Большие и сверхбольшие уклонения Телеком-процессов

1 Введение: Телеком-процессы 2
1.1 Система обслуживания 2
1.2 Предельные теоремы для нагрузки 3
2 Главные результаты 4
2.1 Предельная теорема для пуассоновского процесса 4
2.2 Большие уклонения 5
2.2.1 Умеренные большие уклонения 5
2.2.2 Промежуточные большие уклонения 6
2.2.3 Сверхбольшие уклонения 7
3 Доказательства 8
3.1 Подготовительная часть 8
3.2 Доказательство утверждения 2 9
3.3 Разложение интегрального представления 10
3.4 Нижняя оценка для больших уклонений 10
3.5 Верхняя оценка для больших уклонений 11
3.6 Доказательство теоремы 3 11
3.7 Доказательство теоремы 4 12
3.8 Доказательство теоремы 7 13
3.9 Доказательство теоремы 10 18
4 Сверхбольшие уклонения 20
4.1 Предварительные вычисления 20
4.2 Переход к дискретной части спектра 21
4.3 Общий результат 22
4.4 Особые случаи 27
Список литературы 32
Купить

1.1 Система обслуживания
Данные результаты опубликованы в статьях [15] и [16].
Телеком-процессы возникли в замечательной работе И. Кая и М. Такку [9], которые пред­ложили унифицированный подход к моделированию “систем телетрафика” на основе ин­тегральных представлений. Их статья отражает волну интереса к этой теме, см. например, [8, 10, 12, 13, 14] и обзорные статьи с дальнейшими ссылками [5, 6, 7]. Простота механиз­ма зависимости, используемого в модели, позволяет получить четкое представление как о долго-действующей зависимости в одном случае, так и о независимых приращениях в других случаях.
Работа системы представляет собой набор процессов обслуживания. Каждый процесс стартует в некоторый момент s, длится и единиц времени и занимает r единиц ресурса. Количество занятых ресурсов постоянно в течение процесса обслуживания, от момента s до момента s + и. Будем говорить, что процесс обслуживания активен в момент t, если s < t < s + и.
Формальная модель системы обслуживания основана на пуассоновских случайных ме­рах и выглядит следующим образом. Пусть R := {(s, и, r)} = R х R+ х R+. Каждая точка (s, и, r) соответствует возможному процессу обслуживания со временем старта s, продол­жительностью и и требуемыми ресурсами r.
Система характеризуется следующими параметрами:
• λ > 0 – интенсивность возникновения процессов обслуживания;
• FU (du) – распределение продолжительности обслуживания;
• FR(dr) – распределение количества необходимых ресурсов.
Мгновенная загрузка системы в момент t - это сумма занятых ресурсов по активным в момент t процессам:
W ◦(t) := ∑ j rj 1{sj ≤t≤sj +uj}.
Нас будет интересовать интегральная загрузка на интервале времени [0,t],
W ∗(t) := Z t 0 W ◦(τ )dτ
Пусть U и R - случайные величины с распределениями Fu и Fr соответственно. Не ограничивая общности, можно считать, что P(R > 0) = P(U > 0) = 1. Обычно предпола­гается, что эти величины имеют конечную дисперсию или регулярные хвосты. А именно, либо
P(U > u) ∼ cU/uγ , u → ∞, 1 < γ < 2, cU > 0, (1)
либо EU2 < то. В последнем случае мы формально полагаем у := 2. Аналогично, пред­полагается либо
P(R > r) ~ -R , r ^ то, 1 < 5 < 2, cR > 0, (2)
либо ER2 < то. В последнем случае формально полагаем 5 := 2.
Поведение системы существенно зависит от параметров у, 5 Е (1,2].
Определим на R меру интенсивности
p,(ds, du, dr) = Xds Fv(du) FR(dr).
Пусть N - соответствующая пуассоновская случайная мера. Многие характеристики системы можно записать в загрузка в момент t есть
W ◦(t) = Z R r1{s≤t≤s+u}dN, (3)
а интегральная загрузка на интервале [0, t] записывается как
W ∗(t) =Z t 0 W ◦(τ )dτ = Z R r Z t 0 1{s≤τ ≤s+u}dτ dN
= Z R r · [s, s + u] ∩ [0, t] dN := Z R rℓt(s, u)dN.
Здесь | · | обозначает длину интервала, и ℓt(s, u) := [s, s + u] ∩ [0, t].
Заметим, что W◦(•) является стационарным процессом и его интегралом W*(•) это процесс со стационарными приращениями.
1.2 Предельные теоремы для нагрузки
Объектом исследования в предельных теоремах является центрированный и нормирован­ный процесс интегральной загрузки на больших интервалах времени,
W* (at) - ER • E U • aXt Za(t) :
При этом исследуемый горизонт времени а и интенсивность X рассматриваются как пе­ременные (хотя бы одна из них должна стремиться к бесконечности), а нормирующий множитель b = b(a, X) зависит от них, причём форма зависимости определяется парамет­рами у, 5. В различных ситуациях в качестве предельного процесса могут выступать
• винеровский процесс;
• дробное броуновское движение с параметром H Е (1/2,1);
• устойчивый центрированный процесс Леви с положительным спектром;
• устойчивый Телеком-процесс;
• пуассоновский Телеком-процесс.
К сожалению, Телеком-процессы изучены ещё недостаточно. В этой работе исследу­ются свойства пуассоновского Телеком-процесса.
Полный спектр предельных теорем подробно рассмотрен в [11, Глава 3]. Здесь мы напомним лишь один результат, связанный именно с пуассоновским Телеком-процессом (см. [11, Теорема 13.16]) и относящийся к случаю критической интенсивности
А
а7-1
Теорема 1 Пусть 1 < у < 6 < 2, a ' м и выполнено (5). Положим Q := LcU у. Тогда при нормировке b := а конечномерные распределения процесса Za сходятся к аналогич­ным распределениям пуассоновского Телеком-процесса Yq,y, допускающего интегральное представление
Yq,y (t)= rlt (s,u)Nq,y (ds,du,dr). (6)
Jr
Здесь Nq,y - центрированная пуассоновская мера с интенсивностью Q щ, где
Fr (dr).
Пуассоновский Телеком-процесс (Yq,7(t))t>0 корректно определён, если E (RY) < м. Он является процессом со стационарными приращениями, однако, в отличие от многих других предельных для нагрузки процессов, не самоподобен. Некоторые его свойства изучены в работах [1, 4].
В остальной части работы мы делаем только это предположение об R и не предполагаем никакой регулярности хвостов R, подобной той, которая требуется в (2). Единственным заметным исключением является подслучай сверхбольших уклонений (Теорема 10), где регулярность хвостов является существенной.
Купить