Введение 3
1. Обзор литературы 5
1.1. Объект исследования 5
1.2. Математическая модель 7
1.3. Выводы 10
2. Одномерная неньютоновская модель 12
2.1. Одномерная модель 12
2.2. Разностная схема 15
2.3. Стационарное решение 16
2.4. Результаты и выводы 19
3. Моделирование кровотока в сосудистых системах 20
3.1. Течение в одиночном сосуде 20
3.2. Течение в системе из 20 сосудов 21
3.3. Течение в системе из 37 сосудов 24
3.4. Результаты и выводы 30
Заключение 32
Список литературы 34
По данным всемирной организации здравоохранения (ВОЗ), сердечно-сосудистые заболевания (ССЗ) являются ведущей причиной смертности во всем мире, они составляют около 52-55% из всех смертельных случаев [1]. В России около 31 миллиона человек страдают ССЗ [2]. Примерами таких заболеваний являются ишемическая болезнь сердца, инфаркт, инсульт, гипертоническая болезнь. В клинической практике встречается много подобных заболеваний с разными причинами их развития. Под руководством ВОЗ ведущие государства работают над методами профилактики и лечения этих заболеваний [1].
В разработке этих методов важную роль играет математическое моделирование. Данная методика позволяет без какого-либо вмешательства в организм имитировать всевозможные ситуации и исследовать, как ведет себя система в различных условиях и экспериментировать со способами влияния на нее. На сегодняшний день имеется множество моделей сердечно - сосудистой системы, но их приходится постоянно дорабатывать из -за сложности объекта.
Основным объектом изучения данной работы является одномерная математическая модель течения крови, которая может применяться для моделирования кровотока в больших сосудистых системах. В рамках этой модели кровь описывается как неньютоновская жидкость, для этого используется модель Сиско. В процессе обзора литературы не нашлось упоминаний об исследованиях одномерного аналога данной модели, поэтому было принято решение провести ее подробный анализ и сравнить с результатами для модели Ньютона и модели идеальной жидкости, уже давно известных в этой области.
Целью данной работы является исследование одномерной неньютоновской модели Сиско, описывающей течение крови в сосудистых системах для оценки ее адекватности, наличии преимуществ перед другими моделями и целесообразности ее применения. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. Построение одномерной модели на основе реологической модели Сиско.
2. Получение решения задачи о стационарном течении.
3. Программная реализация алгоритмов численных методов решения нестационарных задач о моделирования течения в сосудистой системе.
4. Решение задачи о моделировании течения крови в одиночном сосуде.
5. Решение задачи о моделировании течения крови в модельных сосудистых системах.
6. Сравнение результатов расчетов с решениями, полученными для других моделей.
Первая глава посвящена обзору литературы по моделированию течения крови. В ней рассказывается о крови и сердечно-сосудистой системе с разных ракурсов. Также приведены данные о трехмерной и одномерной математических моделях кровотока. Во второй главе приводится описание модели Сиско, проводится постановка задачи, приводится разностная схема, используемая в расчетах, и описывается получение стационарного решения. В третьей главе описаны вычислительные эксперименты, проводимые над тремя сосудистыми системами, состоящими из одного, двадцати и тридцати семи сосудов. В ней описаны основные результаты, полученные по модели Сиско, а также их качественное и количественное сравнение с моделями Ньютона и идеальной жидкостью. Сделаны выводы о целесообразности использования данной модели.
Исследования в области гемодинамики являются действительно важными для современной медицины и математическое моделирование играет здесь большую роль. Эта методика позволяет имитировать строение, свойства и поведение сердечно-сосудистой системы. Существующие модели уже сейчас спасают жизни множеству людей и упрощают работу врачам. Разработка новых моделей и совершенствование старых позволяет им становиться более точными по отношению к реальной кровеносной системе.
В ходе данной работы была рассмотрена одномерная неньютоновская модель Сиско, описывающая течение крови. На основе уже известной трехмерной модели, путем определенных упрощений, были получены одномерные уравнения, описывающие гемодинамические процессы. Посредством использования схемы Лакса - Вендроффа была осуществлена программная реализация модели и получены решения для трех сосудистых систем. Результаты сравнивались с решениями, полученными при помощи модели Ньютона и модели идеальной жидкости, на основе чего были выявлены некоторые закономерности и сделаны определенные выводы.
Говоря о числах, стоит отметить, что модель аорты (система из 20 сосудов) показала совсем небольшие относительные отклонения решений, отвечающих разным моделям: не более 1,1% в сравнении с моделью Ньютона и не более 1,5% в сравнении с моделью идеальной жидкости. Графики значений давления в определенных сосудах для разных моделей практически идентичны. Модель артериальной части всей сосудистой системы человека более масштабна, здесь отклонения ожидаемо получились больше: до 8% в сравнении с моделью Ньютона и до 11% в сравнении с моделью идеальной жидкости. На графиках давления такая разница более очевидна.
Исходя из всего перечисленного можно сделать вывод, что неньютоновость крови, описываемая такой моделью, слабо влияет на результаты. Отклонения от моделей, которые не учитывают это свойство, оказались довольно малыми. И если брать в расчет сложность реализации модели Сиско в сравнении с двумя другими рассматриваемыми моделями, то можно сказать, что использование ее на практике допустимо, но рациональным скорее не является. Помимо этого, была выявлена некая закономерность относительно параметра d. При рассмотрении каждой из трех систем оказалось, что при его увеличении, а значит при повышении вязкости, скорость затухания давления растет, то есть и отличия от других моделей возрастают. Наиболее близкой модель Сиско к модели Ньютона оказалась при параметре d = 2.
По итогу работы все поставленные задачи выполнены, и конечная цель достигнута.
