Введение 4
Обзор литературы 5
Постановка задачи 6
Глава 1. Основные математические методы 8
1.1. Основные методы построения оптимального управления 8
1.1.1 Принцип максимума Понтрягина 9
1.1.2 Равновесие по Нэшу 10
1.2. Ценность информации 10
Глава 2. Задача оптимального управления с линейной динамикой 12
2.1. Кооперативное решение 12
2.2. Ценность информации о граничных условиях для кооперативной игры 14
2.3. Равновесие по Нэшу 16
2.4. Сравнительный анализ 19
Глава 3. Задача оптимального управления с нелинейной динамикой 20
3.1. Кооперативное решение 20
3.2. Ценность информации о граничных условиях для кооперативной игры 23
3.3. Равновесие по Нэшу 25
3.4. Сравнительный анализ 28
Глава 4. Теоретико-игровая задача добычи невозобновляемого ресурса на примере угледобывающих предприятий Кузнецкого угольного бассейна 29
4.1. Параметры модели 30
4.2. Оптимальные управления игроков 31
4.3. Оптимальная траектория 32
4.4. Выигрыши игроков 33
4.5. Ценность информации при кооперативном случае для примера с линейной динамикой 34
Выводы 36
Заключение 37
Список литературы 38
Многие задачи конфликтного управления могут быть разрешены с помощью теории игр. Задачи развиваются с течением времени, поэтому удобно рассматривать динамические математические модели. Дифференциальные игры являются удобными моделями для разрешения ряда задач в экологии, экономике и в других сферах жизнедеятельности.
В данной работе рассматривается теоретико-игровая задача добычи невозобновляемых ресурсов. Модель конфликтного управления построена для случая, где выигрыш игрока задается функционалом в форме Лагранжа, и накладываются граничные условия при кооперативном и некооперативном сценариях. При этом динамика, которая описывает общий уровень запаса ресурсов, имеет линейный и нелинейный вид. Более того, рассматривается влияние располагаемой информации о граничных условиях на величины выбираемых оптимальных управлений, и далее на соответствующие выигрыши. Это влияние исследуется через введение понятия «ценность информации».
Работа имеет следующую структуру. В Главе 1 описываются основные модели и математические методы построения управления. Рассматриваются две модели управления с линейной и нелинейной динамиками. Управления строятся по принципу максимума Понтрягина и равновесные по Нэшу. Вводится новая характеристика - ценность информации.
В Главах 2 и 3 строятся управления по методам описанным в Главе 1. Сперва строятся кооперативные управления, соответствующие им траектории и выигрыши для модели с линейной динамикой. Рассматривается влияние неточной информации о начальном уровне ресурсов и о граничных условиях при кооперативном сценарии. Далее, строятся управления равновесные по Нэшу, соответствующие им траектории и выигрыши. Аналогичные результаты для модели с нелинейной динамикой описываются в Главе 3.
В Главе 4 рассматривается практическая реализация модели для данных трех предприятий, добывающих ресурсы в Кузнецком угольном бассейне. Приближенная модель основывается на теоретических рассуждениях из Главы 2.
В данной работе рассматриваются две теоретические модели задачи эксплуатации невозобновляемых ресурсов с кооперативным и некооперативным сценариями. Выигрыши задаются функционалом в форме Лагранжа, при этом динамика рассматривается в линейном и нелинейном видах. Задаются граничные условия, которые соответствуют общему уровню добываемых ресурсов в начальный и конечный моменты времени. В рамках задач получены оптимальные управления, соответствующие им траектории и выигрыши. Понятие «ценность информации» применяется для оценки влияния неточной информации о граничных условиях для фазовой переменной на результирующие оптимальные управления и выигрыши. Для каждой задачи с кооперативным сценарием рассматриваются два случая неопределенности в зависимости от параметров, которые соответствуют точности располагаемой информации о граничных условиях для фазовой переменной. Теоретические результаты демонстрируются на примере добычи минерального ресурса.
