Введение 4
Глава 1. Постановка задачи 5
1.1. Гипотеза о равенстве двух распределений 5
1.2. Перестановочные тесты 5
1.2.1. Энергетический тест 5
1.2.2. Модифицированный тест 6
1.3. Перестановочный метод 6
Глава 2. Асимптотическое исследование мощности 7
2.1. Теорема о виде распределения статистики критерия и о его мощности 7
2.2. Интегралы и коэффициенты для теоремы 7
2.3. Асимптотические мощности 8
Глава 3. Эмпирическое исследование мощности 10
3.1. Мощность модифицированного критерия при к =1 10
3.2. Мощность модифицированного критерия в зависимости от параметра k 13
3.2.1. Эффективность модифицированного критерия 13
3.2.2. Эмпирическая мощность модифицированного критерия 18
Глава 4. Сравнение с классическими критериями 22
Заключение 25
Список литературы 26
В работе рассматривается задача проверки гипотезы о равенстве двух распределений. Для поверки этой гипотезы применяются параметрические и непараметрические критерии. Одним из важнейших параметрических критериев является t-критерий Стью- дента. Тест Стьюдента является оптимальным во многих смыслах при условии нормальности обоих распределений, но мощность данного критерия для других видов распределений будет ниже [1]. Из непараметрических критериев наиболее часто используются критерий Колмогорова-Смирнова и критерий Уилкоксона-Манна-Уитни. Данные критерии свободны от распределений, что делает их привлекательными для случаев, когда распределение выборок неизвестно.
В настоящее время благодаря развитию вычислительной техники получили широкое распространение перестановочные критерии. Под перестановочным критерием будем понимать статистический критерий, при использовании которого применяется метод перестановок для получения критического значения.
Некоторые перестановочные критерии были подробно рассмотрены в статье [3]. В работе (Aslan, Zech, 2005) [7] был предложен перспективный перестановочный тест, названный энергетическим. В работах научного руководителя [2, 5] была введена модификация этого критерия, получены формулы для асимптотической эффективности модифицированного критерия. Эти формулы в данной работе применяются для сравнения мощности энергетического и модифицированного критериев. Также проведено численное сравнение мощности модифицированного теста с вышеперечисленными тестами.
В данной работе было проведено численное сравнение мощности двух перестановочных тестов: энергетического теста, введенного в работе (Aslan, Zech, 2005) и весьма популярного в различных приложениях, и модифицированного теста, введенного в работах научного руководителя. Показано, что для нормального распределения и распределения Лапласа модифицированный тест превосходит энергетический во всех рассмотренных случаях, а для распределения Коши — в большинстве случаев (а в остальных случаях эмпирические мощности критериев имеют статистически незначимое отличие) при сравнении двух распределений, которые отличаются только сдвигом. Также проведено сравнение модифицированного теста в тех же условиях с альтернативными непараметрическими тестами (Уилкоксона-Манна-Уитни и Колмогорова-Смирнова). Оказалось, что модифицированный критерий не уступает лучшему из них. Ранее в работах научного руководителя было показано, что модифицированный критерий значительно превосходит эти критерии в случае, когда распределения отличаются параметром масштаба. Кроме того была исследована возможность оптимального выбора вспомогательного параметра в модифицированном критерии. Оказалось, что стандартное значение этого критерия близко к наилучшему, если неизвестен вид распределения.
