Тема: Различные метрики в задаче об идеалах алгебры H~infty

К знаменитой теореме о короне примыкает так называемая задача об идеалах, которая допускает множество вариантов и разветвлений. Очень полезным инструментом при работе с ней являются теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений, в частности теорема Фан Цзы–Какутани [1] и теорема Пауэрса [5], примеры приложений есть в [2, 3, 4, 6]. Эта работа посвящена нескольким новым результатам в задаче об идеалах, теоремы о неподвижной точке снова будут играть важную роль в наших построениях. Остановимся подробнее на историческом экскурсе.
Теорема Карлесона о короне утверждает, что если f1, . . . , fn — ограниченные аналитические функции в круге D, то для существования ограниченных в круге аналитических функций g1, . . . , gn, таких что
∑i gifi ≡ 1,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
∑i |fi(z)|2 ≥ δ2 > 0, z ∈ D.
Ограниченные аналитические функции составляют класс Харди H∞. Нам понадобятся и другие классы Харди, построенные не только по пространствам Lp, но и по более общим решеточным пространствам аналитических функций, граничный класс Смирнова и прочее. В терминах граничных значений классом Харди Hp (с p ≥ 1) можно назвать множество функций из Lp(T), чьи коэффициенты Фурье с отрицательными номерами равны 0, при этом им соответствуют аналитические функции в круге, куда граничные функции продолжаются с помощью интеграла Пуассона
f (reiφ) = 1/2π ∫ π −π (1 − r2)f (eit)dt / 1 + r2 − 2r cos(φ − t).
В дальнейшем мы будем не раз использовать свертку с ядром Пуассона, для чего введем обозначение Pz = 1/2π 1−r2 / 1+r2−2r cos(φ) , z = reiφ. Классом Смирнова называется множество аналитических функций, для которых верно представление
F (z) = B(z)S(z)Φ(z)
где B(z) — произведение Бляшке, S — сингулярная внутрення функция, а Φ — внешняя фуннкция. Напомним определения функций S и Φ:
S(z) = eic exp ( −∫ π −π eit + z / 2π(eit − z)dσ(t) )
и σ — сингулярная положительная мера,
Φ(z) = exp ( ∫ π −π (eit + z) log |F (eit)|dt /2π(eit − z) ).
Далее, выражение 1+reiφ 1−reiφ называется ядром Шварца, и с помощью свертки его с граничными значениями вещественной части функции на окружности можно получить значение соответствующей аналитической функции в точке reiφ (если мнимая часть в нуле равна нулю). Основные результаты о классах Харди есть в [9], про них же и про класс Смирнова (называемый там классом B) можно прочитать в [10]. Теперь пусть (S, Σ, μ) — измеримое пространство с мерой μ. Пространство Кётэ это квазибанахово пространство X измеримых функций на S, удовлетворяющее условию |f | ≤ |g|, g ∈ X => f ∈ X, ∥f ∥X ≤ C∥g∥X . Если иное не следует из контекста, мы будем рассматривать только пространства Кёте с C = 1, которые будут представлять из себя банаховы пространства (их будем называть банаховыми решетками, хотя обычно этот термин понимается более широко). При этом X′ это множество функционалов из X∗, представимых в виде интеграла с измеримой функцией. Определение произведения пространств Кёте (отметим, что оно может оказаться только квазибанаховой решеткой) ясно из формулы ∥u∥EF = inf{∥v∥E ∥w∥F , u = vw}, определение степени ясно из формулы ∥f ∥Xα = ∥f 1 α ∥α X (это, вообще говоря, тоже лишь квазинорма). Про банаховы решетки и вещи вокруг них можно прочитать в [11] и в [15], про векторные классы Харди и векторные решеточные пространства аналитических функций написано в [12] и в [6]. Здесь мы ограничимся лишь кратким изложением определений и самых базовых сведений. Прежде всего, если X — банахова решетка на окружности с мерой Лебега, то ее “аналитическая часть” XA состоит из функций класса Смирнова, чье сужение на окружность принадлежит решетке X (говоря об аналитических функциях, мы будем отождествлять граничные значения на окружности и функцию в круге, при этом во всех рассматриваемых нами случаях верна теорема единственности; если будет важно подчеркнуть область определения, мы будем писать XA(T) или XA(D)). Чтобы избежать вырождения, на X накладывают некоторые ограничения, о которых будет сказано ниже, при этом подходящие решетки мы будем звать хорошими (будет очевидно, что степень хорошей решетки тоже хорошая). Отмечу, что в хороших решетках подпространство XA замкнуто в X по норме. Объяснения можно прочитать в [13], там же приведены некоторые из основных свойств пространства XA. Норма функций в XA наследуется из пространства X(T). Далее, если V — банахово пространство, то H1(D, V ) состоит из аналитических в D V -значных функций F с ∥F ∥H1(D,V ) = sup 0 Можно показать, что если у V есть предсопряженное U , то у F есть граничные значения на окружности в слабом снизу смысле (объяснения и ссылки есть в [6]). Точнее, эти граничные значения представляют собой V -значную, U -измеримую функцию (то есть измеримую в слабом снизу смысле). Пространство граничных значений будем обозначать через H1(T, V ). Определим теперь XA(D, G∗) как множество G∗-значных аналитических в круге функций F , таких что Y F ∈ H1(D, G∗) для каждой скалярной функции Y ∈ X′ A. Норма в этом пространстве вводится так:
∥F ∥XA(G∗) = sup{∥Y F ∥H1(G∗), Y ∈ X′ A, ∥Y ∥X′ ≤ 1}.
Наряду с векторозначными функциями мы зачастую будет использовать операторнозначные аналитические функции, к которым мы будем относиться как к специфическим векторозначным. По умолчанию далее, если пишем F ∈ XA(Lin(V ∗, U ∗)), то F (z) — w∗-непрерывный линейный оператор (тогда он автоматически является ограниченным оператором из V ∗ в U ∗). Отметим, что так как (E ⊗ F )∗ = B(E, F ∗) (это объясняется, к примеру, в [17], под E ⊗ F мы понимаем проективное тензорное произведение), то корректно рассматривать граничные значения. В частности, в некоторых теоремах нам могут понадобиться внешние функции для операторозначных функций. Их конструкция будет той же, что и у векторозначных функций, а сами внешние функции будут скалярными. При самом прямом их построении могут возникнуть проблемы с измеримостью, поэтому их строят с помощью специального трюка (об этом будет сказано ниже, больше подробностей можно найти в [6]). Отметим, что мы всегда будет строить внешние функции только для функций со значениями в пространствах, сопряженных к сепарабельным, поэтому никаких проблем с измеримостью при даже прямом построении у нас не будет. Скажем чуть больше о векторных классах Харди.
Следуя тексту Бухвалова [12] определим s − Lp(T, G∗) как пространство слабо измеримых функций на окружности. Для функции f ∈ Lp(G∗) мы можем рассмотреть семейство функций вида ⟨x, f ⟩, ∥x∥G ≤ 1. Супремум этого семейства (не поточечный, а в решетке измеримых функций) мы обозначим через α(f ). При этом ∥f ∥s−Lp(G∗) = ∥α(f )∥Lp . В упомянутой выше статье есть ссылки на теорему о том, что Lp(X)∗ = s − Lq(X∗) (при условии 1 ≤ p < ∞). Легко понять, что Hp(G∗) ⊂ s − Lp(G∗) (более того, нормы аналитических функций в этих двух пространствах совпадают).
Часто оказывается полезно свойство выпуклости и вогнутости решеток. Банахова решетка X зовется p-выпуклой, если решетка Xp тоже банахова. Она называется q-вогнутой, если решетка X′ p-выпукла, где показатели p и q сопряжены.
Около 1970 г. Т. Вольф нашел новый (и, в сравнении с оригинальным доказательством Карлесона, довольно простой) подход к теореме о короне, он приведен, например, в книге [9]. Как вскоре вслед за этим выяснили (независимо) Учияма, М. Розенблюм и В.А. Толоконников (мы цитируем только работу [7] последнего из названных авторов, поскольку все три доказательства практически идентичны, а на [7] нам придется ссылаться и по другим поводам), этот подход позволяет рассматривать бесконечные последовательности “данных” fi: если такая последовательность удовлетворяет условию (2) вместе с нормировочным условием ∑i |fi(z)|2 ≤ 1, то найдутся аналитические в круге функции gi, удовлетворяющие условиям ∑i |gi(z)|2 ≤ C(δ)2 и (1).
Это утверждение естественно приводит к вопросу об “оценках в разных метриках”. Чтобы объяснить, что имеется в виду, рассмотрим следующую более общую постановку задачи о короне. Пусть G1 и G2 — банаховы пространства. Данными общей задачи о короне будем считать фиксированную функцию F ∈ H∞(Linw(G∗ 1, G∗ 2)), т.е. ограниченную в круге D аналитическую функцию со значениями в пространстве w∗-непрерывных линейных операторов из G∗ 1 в G∗ 2 (сопряженные пространства здесь удобнее брать по техническим причинам). Пусть еще X — банахово идеальное пространство (синоним банахова пространства Кёте) измеримых функций на окружности (подчиненное некоторым необременительным условиям, см условие 2 после теоремы 1), XA — его подпространство типа Харди, т.е. пересечение пространства X с граничным классом В.И. Смирнова.
Задача о короне с данными F состоит в том, чтобы выяснить, выполняется ли равенство
XA(G∗ 2) = F · XA(G∗ 1);
по возможности следует оценить сверху константу, с которой разрешими все уравнения, спрятанные в этой формуле. Отметим, что если такое равенство выполняется, то такая константа существует по теореме об открытом отображении.
Постановка, с которой мы начали, соответствует случаю, когда X = L∞, G1 = l2, G2 = C. Подобные постановки будем называть “скалярным случаем” (поскольку пространство H∞(C) состоит из скалярных функций).
Теперь сформулируем известные результаты об оценках в разных метриках.
a) От X вообще ничего не зависит в самой общей постановке, в том числе и упомянутая константа в оценках; разумеется, данные F во всех задачах с разными X одни и те же (Кисляков – Руцкий, смотри [6]).
b) Про зависимость от G1 и G2 довольно многое известно в скалярном случае G2 = C, когда G1 — идеальное пространство последовательностей. Необходимо еще наложить условие, чтобы пространство G∗ 1 совпало с порядковым сопряженным G′ 1. Это приводит к такой постановке (в силу п. а, считаем без потери общности, что X = L∞).
Пусть V — банахово идеальное пространство последовательностей (то есть банахова решетка на N), f ∈ H∞(V ), причем ∥f (z)∥V ≥ δ > 0 при z ∈ D. Доказать, что существует функция g ∈ H∞(V ′), такая что ⟨f (z), g(z)⟩ ≡ 1 и ∥g∥V ′ ≤ C(δ).
Опять, известно (Учияма, Руцкий; смотри [14]), что эта задача разрешима при (практически) любом V , а не только V = l2.
У задачи о короне есть обобщение — так называемая “задача об идеалах”. В самой общей постановке она примерно такова: описать образ F (z)XA(G∗ 1) (вместо того, чтобы обеспечивать равенство (3)). В принципе, еще можно мерить “качество” данных F не в L∞, а в какой-нибудь другой решетке Y (образ при этом, разумеется, не обязан более содержаться в XA(G∗ 2)) и т.п.
Даже в классическом “скалярном” случае картина здесь не столь ясная, как в задаче о короне. Известно, например, что условие |h(z)| ≤ ∥f (z)∥2+ε l2 (f ∈ H∞(l2) — фиксированная функция) при ε > 0 достаточно для существования представления h(z) = ⟨f (z), g(z)⟩ с g ∈ H2(l2), но оно уже недостаточно при ε = 0. И.К. Злотников показал (смотри [2]), что подобная “скалярная” задача разрешима и в случае, когда l2 заменяется на общее идеальное пространство последовательностей V с нетривиальной вогнутостью. Тогда решение g ищется в H∞(V ′), а достаточное условие разрешимости снова имеет вид |h(z)| ≤ ∥f (z)∥β V ≤ 1 (β зависит от V ).
В этих задачах неожиданно полезными оказываются теоремы о неподвижных точках многозначных отображений. Зачастую хватает известной теоремы Фан Цзы–Какутани о существовании неподвижной точки при условии отображения выпуклого компакта в ЛВП в множество его подмножеств, при этом образы точек непусты, выпуклы, а график замкнут. Но нередко требуется найти неподвижную точку композиции таких отображений (действующих между разными пространствами), и до недавнего времени это был довольно трудный результат.
Скажем чуть больше о результате Злотникова. Им было доказано, что если X — q-вогнутая банахова решетка с 1 < q < ∞, то задача об идеалах разрешима с показателем max{2, q} + ε, ε > 0. Доказательство было основано на известном случае X = l2 и теореме 1 ниже (доказанной с помощью леммы о непрерывном выборе). Вообще говоря, этот результат неулучшаем. Приведем два иллюстративных примера.
A) Пример Толоконникова. Сформулируем ψ-задачу об идеалах, заменив условие |h(z) ≤ ∥f (z)∥β условием |h(z)| ≤ ψ(∥f (z)∥). Толоконниковым для каждой такой функции [0, 1] ψ −→ R+, ψ = o(x2) построены функции f1, f2 ∈ H∞, такие что {h : |h(z)| ≤ ψ((|f1(z)|2 + |f2(z)|2)1 2 )} ⊈ {f1g1 + f2g2, g1, g2 ∈ H∞}. Построение описано в [7]
B) Пример Рао. B1, B2 произведения Бляшке без общих нулей с условием inf z∈D|B1(z)| + |B2(z)| = 0. Тогда |B1B2| ≤ |B1|2 + |B2|2, но B1B2 /∈ I(B2 1, B2 2). Ссылку на пример можно найти в [2].
Купить

С помощью упрощенной версии теоремы Пауэрса [5], доказанной автором в прошлой курсовой работе (то доказательство опубликовано в [4], там же есть определения терминов) получилось передоказать важный результат Злотникова [2] без довольно искусственного применения теоремы о непрерывном выборе. С помощью теоремы Фан Цзы–Какутани удалось доказать эквивалетность достаточно общих формулировок задачи об идеалах с разными метриками, а также установить эквивалетность ее обобщенной формулировки с классической.
Купить