1 Введение 2
2 Общие понятия и определения 2
3 Определение точек вогнутости 3
4 О непрерывности локально вогнутых функций в точках вогнутости границы области 4
5 О гладкости локально вогнутых функций в точках вогнутости границы области 9
5.1 Случай 1 теоремы 5.1 12
5.2 Случай 2 теоремы 5.1 12
5.3 Случай 3 теоремы 5.1 13
5.4 Точки не нулевой кривизны 34
Список литературы 35
Минимальные локально вогнутые функции и их аналоги — максимальные локально выпуклые функции являются важным объектом математического анализа. Они часто оказываются решениями оптимизационных задач и совпадают с функциями Веллмана. Подобные функции встречаются в работах [2], [3], [4]. Так в работе [2] показано, что в строго выпуклой области (кривизны границы отделены от нуля) с C3,1 гладкой границей максимальная выпуклая функция с C3,1 гладким граничным значением будет C1,1 гладкая вплодь до границы, а так же приведены примеры C3,1-e гладких граничных значений на окружности, для которых максимальная выпуклая функция не является C1,1 гладкой вплодь до границы и пример бесконечно гладкого граничного значения на окружности, для которого максимальная выпуклая функция не будет дважды диффериенцируема в некоторой внутренней точке.
В работах [6] и [7] доказывается равенство функций Веллмана и соответствующих минимальных локально вогнутых функций для областей, представляющих собой разность двух выпуклых множеств в R2 и Rd для d > 2 соответственно.
Данная работа содержит изучение качественных свойств локально вогнутых функций. Так, например, известно, что локально вогнутые функции на Q С Rd липшицевы во внутренних точках области определения, а также локально вогнутые ограниченные снизу функции на Q С X непрерывны во внутренних точках области определения, если X — локально выпуклое линейное топологическое пространство. В данной работе будет изучаться, какой уровень гладкости можно гарантировать в граничных точках области определения в зависимости от поведения границы области в данной точке. Более подробно в данной работе изучалось поведение функции в собственных точках вогнутости границы области (см. определение 3.2). Собственные точки вогнутости границы области можно считать основным примером граничных точек области определения локально вогнутой функции. Все точки свободной границы, рассматриваемые в работах [6] и [7], будут точками вогнутости границы области.
При выполнении работы изучены качественные свойства локально вогнутых функций. Исследован вопрос о том, какой уровень гладкости можно гарантировать в граничных точках области определения в зависимости от поведения границы области в данной точке.
