Введение 2
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Задача двух тел 7
1.1 Постановка задачи 7
1.2 Кеплеровы элементы орбиты 7
1.3 Уравнения движения в эллиптическом случае 10
Глава 2. Система дифференциальных уравнений для задачи двух тел 11
2.1 Полиномиальные системы 11
Глава 3. Метод Тейлора для решения полиномиальных систем дифференциальных уравнений в частных производных 14
3.1 Описание метода 14
3.2 Применение метода для решения задачи двух тел 16
Заключение 20
Литература 21
С развитием технологий роль компьютеров в решении различных задач значительно возросла. Однако технические ресурсы вычислительных устройств имеют свои ограничения, поэтому необходимо развивать численные методы. Таким образом для каждой проблемы можно будет найти наиболее подходящий и точный способ решения. Особенно важны решения дифференциальных уравнений.
Системы дифференциальных уравнений активно используются в описании всевозможных процессов физики, химии, биологии и пр. Большинство из задач современных естественных наук в той или иной мере использует дифференциальные уравнения, так как они наиболее удобны для описания поведения процессов во времени, а также исследование дифференциальных уравнений позволяет судить об описываемых изменениях без непосредственного решения, строить предположения о дальнейшей динамике развития, предсказывать исход этих процессов, изучать влияние внешних воздействий и многое, многое другое. Однако не существует какого- то единого способа получить аналитическое решение дифференциального уравнения или тем более системы дифференциальных уравнений. Более того они обладают различными свойствами, которые не позволяют однозначно выбрать какой-то численный метод, одинаково хорошо решающий любое уравнение. Поэтому при интегрировании дифференциальных уравнений широко используются различные численные методы. Выбор таких методов достаточно велик. Наиболее распространены пошаговые методы. Хорошо к быстрой смене шага приспособлены явные методы Рунге -Кутта и рядов Тейлора.
Метод рядов Тейлора часто имеет преимущество в точности вычислений. Более того он позволяет решать жесткие задачи, где известные методы Рунге-Кутты могут давать неудовлетворительные результаты. Но сложность применения этого метода заключается в необходимости многократного вычисления коэффициентов рядов. В общем случае это может сделать программную реализацию метода более громоздкой и медленной. Но в случае, когда интегрируемая система имеет полиномиальные правые части, коэффициенты Тейлора можно вычислить с помощью рекуррентных формул. Для таких систем метод рядов Тейлора может давать очень точные результаты в рамках требуемой погрешности, при этом сохраняя высокую скорость вычисления. Поэтому метод рядов Тейлора может быть эффективнее других методов при решении сложных задач с высокими требованиями к относительной погрешности.
Задача двух тел также может быть представлена в виде дифференциальных уравнений и решена методом рядов Тейлора. Это одна из самых известных задач классической механики, которая заключается в определении движения двух материальных точек, взаимодействующих только друг с другом. Примеры такой задачи очевидны: взаимное движение планеты и спутника, планеты и звезды или электрон, вращающийся вокруг атомного ядра. Математическая модель задачи двух тел может быть представлена в виде полной полиномиальной системы уравнений в частных производных. Решение такой системы может быть получено методом рядов Тейлора. Но до недавнего времени литературы, описывающей такой алгоритм для подобных систем, не было. Только в начале мая 2021 года в «Вестнике СПбГУ» была опубликована статья «Estimates for Taylor series method to polynomial total systems of PDEs» (Бабаджанянц Л.К, Потоцкая И.Ю., Пупышева Ю.Ю.), дающая необходимые математические инструменты для интегрирования полных полиномиальных систем УрЧП методом Тейлора.
Поэтому представляемую мной научную работу можно рассматривать как пример применения метода рядов Тейлора для полиномиальной системы УрЧП. Здесь, в качестве знакомства с методом рядов Тейлора, представлен алгоритм применения метода для интегрирования полиномиальных систем дифференциальных уравнений и проделано несколько его шагов для получения некоторых аналитических формул. Практический смысл такой работы заключается в изучении самой модели и численного метода, составлении удобного алгоритма, составлении схемы для применения алгоритма на описанной системе.
Кроме того, некоторые результаты моей научной работы в дальнейшем можно будет распространять и на другие задачи, представляемые в виде полиномиальной системы дифференциальных уравнений.
Постановка задачи
Целью работы является составление алгоритма решения методом рядов Тейлора системы полиномиальных уравнений в частных производных и схемы необходимой для применения алгоритма для задачи двух тел.
Для достижения этой цели ставятся следующие задачи:
1. Изучение задачи двух тел.
2. Изучение метода для решения полиномиальных систем дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора.
3. Составление алгоритма на основе изученного метода.
4. Получение полиномиальной системы УрЧП для задачи двух тел.
5. Преобразование системы согласно алгоритму.
В результате исследования мной были получены следующие результаты:
1. В первой главе была изучена задача двух тел и записаны уравнения движения с их решениями в общем виде.
2. Во второй главе была описана система полиномиальных дифференциальных уравнений в частных производных для решения выбранной задачи.
3. В третьей главе был записан алгоритм применения метода рядов Тейлора для полиномиальных систем УрЧП, получена схема S и преобразована полиномиальная система для задачи двух тел.
Полученные результаты являются примером применения изученного метода и полученного алгоритма для полиномиальной системы УрЧП для задачи двух тел.
