Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ О РАЗРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ РЕГРЕССИИ И ИНТЕНСИВНОСТИ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССА

Задача о проверке непрерывности или разрывности функций в статистике имеет множество приложений как в случае распределений случайных величин, так и процессов и временных рядов. В класс рассматриваемых функций входят функция регрессии одной случайной величины на другую и плотность интенсивности пуассоновского процесса.
Задача о разрывности функции регрессии исследована в большом количестве работ, связанных с общественными науками. Впервые идея проверки гипотезы о разрывности появилась в психологии [1], но также нашла применение в исследованиях в экономической [2], образовательной [3], политической [4] и прочих сферах. В работе [5] для функции регрессии, представленной как условное математическое ожидание, получены асимптотические свойства статистики критерия проверки гипотезы о непрерывности.
Задача о проверке разрывности функции плотности интенсивности пуассоновского процесса входит в круг задач, имеющих отношение к обнаружению разладок (в англоязычной литературе change-point analysis')в процессах и временных рядах. Задачи такого рода встречаются в таких дисциплинах, как акустика [6], геномика [7], океанография [8] и т.д. Методы обнаружения сводят эту задачу к максимизации функции логарифмического правдоподобия [9, 10] или к статистической проверке гипотез [11,12]. Насколько известно автору, непараметрическая проверка рассматриваемой гипотезы о разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса ещё не изучалась.
В рамках данной работы предложен и изучен в плане асимптотических свойств непараметрический критерий проверки гипотезы разрывности функции регрессии, построенный на основе оценки условной медианы, а также построена и изучена его модификация на основе теории перестановочных критериев для малых объёмов выборки. Также предложен и изучен непараметрический критерий проверки гипотезы о разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса. В основу критериев положено ядерное оценивание регрессии и плотности интенсивности, а также используется перестановочный подход построения критериев.
Цели работы:
• Изучить литературу о свойствах ядерных оценок и построении на их основе перестановочных критериев;
• Построить непараметрический критерий проверки гипотезы о разрывности функции регрессии на основе ядерной оценки условной медианы, изучить его асимптотические свойства аналитически и построить его перестановочную модификацию;
• Сравнить в моделировании построенный критерий с известным, представленным в литературе критерием, построенным на основе оценки условного матожидания;
• Построить непараметрический критерий проверки гипотезы о разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса с использованием ядерной оценки разрыва плотности интенсивности и аналитически изучить его асимптотические свойства;
• Для всех построенных критериев провести моделирование для валидации теоретических результатов.
Организация работы:
Глава 1 данной работы относится к построению и изучению критерия проверки гипотезы разрывности функции регрессии, построенного на основе оценки условной медианы, и его статистики. Раздел 1.1 содержит необходимые определения и обозначения, относящиеся к этой главе. Раздел 1.2 приводит постановку задачи проверки гипотезы о разрывности функции регрессии в виде условной медианы. Раздел 1.3 посвящен построению критерия проверки этой гипотезы, для которого в этом разделе сформулировано основное утверждение о предельном распределении и дисперсии его статистики. В разделе 1.4 приведены результаты моделирования на модельных данных, подтверждающего теоретические результаты, полученные в разделе 1.3. Перестановочный вариант критерия в обычной и стьюдентизированной формах, предназначенный для меньших объемов выборки, представлен в разделе 1.5 вместе с моделированием, демонстрирующим ситуации, когда они неравносильны. Раздел 1.6 посвящен сравнению построенного критерия с известным, представленным в литературе критерием, построенном на основе ядерной оценки условного матожидания, предложенным в литературе, на модельных данных в терминах задачи о робастности их статистик. Моделирование показало, что статистика построенного критерия более устойчива к шуму в данных, чем аналогичная.
Глава 2 данной работы относится к построению и изучению критерия проверки гипотезы разрывности плотности интенсивности пуассоновского процесса и его статистики. Раздел 2.1 содержит необходимые определения, обозначения и известные результаты, относящиеся к теории пуассоновского процесса. В разделе 2.2 приведена постановка задачи проверки гипотезы о разрывности плотности интенсивности, а также вместе с построением критерия для проверки этой гипотезы представлено основное утверждение этой главы, формулирующее асимптотические свойства статистики построенного критерия, а именно предельное распределение и предельная дисперсия. В разделе 2.3 представлены результаты моделирования на модельных данных, которые подтверждают теоретические результаты раздела 2.2.
В приложении А представлены доказательства утверждений из разделов 1.3 и
2.2. Приложение Б содержит дополнительную теорию, относящуюся к моделированию, представленному в разделе 1.4. Приложение В содержит дополнительную теорию, относящуюся к главе 1.
Купить

В результате работы были получены критерии проверки гипотезы о разрывности функции условной медианы и плотности интенсивности пуассоновского процесса, а также модификация первого в двух формах, основанная на перестановках и предназначенный для меньших объемов выборки. При этом
• Для двух построенных в работе критериев аналитически изучены асимптотические свойства;
• Для них же было проведено моделирование, которое подтвердило эти свойства;
• Обычный перестановочный критерий проверки гипотезы о разрывности функции регрессии, построенный на оценке условной медианы, работает корректно при соблюдении гипотезы равенства распределений;
• Построен стьюдентизированный перестановочный критерий проверки гипотезы о разрывности функции регрессии, построенный на оценке условной медианы, который корректен даже при нарушении гипотезы равенства распределений. Моделирование это подтверждает;
• Для двух критериев проверки гипотезы о разрывности функции регрессии, основанных на условном матожидании и условной медиане, проведено сравнение на модельных данных, показавшее неустойчивость первого к шуму, в отличие от второго.
Программный код, реализованный для моделирования, размещен на ресурсе Zenodo |18].
В дальнейшем планируется построить модификацию критерия проверки разрывности плотности пуассоновского процесса с использованием подхода перестановочных критериев, а также сопоставить полученный критерий проверки разрывности плотности пуассоновского процесса с известными методами обнаружения разладок в случае пуассоновского процесса.

Купить