Суммы линейных образов множества

1. Введение 3
2. Постановка задачи в R² 4
3. Оценка в R² 4
4. Пример в R² 5
5. Решение задачи для выпуклых множеств в R² 8
6. Постановка задачи в Rn 16
Список литературы 22
Купить

Неравенство Брунна–Минковского
(1) |A + B|1/n ⩾ |A|1/n + |B|1/n
(здесь A, B — непустые компакты в Rn, | · | обозначает меру Лебега) — одно из самых важных геометрических неравенств, имеющих множество приложений и обобщений, в том числе относящихся к дискретным задачам аддитивной комбинаторики, в которых A, B — конечные множества.
Равенство в (1) достигается для положительно–гомотетичных выпуклых тел (а также в тривиальных случаях, когда A или B — точка или |A + B| = 0, см. напр. [6]).
Когда B и A связаны таким образом, что гомотетичность исключается, неравенство (1) оказывается возможным усилить. В недавней работе [7] доказано, что если B = T A, где T — фиксированный линейный эндоморфизм Rn, а A — переменный компакт единичной меры Лебега, то имеет место соотношение
inf A |A + T A| = H(T ) := П n i=1 (1 + |λi|),
где λ1, . . . , λn — собственные числа T (с учётом алгебраической кратности).
Эта оценка совпадает с даваемой неравенством Брунна – Минковского оценкой (1 +| det T |1/n)n только когда все собственные числа равны по абсолютной величине.
Задачей настоящей работы является продолжение изучения экстремальных задач вида
|∑ N i=1 TiA| → min
для компактов A единчиной меры и фиксированных линейных операторов T1, . . . , TN.
Отметим, что дискретный аналог этой задачи активно изучался [1-5 и др.], но в основном в случаях, для которых неравенство Брунна–Минковского обращается в равенство (сумма гомотетичных образов множества).
Уже в случае нескольких одномерных проектирований непрерывная задача оказывается, как мы видим в дальнейшем, нетривиальной.
Купить