ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ О РАЗРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ РЕГРЕССИИ И ИНТЕНСИВНОСТИ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССА

Введение 3
Глава 1. Критерий проверки разрывности функции условной медианы 6
1.1. Необходимые определения 6
1.2. Постановка задачи 7
1.3. Построение критерия 8
1.4. Моделирование для проверки результатов 11
1.4.1. Описание модели 11
1.4.2. Моделирование 12
1.5. Перестановочный вариант критерия 17
1.5.1. Построение критерия 17
1.5.2. Моделирование 18
1.6. Сравнение критериев 19
1.6.1. Постановка сравнения 19
1.6.2. Моделирование 20
Глава 2. Критерий проверки разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса 22
2.1. Необходимые определения 22
2.2. Построение критерия 23
2.3. Моделирование 26
Заключение 29
Список литературы 30
Приложение А. Доказательства утверждений 32
А.1. Доказательство утверждения 1.1 32
А.2. Доказательство утверждения 2.1 38
Приложение Б. Описание методов, примененных в моделировании 1.4.2 42
Б.1. Отзеркаливание ядерной оценки плотности 42
Б.2. Исправление ширины окна 42
Приложение В. Теория, использованная в главе 1 44
В.1. Об асимптотической нормальности 44
В.2. О построении перестановочного критерия 45

Купить

Задача о проверке непрерывности или разрывности функций в статистике имеет множество приложений как в случае распределений случайных величин, так и процессов и временных рядов. В класс рассматриваемых функций входят функция регрессии одной случайной величины на другую и плотность интенсивности пуассоновского процесса.
Задача о разрывности функции регрессии исследована в большом количестве работ, связанных с общественными науками. Впервые идея проверки гипотезы о разрывности появилась в психологии [1], но также нашла применение в исследованиях в экономической [2], образовательной [3], политической [4] и прочих сферах. В работе [5] для функции регрессии, представленной как условное математическое ожидание, получены асимптотические свойства статистики критерия проверки гипотезы о непрерывности.
Задача о проверке разрывности функции плотности интенсивности пуассоновского процесса входит в круг задач, имеющих отношение к обнаружению разладок (в англоязычной литературе change-point analysis')в процессах и временных рядах. Задачи такого рода встречаются в таких дисциплинах, как акустика [6], геномика [7], океанография [8] и т.д. Методы обнаружения сводят эту задачу к максимизации функции логарифмического правдоподобия [9, 10] или к статистической проверке гипотез [11,12]. Насколько известно автору, непараметрическая проверка рассматриваемой гипотезы о разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса ещё не изучалась.
В рамках данной работы предложен и изучен в плане асимптотических свойств непараметрический критерий проверки гипотезы разрывности функции регрессии, построенный на основе оценки условной медианы, а также построена и изучена его модификация на основе теории перестановочных критериев для малых объёмов выборки. Также предложен и изучен непараметрический критерий проверки гипотезы о разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса. В основу критериев положено ядерное оценивание регрессии и плотности интенсивности, а также используется перестановочный подход построения критериев.
Цели работы:
• Изучить литературу о свойствах ядерных оценок и построении на их основе перестановочных критериев;
• Построить непараметрический критерий проверки гипотезы о разрывности функции регрессии на основе ядерной оценки условной медианы, изучить его асимптотические свойства аналитически и построить его перестановочную модификацию;
• Сравнить в моделировании построенный критерий с известным, представленным в литературе критерием, построенным на основе оценки условного матожидания;
• Построить непараметрический критерий проверки гипотезы о разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса с использованием ядерной оценки разрыва плотности интенсивности и аналитически изучить его асимптотические свойства;
• Для всех построенных критериев провести моделирование для валидации теоретических результатов.
Организация работы:
Глава 1 данной работы относится к построению и изучению критерия проверки гипотезы разрывности функции регрессии, построенного на основе оценки условной медианы, и его статистики. Раздел 1.1 содержит необходимые определения и обозначения, относящиеся к этой главе. Раздел 1.2 приводит постановку задачи проверки гипотезы о разрывности функции регрессии в виде условной медианы. Раздел 1.3 посвящен построению критерия проверки этой гипотезы, для которого в этом разделе сформулировано основное утверждение о предельном распределении и дисперсии его статистики. В разделе 1.4 приведены результаты моделирования на модельных данных, подтверждающего теоретические результаты, полученные в разделе 1.3. Перестановочный вариант критерия в обычной и стьюдентизированной формах, предназначенный для меньших объемов выборки, представлен в разделе 1.5 вместе с моделированием, демонстрирующим ситуации, когда они неравносильны. Раздел 1.6 посвящен сравнению построенного критерия с известным, представленным в литературе критерием, построенном на основе ядерной оценки условного матожидания, предложенным в литературе, на модельных данных в терминах задачи о робастности их статистик. Моделирование показало, что статистика построенного критерия более устойчива к шуму в данных, чем аналогичная.
Глава 2 данной работы относится к построению и изучению критерия проверки гипотезы разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса и его статистики. Раздел 2.1 содержит необходимые определения, обозначения и известные результаты, относящиеся к теории пуассоновского процесса. В разделе 2.2 приведена постановка задачи проверки гипотезы о разрывности плотности интенсивности, а также вместе с построением критерия для проверки этой гипотезы представлено основное утверждение этой главы, формулирующее асимптотические свойства статистики построенного критерия, а именно предельное распределение и предельная дисперсия. В разделе 2.3 представлены результаты моделирования на модельных данных, которые подтверждают теоретические результаты раздела 2.2.
В приложении А представлены доказательства утверждений из разделов 1.3 и
2.2. Приложение Б содержит дополнительную теорию, относящуюся к моделированию, представленному в разделе 1.4. Приложение В содержит дополнительную теорию, относящуюся к главе 1.
Купить