочлен р, называемый канонической формой (КФ).
Оказалось, что любую КФ можно отождествить с матрицей коэффициентов многочлена р, расположение нулевых элементов в которой фиксировано, а для ненулевых должны быть указаны канонические множества, описывающие их допустимые значения. Систему с КФ в правой части естественно называть кубической нормальной формой.
Наряду с задачей практического нахождения всех КФ в [1,раздел 1.1] были поставлены также четыре дополняющие ее технические вычислительные задачи, позволяющие эффективно использовать разработанную классификацию на практике. Они заключаются в том, чтобы для каждой КФ в явном виде выписать:
a) условия на коэффициенты векторного многочлена P (x);
b) замену (1.2), преобразующую P(x) при указанных условиях в выбранную КФ;
c) получаемые при этом значения элементов КФ из канонического множества;
d) минимальное каноническое множество, в котором отсутствуют те значения элементов, от которых можно избавиться заменой (1.2), сохраняющей структуру КФ.
В [2, р. 2] все поставленные задачи решены в случае, когда многочлены P1 и Р2 пропорциональны, т. е. имеют общий множитель третьей степени.
В работах [3] и [4] задачи эти решены, когда многочлены P1 и Р2 имеют общий множитель второй степени.
Основная цель предлагаемой работы заключается в получении аналогичных результатов для случаев, когда Pi и Р2 обладают линейным общим множителем, и когда они взаимно просты. Эти результаты опубликованы в работах [5] и [6].
Следует иметь в виду, что большое количество символьных вычислений, связанных со всевозможными линейными преобразованиями однородных кубических систем, их нормировкой и выделением общего множителя различных степеней, а также с решением различных алгебраических систем и уравнений, высоких степеней с параметрами невозможно без применения символьной математики. Для этих целей используется аналитический пакет Maple. В нем был написан набор стандартных процедур, используя которые для доказательства практически каждого утверждения были созданы соответствующие программы Maple.
Кроме того, в работе [1,р. 1] можно найти более подробную постановку задачи, которая включает в себя:
1) вывод связующей системы для возмущенных систем, зависящей исключительно от коэффициентом многочлена P, и выделение тех групп коэффициентов P, обнуление которых облегчает решение связующей системы, а значит, позволяет осознанно сформулировать структурные и нормировочные принципы, положенные в основу классификации систем (1.1), и выделить в линейно эквивалентных классах систем простейшие: те, правые части которых образуют канонические формы;
2) описание метода резонансных уравнений, позволяющего для возмущенных систем с какой-либо КФ в невозмущенной части дать конструктивное определение обобщенной нормальной формы с очевидным доказательством ее существования и выписать в явном виде все возможные структуры обобщенных нормальных форм, разумеется только для тех КФ, для которых удается решить связующую систему или хотя бы выписать резонансные уравнения, гарантирующие ее совместность;
3) обсуждение проблем и имеющихся результатов в близких по постановке задачах, когда в системе (1.1) рассматриваются квазиоднородные векторные многочлены P (x) с определенными весами переменных или когда степени многочленов Pi и P2 принимают всевозможные значения от единицы до трех.
Также в работе рассматривается метод определения фазового портрета систем (1.1) с многочленами P1 и P2, не имеющими общего множителя, и проведена топологическая классификация соответствующих систем с простейшими КФ в правой части. Поведение траекторий системы исследуется на бесконечности с помощью проекции на сферу Пуанкаре (см. [7]) с целью определить топологическую структуру системы в целом.
Остановимся в заключение на структуре предлагаемой работы.
Во введении приведены необходимые для дальнейшего определения и результаты, полученные в работах [1, р. 2] и [2, р. 1].
Раздел 2 целиком посвящен случаю, когда многочлены Pi, P2 системы (1.1) имеют вещественный общий множитель степени один.
В 2.1-2.4 предложена удобная форма записи системы, множество систем разбивается на три линейно неэквивалентных класса, и приведен полный список канонических форм со своими допустимыми и каноническими множествами.
В 2.5-2.6 последовательно рассматривается каждый из трех классов. Доказываются соответствующие им леммы о сведении к каноническим формам.
В 2.7 собраны в единую теорему все полученные результаты для случая линейного множителя.
В разделе 3 рассматривается случай взаимно простых многочленов Pi, P2.
В 3.1 приведен список канонических форм cm < 4, где m - число ненулевых элементов формы, со своими каноническими множествами. К сожалению, получить КФ cm > 5 не представляется возможным из-за непреодолимых технических трудностей.
В 3.2 в исследован вопрос о том, при каких условиях исходная система сводится к какой-либо из выделенных канонических форм cm < 3. Для этого исходная система предварительно сводится к системе с одним нулевым коэффициентом и одним нормированным.
Наконец, в разделе 4 рассматривается задача определения фазового портрета системы (1.1) с P1, P2 без общего множителя.
В 4.1 кратко излагается способ исследования поведения траекторий системы на бесконечности, и указан метод получения топологической классификации.
В 4.2 получена топологическая классификация систем, соответствующих каноническим формам cm < 3, а именно: указаны фазовые портреты в круге Пуанкаре для всех значений параметров из канонических множеств.
1.2. Линейная эквивалентность однородных кубических систем.
Рассмотрим вещественную двумерную однородную кубическую систему
̇x = P (x) или ̇x = A q[3](x), (1.4)
в которой P = (P1 P2) = (
a1x3 1 + b1x2 1x2 + c1x1x2 2 + d1x3 2
a2x3 1 + b2x2 1x2 + c2x1x2 2 + d2x3 2
), A = (A1 A2) =(
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
),
x = colon (x1, x2), q[3](x) = colon (x3 1, x2 1x2, x1x2 2, x3 2), причем строки A1, A2 <> 0.
Соглашение 1.1. В дальнейшем для краткости матрицу коэффициентов А будем, отождествлять с системой (1.4) или говорить, что А порождает систему (1.4).
Определение 1.1. Любой однородный многочлен с вещественными коэффициентами, являющийся общим множителем P1 и P2, будем, обозначать P0. Общий множитель P0 максимальной степени l (l = 1,2, 3) будем, обознач,ать P0. При отсутствии общего множителя будем, считать, что l = 0.
Для векторов r = (r1 r2), s = (s1 s2) введем функцию δrs = ∣
r1 s1
r2 s2
∣ = r1s2 − r2s1.
Установить наличие или отсутствие общего множителя у любых двух многочленов позволяет функция R = R(P1, P2), называемая результантом:
R = ∣
a1 b1 c1 d1 0 0
0 a1 b1 c1 d1 0
0 0 a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2 0 0
0 a2 b2 c2 d2 0
0 0 a2 b2 c2 d2
∣ = δ3 ad + δ2 acδcd + δabδ2 bd − 2δabδadδcd − δabδbcδcd − δacδadδbd.
Утверждение 1.1. Многочлены P1, P2 имеют вещественный общий множитель P0 ненулевой степени тогда и только тогда, когда R(P1, P2) = 0.
Для упрощения системы (1.4) будем использовать линейные неособые замены
{
x1 = r1y1 + s1y2
x2 = r2y1 + s2y2
или x = Ly, L =(
r1 s1
r2 s2
), δ = det L <> 0. (1.5)
Пусть замена (1.5) преобразует систему (1.4) в систему
̇y = ̃P (y) или ̇y = ̃A q[3](y), (1.6)
где ̃P =( ̃P1 ̃P2) =(
̃a1y3 1 + ̃b1y2 1 y2 + ̃c1y1y2 2 + ̃d1y3 2
̃a2y3 1 + ̃b2y2 1 y2 + ̃c2y1y2 2 + ̃d2y3 2
), ̃A = (
̃a1 ̃b1 ̃c1 ̃d1
̃a2 ̃b2 ̃c2 ̃d2
).
Для многочленов ̃P1, ̃P2 по аналогии с R введем результат ̃R = R( ̃P1, ̃P2).
В [1, ð. 2.2] для системы (1.6) получены следующие формулы
̃P (y) = L−1 P (Ly) = L−1 Aq[3](Ly), ̃R = δ6R,
̃A = δ−1
(
δP (r)s s1δ∂P (r)/∂r1 s + s2δ∂P (r)/∂r2 s r1δ∂P (s)/∂s1 s + r2δ∂P (s)/∂s2 s δP (s)s
−δP (r)r −s1δ∂P (r)/∂r1 r − s2δ∂P (r)/∂r2 r −r1δ∂P (s)/∂s1 r − r2δ∂P (s)/∂s2 r −δP (s)r
) . (1.7)
Среди замен (1.5), преобразующих (1.4) в (1.6), выделим две специальные замены:
(
r1 0
0 s2
) - нормировка, ̃A = (
a1r2 1 b1r1s2 c1s2 2 d1s32/r1
a2r3 1 /s2 b2r2 1 c2r1s2 d2s2 2
); (1.8)
(
0 1
1 0
)
- перенумерация, ̃A =
(
d2 c2 b2 a2
d1 c1 b1 a1
). (1.9)
Замечание 1.1. Нормировка (1.8) имеет следующие особенности:
1) назовем a2,b1,c2, d1 элементами нечетного зигзага, a1,b2,c1,d2 - четного, тогда у всех элементов нечетного зигзага можно одновременно изменить знак, а у любого элемента из четного зигзага знак изменить нельзя;
2) любое из отношений a1/b2, bj,/c2, c1/d2 на диагоналях изменить нельзя.
Замечание 1.2. Если в системе, полученной после замены L = (r, s), потребуется перенумерация, то лучше в исходной системе сразу сделать замену L = (s,r).
В то же время перенумерация (1.9) позволяет договориться о следующем.
Соглашение 1.2. В дальнейшем, не уменьшая общности, будем, считать, что в системе (1.4) при l = 1, 2, 3, 22 2222
a2 1 + a2 2 <> 0, если a2 1 + a2 2 + d2 1 + d2 2 <> 0. (1.10)
1.3. Структурные формы.
Базовым понятием развиваемой теории является понятие структурной формы.
Определение 1.2. Вещественную матрицу A =
(
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
)
с ненулевыми строками будем называть объединенной структурой m-формой (m = 2, 8) и обозначать USFm (united structural form), если какие-либо m ее элементов отличны от нуля, а остальные равны нулю. Конечное множество, объединяющее все USFm, будем обозначать SUSFm (set of USFm).
Очевидно, что объединенные структурные m-формы отличаются одна от другой различным расположением мест для ненулевых элементов.
В дальнейшем для краткости любую USFm можно будет записывать по строкам, указывая в каждой строке только ненулевые элементы, напр.,
(
a1 0 c1 0
0 0 0 d2
) = (a1, c1; d2).
Рассмотрим всевозможные расстановки ненулевых элементов в SUSFm (т = 2, 8).
Определение 1.3. Индексом, элемента aij (i = 1, 2; j = 1, 2, 3, 4) матрицы, A будем называть число, стоящее на месте (i, j) в матрице
(
1 2 3 4
4 3 2 1
). В свою очередь, индексом k матрицы A будем называть сумму индексов ненулевых элементов A и при необходимости писать A[k]. Аналогично вводятся индексы строк A1 и A2.
В [2, 1.1] должным образом введены структурные принципы (СП), позволяющие вполне упорядочить конечное множество SUSF = ⋃ 8 m=2 SUSFm и, в том числе, все входящие в него пары USFm, получаемые друг из друга при перенумерации (1.9).
Определение 1.4. Из двух различных объединенных структурных m-форм, получаемых друг из друга, перенумерацией, форму, являющуюся согласно СП предшествующей, будем, называть структурной m-формой, при желании добавляя, основная, и обозначать SFm, а другую - дополнительной и обозначать SFm а (additional SF).
Очевидно, что имеется также определенное количество "симметричных" структурных m-форм, т.е. таких SFm, которые не изменяются в ходе перенумерации (1.9).
Поскольку любая пара, состоящая из основной и дополнительной структурных форм линейно эквивалентна, то "худшая" с точки зрения СП дополнительная форма самостоятельного интереса не представляет, но использовать ее иногда будет удобно.
Соглашение 1.3. Согласно введенной упорядоченности сопоставим любой основной структурной т-форм,е порядковый ном,ер г и будем, обозначать ее SFm, а дополнительную к ней структурную форм,у - SF™.
В [2, 1.1] приведен Список 1.1, состоящий из 120 упорядоченных структурных форм, входящих в SUSF.
Определение 1.5. Представителем произвольной SF™ будем, называть любую числовую матрицу, структура, нулей которой совпадает со структурой SF™.
Итак, любую SF™ можно трактовать как совокупность всех ее представителей.
Важная характеристика SF™ связана с определением всех возможных значений максимальной степени общего множителя P0 (см.опр. 1.1), который можно выносить в правой части порожденной этой структурной формой системы (1.4) при различных значениях ненулевых коэффициентов. Поэтому множество вещественных ненулевых значений элементов любой SF™ разобьем на непустые множества s™’z (0 ≤ l ≤ 3) следующим образом: s™’1 содержит те и только те значения элементов SF™, при которых в правой части системы (1.4), порожденной этой формой, можно вынести общий множитель P0.
Определение 1.6. Для любой SF™, задаваемой матрицей А, запись SFm’1 означает ту же матрицу А, но значения ее ненулевых элементов принадлежат s™1 <> 0.
Иными словами, SFT’1 объединяет тех и только тех представителей SF™, чьи элементы принадлежат s^ , или, что то же самое, SF I порождает только такие системы, правые части которых имеют общий множитель максимальной степени l.
Из определения (1.6) и теоремы 2.3 [1,2.6] вытекает следующее утверждение.
Утверждение 1.2. S F™’11 линейно не эквивалентна SF™’12 пр и 11 = l2, т. е. любые два представителя, SFm’11 и SFm’12 линейно не эквивалентны.
Если SF™ имеет только одно множество s™,l° = 0, то, очевидно, SF™’1° = SF™.
1.4. Нормированные структурные формы и допустимые множества.
Следующим шагом на пути к определению канонической формы станет введение понятия нормированной структурной формы, основанного на нормировке при помощи замены (1.8) всех представителей SF™’1 с целью получения на двух, как правило (см. зам. 1.1), должным образом выбранных местах единичных по модулю элементов.
В [2, 1.2] приведены нормировочные принципы (НИ) выбора нормируемых элементов матрицы А, позволяющие осуществить нормировку любой из 120 SF™, т. е. однозначно выбрать в ней места для нормируемых элементов и значения, которые должны получить элементы на этих местах после нормировки. При этом нормирующая замена (1.8) определяется однозначно для всех SF, кроме SF32’2 и SF42’2, для которых элемент s2 в замене произволен и может быть выбран, например, единицей (см. зам. 1.1).
Итак, представители любой SF™’1 (числовые матрицы заданной структуры с элементами из s™1) разбиваются на классы эквивалентности относительно нормирующих замен (1.8), а в качестве образующих берутся нормированные представители.
Определение 1.7. SF™’1 будем называть нормированной структурной формой и обозначать NSF™’1 (normalized SF), если она, объединяет только своих нормированных в соответствии с НП представителей.
Соглашение 1.4. Любую нормированную структурную форм,у А будем, записывать в виде аБ, где вынесенный из матрицы А множитель а равен знаку первого нормированного элемента. Оставшиеся ненормированными ненулевые элементы матрицы Б, если таковые имеются, будем, должным образом, выражать через переменные, называем,ые в дальнейшем параметрами NSF и функции от них. Также при необходимости будем, записывать NSF как функцию от своих параметров.
Тем самым, параметры NSF, обозначаемые u,v,w,... , всегда предполагаются отличными от нуля. Например, NSF 5,1 7 = NSF 5,1 7 (σ, u, v) = σ
(
u v v − u 0
1 0 0 1
), но при этом v <> u, иначе m <> 5.
Соглашение 1.4 позволяет в матрице Б, используемой в дальнейшем для нормализации возмущенных систем, получить максимальное количество единиц, а множитель а, если он окажется отрицательным, заменой времени можно сделать равным единице.
Так, SF 2,1 2 = (a1; c2) заменой (1.8) может быть сведена к NSF 2,1 2 = σ
(
1 0 0 0
0 0 1 0
)
с σ = sign a1. Здесь нормируемые элементы расположены на разных зигзагах, и согласно замечанию 1.1 на знак элемента из четного зигзага повлиять невозможно, поэтому он выносится в виде множителя σ. А знак нормируемого элемента из нечетного зигзага всегда можно сделать равным σ, что и требуется в НП.
Определение 1.8. Если все ненулевые элементы SF™’1 расположены только на одном, из зигзагов, из-за, чего второй нормированный элемент в матрице B при его наличии может равняться как единице, так и минус единице (будем, обозначать его н), то получаемую NSF будем называть двойственной и обозначать NSF™;1.
Отметим, что для NSF™’1 по сравнению с SF™’1 существенно облегчается практическое написание условий, фиксирующих максимальную степень l общего множителя.
Так, NSF5 7 = σ
(
u v w 0
1 0 0 1
)
есть NSF5’2 при — v, w = u; NSF5’1 при w = v — u; NSF5’°, если не выполняются перечисленные выше ограничения на параметры.
Определение 1.9. Значения, параметров, при которых определена, произвольная, NSF™’1, будем называть допустимыми. Объединение допустимых значений параметров для, каждой из форм, будем, называть допустимым множеством и обозначать 'ps™'1 (permissible set). Допустимое множество будем называть тривиальным и обозначать tps™’1 (trivial ps), если входящие в него параметры ограничений не имеют.
1.5. Канонические множества и канонические формы. Итак, рассмотрим произвольную NSF™’1 матрицу, имеющую m ненулевых элементов с заданным расположением, фиксирующим i - ее порядковый номер в SUSFm согласно введенным СП. Наконец, l - это степень общего множителя P0, который выносится из правой части системы, порожденной любым представителем NSF™’Z. Согласно утверждению 1.2 l инвариантна относительно линейных неособых замен.
Отметим, что получение нормированных структурных форм - это формальная работа, требующая только нормировки (1.8), т. е. замены, не затрагивающей структуры порождающей эти формы матрицы A.
Теперь же станем упрощать NSF™’1, сводя их посредством подходящих линейных неособых замен (1.5) при определенных значениях параметров из pjs™’1 к предшествующим структурным формам, т. е. к SF™’1 с n < m или с j < i при n = m.
В связи с этим следует иметь в виду следующие два соображения.
С одной стороны, практически каждая NSF™’1 может сводиться к предшествующим SF™’1, т. е. имеет "лишних" представителей, линейно эквивалентных каким-либо представителям предшествующих форм. Значения параметров, допускающие таких представителей, надо удалять из pSm’1.
С другой стороны, те NSF™’1, которые при всех допустимых значениях своих параметров линейно эквивалентны каким-либо предшествующим формам, самостоятельного интереса не представляют, поскольку не могут выступать в роли "простейших".
Определение 1.10. Непустое множество, содержащее те и только те значения, m.l трт.1 параметров из ps , при которых NSF линейно не эквивалентна никакой предшествующей SF, будем называть каноническим и обозначать cs™’1 (canonical set).
Определение 1.11. Любую NSF™’1 будем называть канонической формой и обозначатъ CF™’1 (canonical form), если ее параметры принадлежат cs™’1.
Таким образом, матрицы CF™’1 и NSF™’1 выглядят одинаково, но параметры CF™’1 принадлежат cs™’1 - это ps™1, из которого удалены те значения, параметров при которых представители NSF™’1 заменами (1.5) сводятся к предшествующим SF.
Утверждение 1.3. Любые две канонические формы линейно не эквивалентны.
Это очевидное утверждение означает, что никакие два представителя различных CF или, что то же самое, никакие две системы (1.4), порожденные соответствующими числовыми матрицами, не могут быть связаны линейной неособой заменой.
В ряде случаев канонические множества параметров удается дополнительно ограничить при помощи линейных замен, преобразующих CF в себя.
Определение 1.12. Каноническое множество любой CF™’1 будем называть минимальным и обозначать mcs™’1 (minimal cs), если найдена линейная неособая замена, ™’l преобразующая CF, в себя и позволяющая ограничить значения, элементов cs t , а именно, если это возможно, то хотя, бы, один из неединичных элементов получен ограниченным, сверху и (или) снизу и (или) зафиксирован зна,к м,ножител,я, а.
Таким образом, если CF™’1 не содержит параметров или их невозможно ограничить, то автоматически cs ™’1 = mcs™’1, т. е. является минимальным.
Определение 1.13. Множество, содержащее те значения параметров из cs i m,l, от которых удается, избавиться при помощи линейных неособых замен, переводящих CF i m,l в себя, будем называть дополнительным и обозначать acs i m,l (additional cs).
Тем самым, mcs i m,l = cs i m,l acs i m,l.
Соглашение 1.5. В дальнейшем,: 1) Запись “... ( = [ q V v1 ] ... у = [ &2 V v2 ] ... ” будет означать, что или ( = q, у = &2, или ( = v1, у = v2; 2) условие, заключенное в круглые скобки и записанное после другого условия, не является, требованием,, а, приводится в качестве напоминания для, лучшего восприятия последующих рассуждений; 3) в формулировках результатов отличие от нуля, выражений, стоящих в знаменателе, не является предположением,, а, устанавливается, в ходе доказательства.
Таким образом, полностью решены все поставленные в [1] задачи классификации для случая l = 1 : в списке 2.1 представлены все канонические формы со своими каноническими множествами значений параметров, в теореме 2.2 для каждой из канонических форм даны условия на коэффициенты исходной системы, замены, сводящие систему в соответствующую форму, получаемые значения коэффициентов формы.
Для систем (1.1) c l = 0 задача решена частично: в списке 3.1 представлены канонические формы c m < 4 со своими каноническими множествами значений параметров, в лемме 3.4 и теореме 3.1 для канонических форм c m < 3 содержатся условия на коэффициенты исходной системы, замены, сводящие систему в соответствующую форму, получаемые значения коэффициентов формы. Для канонических форм c m < 3 также получена топологическая классификация в круге Пуанкаре для всех возможных значений параметров.
В завершение, отметим работы по топологической классификации однородных полиномиальных систем с использованием проекции на сферу Пуанкаре.
В работе [8] множество систем (4.1) разбито на десять линейно неэквивалентных классов с явно выписанными образующими, после чего для представителей каждого из классов при l = 0 найдены все возможные фазовые портреты в круге Пуанкаре. Также в ней приведен общий список всех фазовых портретов однородных кубических систем.
В [9] проведена классификация и получены фазовые портреты в круге Пуанкаре двумерных квадратично-кубических однородных систем, не имеющих общего множителя.
Для систем (1.1) c l = 0 задача решена частично: в списке 3.1 представлены канонические формы c m < 4 со своими каноническими множествами значений параметров, в лемме 3.4 и теореме 3.1 для канонических форм c m < 3 содержатся условия на коэффициенты исходной системы, замены, сводящие систему в соответствующую форму, получаемые значения коэффициентов формы. Для канонических форм c m < 3 также получена топологическая классификация в круге Пуанкаре для всех возможных значений параметров.
В завершение, отметим работы по топологической классификации однородных полиномиальных систем с использованием проекции на сферу Пуанкаре.
В работе [8] множество систем (4.1) разбито на десять линейно неэквивалентных классов с явно выписанными образующими, после чего для представителей каждого из классов при l = 0 найдены все возможные фазовые портреты в круге Пуанкаре. Также в ней приведен общий список всех фазовых портретов однородных кубических систем.
В [9] проведена классификация и получены фазовые портреты в круге Пуанкаре двумерных квадратично-кубических однородных систем, не имеющих общего множителя.
