Введение 3
1.1 Обзор результатов 3
1.2 План 3
1.3 Базовые обозначения 3
2 Формулировка физической задачи 4
2.1 Определение Адиабатической связности. Расслоения P' и P' 5
2.2 01-пространство модулей основных состояний. Расслоения E' и £' 6
3 Комплексная структура на пространстве модулей основных состояний 8
3.1 Пространство модулей Mi;2 8
3.2 Голоморфная версия CT,q расслоения LT 8
3.3 Голоморфные версии P, P, E и E расслоений P', P', E' и E' 9
4 Изоморфизм между голоморфной и С1-пространствами модулей основных состояний 10
5 Голоморфная версия гамильтониана 11
5.1 Эрмитова связность в £T,q 11
5.2 Лапласиан в £T,q 11
6 Каноническая связность в E 13
7 Голономия канонической связности 14
7.1 Голономия вдоль петли вокруг проколотой точки в Mi;i 14
7.2 Голономия вдоль образующих CT 15
7.2.1 Горизонтальная образующая 15
7.2.2 Образующая, параллельная т 16
8 Соответствие между адиабатической связностью и канонической связностью в E. Доказательство основной теоремы 16
8.1 Кривизна адиабатической связности 17
Список литературы 17
В различных квантовомеханических системах наблюдается явление фазы Берри [7], изучение которой представляет интерес как с физической, так и с геометрической точек зрения. Суть феномена заключается в
следующем. Система определяется гамильтонианом, зависящим от набора параметров. Если в пространстве
параметров пройти по замкнутому пути, то собственные состояния гамильтониана с фиксированной энергией
преобразуются нетривиальным образом. В [1] исследуется фаза Берри для квантовой бесспиновой частицы в
магнитном поле на двумерном торе (см. Раздел 2), система описывается гамильтонианом Ландау [5, с. 528,
формула (113,1)] варьируемыми параметрами являются коэффициенты внутренней плоской метрики, а также коэффициенты Ааронова–Бома (компоненты векторного потенциала, определяющего магнитное поле). В
статье [1] построен явный базис пространства основных состояний в терминах тета-функций Римана [6], [1,
формула 14], а также найдена кривизна так называемой адиабатической связности [1, формула 15]. В данной
работе мы вычисляем 1 - форму адиабатической связности (8.1), а также находим голономию вдоль различных
петель (7.1, 7.2, 7.3). Отдельно стоит отметить, что нам удается найти естественное описание всех необходимых конструкций на языке голоморфных векторных расслоений над пространствами модулей. Так, например,
мы показываем, что пространство основных состояний отождествляется с пространством глобальных голоморфных сечений определенного линейного расслоения над эллиптической кривой (см. Предложение 5.2),
а адиабатическая связность соответствует эрмитовой связности [2] в некотором эрмитовом расслоении над
пространством модулей M1;2 эллиптических кривых с двумя отмеченными точками (см. Раздел 8). Построение такой голоморфной модели представляет отдельный интерес и открывает возможность для дальнейших
обобщений, интересных как с точки зрения физики, так и с точки зрения математики.
