Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Оценки констант коэрцитивности дифференциальных операторов в L_р-нормах

Работа №126861

Тип работы

Магистерская диссертация

Предмет

математика

Объем работы49
Год сдачи2023
Стоимость5550 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено
33
Не подходит работа?

Узнай цену на написание


1. Введение 1
1.1. Определения и предварительные сведения 1
1.2. Основные результаты 7
2. Достаточные условия максимальности и координатной выпуклости 8
3. Составление системы дифференциальных уравнений 17
3.1. Значения функции Bp,r [f, д,ф,ф] и её производных 17
3.2. Система дифференциальных уравнений 23
4. Решение системы уравнений 35
4.1. Вывод системы SI из системы SE 37
4.2. Решение системы SE и асимптотические соотношения 42
4.3. Завершение доказательства теоремы 1.22 45
Список литературы 47

Рассмотрим следующую функцию Беллмана Bn[p, r](x) : Rn → [−∞, +∞], зависящую от параметров r > 0 и p ∈ (1, +∞):
Bn[p, r](x) = sup


B(x)
Функция B выпукла по
каждой переменной в отдельности,
B(±t, . . . , ±t) ⩽ |t|p, B(t, . . . , t) ⩽ −r|t|p, t ∈ R


 , x ∈ R3. (1)
Функции, выпуклые по каждой переменной в отдельности, будем называть координатно-выпуклыми (separately convex по-английски). Данные функции изучаются в так называемом квазивыпуклом анализе. В книге [1, часть 2] можно встретить и другие примеры отображений, с которыми оперирует квазивыпуклый анализ. Все эти объекты играют важную роль в современном вариационном исчислении. В частности, некоторые из них изучаются в статье [3], а в работе [2] можно найти непосредственное применение координатно-выпуклых функций (они вводятся в определении 3 этой работы). Заметим, что основное отличие координатно-выпуклых от классических выпуклых функций состоит в том, что след координатно-выпуклой функции f : Rn → R, равный отображению x 7 → f (x, x, . . . , x), не обязан быть выпуклым. Описание множества следов координатно-выпуклых функций является нетривиальной задачей, и этот вопрос достаточно подробно изучен в статье [4].
Вернёмся к функции Bn[p, r]. Заметим, что для каждого числа p > 1 существует момент rn(p), такой что при r < rn(p) функция Bn[p, r] конечна, а при r > rn(p) — бесконечна. Задача состоит в том, чтобы изучить порядок величины rn p при p → 1.
Константа rn(p) соответствует константе в не-неравенствах Орнштейна для дифференциальных операторов (классический контрпример Орнштейна гласит, что rn(p) → 0); см. работы [3] и [2] (гипотезы 4 и 5 работы [2]). В частности, в работе [2] была сформулирована гипотеза, которую можно переформулировать следующим образом.
Гипотеза 1.1. Справедливо асимптотическое соотношение rn(p) ≍ p − 1 при p → 1.
Замечание 1.2. Заметим, что в случае n = 2 имеет место равенство rn(p) = p − 1, доказательство которого мы опустим, хотя оно не является технически трудным.
Основной результат этой работы следующий.
Теорема 1.3. Справедливо асимптотическое соотношение
r3
p ≍ −1/2 log(p − 1) при p → 1.
В частности, опровергнута гипотеза 1.1.
Отметим, что кроме асимптотики величины rn(p) также интересна конкретная формула функции Bn[p, r]. Отметим, что это формула была получена при r = r3(p) (см. теорему 1.22). Данный интерес связан с тем, что помимо данной задачи имеется большое количество вопросов, которые можно так или иначе разрешить, вычислив некоторую максимальную координатную-выпуклую функцию, ограниченную сверху некоторой подпоркой. В книге [5] можно найти обширный перечень примеров задач такого рода. В частности, поэтому координатно-выпуклые функции интересны сами по себе.
1.1. Определения и предварительные сведения
Определение 1.4. Функция ξ : Rn → R называется координатно выпуклой, если для любого k ∈ N функция xk 7 → ξ(x1, . . . , xk, . . . , xn) выпукла при фиксированных x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn. Множество координатно выпуклых функций размерности n обозначим через SCn.
Определение 1.5. Будем говорить, что функция ξ : Rn → [−∞, +∞] вырождена, если она принимает хотя бы в одной точке значение из множества {−∞, +∞}. Иначе будем называть такую функцию невырожденной.
Определение 1.6. Введём множество функций
Fn(p, r) = {ξ : Rn → R | ∀t ∈ R ∀s1, . . . , sn ∈ {−1, 1}n :
ξ(s1t, . . . , snt) ⩽ |t|p, ξ(t, . . . , t) ⩽ −r|t|p}.
Заметим, что функция Bn[p, r] : Rn → [−∞, +∞), заданная в формуле (1) удовлетворяет следующему соотношению:
Bn[p, r] = sup {ξ : Rn → [−∞, +∞) | ξ ∈ SCn ∩ Fn(p, r)} .
Убедимся теперь в том, что задача, которую мы будем решать, поставлена корректно.
Утверждение 1.7. Для любого параметра p ∈ (1, +∞) существует такое число rn(p) ∈ [0, +∞], что при r > rn(p) функция Bn[p, r] вырождена, а при r < rn(p) невырождена.
Доказательство. Так как функция Bn[p, r] координатно-выпукла и удовлетворяет для любого t ∈ R неравенствам Bn[p, r](±t, ±t) ⩽ |t|p, то справедливо следующее соотношение:
∀x ∈ Rn : Bn[p, r](x) ⩽ max(|x1|, |x2|, . . . , |xn|)p.
В частности, ∀x ∈ Rn : Bn[p, r] < +∞. Таким образом, функция Bn[p, r] вырождена только при условии, что множество по которому берётся супремум пусто. Осталось заметить, что при любых r1 ⩽ r2 имеется включение SCn ∩Fn(p, r2) ⊂ SCn ∩Fn(p, r1) и SCn ∩Fn(p, 0) ̸ = ∅, так как 0 ∈ SCn ∩ Fn(p, 0). Поэтому, в частности, мы можем определить число rn(p) следующим образом:
rn(p) = inf {r ∈ [0, +∞) : SCn ∩ Fn(p, r) = ∅} .
Замечание 1.8. Невырожденная функция, равная супремуму некоторого произвольного множества координатно-выпуклых функций, координатно-выпукла. В частности, если функция Bn[p, r] невырождена, то Bn[p, r] ∈ SCn ∩ Fn(p, r).
Основная наша задача состоит в том, чтобы вычислить функцию Bn[p, r]. Для этого мы будем сперва описывать разные свойства, которым удовлетворяет функция Bn[p, r]. Одни такие свойства очевидны, другие найдены эмперически при помощи компьютерных вычислений, а третьи таковы, что если некоторая функция B : R3 → R ими обладает, то автоматически B = Bn[p, r].
Сперва мы сделаем естественное предположение, что функция Bn[p, r] принадлежит множеству, которое описано в следующем определении.
Определение 1.9. Введём множество Fn 0 [p, r] ⊂ Fn[p, r], состоящее из функций B : Rn → R, таких что для любых чисел t ∈ R, s1, . . . sn ∈ {−1, 1}n справедливо следующее равенство:
B(s1t, . . . , snt) =
(
−r|t|p, если s1 = s2 = . . . = sn;
|t|p, иначе.
Определим ещё одно семейство функций, которому уже заведомо будет принадлежать искомая функция Bn[p, r].
Определение 1.10. Пусть Fn 1 [p, r] — множество функций B : Rn → R, удовлетворяющих следующим условиям:
1. для любого вектора x ∈ Rn и любой перестановки координат σ : Rn → Rn справедливо
равенство B(σ(x)) = B(x);
2. ∀x ∈ Rn : B(−x) = B(x);
3. ∀x ∈ Rn ∀t ∈ (0, +∞) : B(tx) = tpB(x) (B(x) = tpB(t−1x)).
Замечание 1.11. Для каждой функции B ∈ Fn 1 (p, r) также верно равенство B(0) = 0.
Лемма 1.12. Справедливо включение Bn[p, r] ∈ Fn 1 (p, r).
Доказательство. Заметим, что если ξ, ζ ∈ Fn(p, r), то max(ξ, ζ) ∈ Fn(p, r). Аналогично для множества SCn. Пусть P — некоторый оператор на множестве функций ξ : Rn → R, относительно которого инварианты множества SCn и Fn(p, r). Тогда имеет место включение B = max (Bn[p, r], P Bn[p, r]) ∈ SCn ∩ Fn(p, r). И так как Bn[p, r] ⩽ B, то Bn[p, r] = B. Осталось заметить, что множества SCn и Fn(p, r) инвариантны относительно следующих операций над функциями ξ : Rn → R:
1. ξ ⇒ x 7 → ξ(σ(x)) для любой перестановки координат σ : Rn → Rn;
2. ξ ⇒ x 7 → ξ(−x);
3. ξ ⇒ x 7 → tpξ(t−1x) для любого числа t ∈ (0, +∞).
Лемма 1.13. Если r > 0 и функция B3[p, r] невырождена, то B3[p, r] ∈ F3 0 (p, r).
Замечание 1.14. В доказательстве, которое приведено ниже существенным образом используется то, что n = 3. Это связано с тем, что только в этой и меньших размерностях группа симметрий множества {−1, 1}n {(−1, −1, . . . , −1), (1, 1, . . . 1)}, состоящая из перестановок координат и одновременной замены знака, является транзитивной.
Доказательство. Введём числа θ0 = B3[p, r](1, 1, −1), θ1 = B3[p, r](1, 1, 1). Так как B3[p, r] ∈ F1(p, r), для любых s1, s2, s3 ∈ {−1, 1} и t ∈ [0, +∞) имеется равенство
B3[p, r](s1t, s2t, s3t) =
(
θ1|t|p, если s1 = s2 = s3;
θ0, иначе.
Заметим, что θ1 = B3[p, r](1, 1, 1) < −r < 0. Кроме того, в силу координатной выпуклости функции B3[p, r] и замечания 1.11 справедливо неравенство
0 = 8B3[p, r](0, 0, 0) ⩽ X
s1,s2,s3∈{−1,1}
B3[p, r](s1, s2, s3) = 6θ0 + 2θ1 ⩽ 6θ0 − 2r.
Поэтому θ0 ∈ (0, 1]. Рассмотрим функцию
B : R3 → R, B(x) = max (θ−1 0 B3[p, r](x), θ−1 1 rB3[p, r]).
Несложно видеть, что B ∈ SC3. Более того, B ∈ F3 0 (p, r) ⊂ F3(p, r), так как B ∈ F3 1 (p, r), θ−1 0 B3[p, r](1, 1, −1) = 1, θ−1 1 rB3[p, r](1, 1, 1) = r, θ−1 0 ∈ [1, +∞) и θ1r ∈ (0, 1]. Осталось заметить, что B ⩽ B3[p, r], а значит, B = B3[p, r] и B3[p, r] ∈ F3 0 (p, r).
Определение 1.15. Функция B : Rn → R линейна (полулинейна) по переменной xi в точке x ∈ Rn, если существует интервал (отрезок) s, параллельный оси Oxi, такой что x ∈ s и функция B|s линейна. Функция B строго полулинейна по xi в точке p, если B полулинейна, но не линейна по переменной xi в точке p.
Определение 1.16. Функция B : Rn → R экстремальна по переменной xi в точке x ∈ Rn относительно множества E ⊂ Rn, если в этой точке B имеет частную производную по xi, и существует отрезок s, параллельный оси Oxi, такой что один его конец совпадает с точкой x, а другой принадлежит множеству E, и функция B|s линейна.
Рис. 1. Линейность, полулинейность, строгая полулинейность и экстремальность
Дальше мы будем работать только в размерности 3. В этом случае мы используем координаты x, y, z.
Пусть нам даны числа α, γ ∈ (0, 1). Введём также параметры
β = β(α) = α−1; δ = δ(α, γ) = αγ.
Определим для фиксированных чисел α, γ ∈ (0, 1) следующие области:
Ω = #(x, y, 1) ∈ R3 ;
Ω0 = #(x, y, 1) ∈ R3 −1 ⩽ x, y ⩽ 1
Ωxy = Ωxy(α, γ) = #(x, y, 1) ∈ R3 −δ ⩽ x, y ⩽ γ ;
Ω0
x = Ω0
x(γ) = #(x, y, 1) ∈ R3 γ ⩽ y ⩽ 1, −αy ⩽ x ⩽ y ;
Ω0
y = Ω0
y(γ) = #(x, y, 1) ∈ R3 γ ⩽ x ⩽ 1, −αx ⩽ y ⩽ x ;
Ω1
x = Ω1
x(α, γ) = #(x, y, 1) ∈ R3 −α ⩽ y ⩽ −δ, y ⩽ x ⩽ −βy ;
Ω1
y = Ω1
y(α, γ) = #(x, y, 1) ∈ R3 −α ⩽ x ⩽ −δ, x ⩽ y ⩽ −βx ;
Ω2
x = Ω2
x(α) = #(x, y, 1) ∈ R3 −1 ⩽ y ⩽ −α, y ⩽ x ⩽ 1 ;
Ω2
y = Ω2
y(α) = #(x, y, 1) ∈ R3 −1 ⩽ x ⩽ −α, x ⩽ y ⩽ 1 ;
Ω3
x = #(x, 1, 1) ∈ R3 −1 ⩽ x ⩽ 1 ;
Ω3
y = #(y, 1, 1) ∈ R3 −1 ⩽ y ⩽ 1 ;
Ω0
z = Ω0
z (γ) = # (t, t, 1) ∈ R3 γ ⩽ t ⩽ 1 ;
Ω1
z = Ω1
z (α, γ) = # (t, t, 1) ∈ R3 −1 ⩽ t ⩽ −δ .
Рис. 2. Области Ωxy, Ω0 x, Ω1 x, Ω2 x, Ω3 x, Ω0 y, Ω1 y, Ω2 y, Ω3 y, Ω0 z , Ω1 z .
Определение 1.17. Введём множество F3 2 (p, r, α, γ), состоящее из непрерывных функций B ∈ F3 1 (p, r), удовлетворяющих следующим свойствам.
• Функцию B|[1,+∞)·Ωxy можно продолжить в некоторой окрестности множества [1, +∞)·Ωxy до гладкой функции, линейной отдельно по x и по y.
• Для каждого числа k ∈ {0, 1, 2} и переменной u ∈ {x, y} функция B|[1,+∞)·Ωk u продолжается в некоторой окрестности множества [1, +∞) · Ωk u до гладкой функции, линейной по переменной u.
Определение 1.18. Определим также семейство F3 3 (p, r, α, γ), содержащее функции B ∈ F3 2 (p, r, α, γ), обладающие следующим дополнительным свойством:
• Функция B линейна по x в каждой точке v ∈ Ω3 x, линейна по y в точках x ∈ Ω3 y и линейна по z в точках v ∈ Ω0 z ∪ Ω1 z.
В дальнейшем мы будем искать функцию B3[p, r] исходя из того, что B3[p, r] ∈ F3 3 (p, r, α, γ) для некоторых чисел α, γ ∈ R. На данный момент мы не можем доказать это включение, однако компьютерные вычисления показывают, что оно должно быть верно.
Чтобы упростить запись будущих вычислений, мы будем использовать следующую нотацию. Для любой функции B : R3 → R, числа k ∈ {0, 1, 2} и символа s ∈ {xy, x, y, z} введём обозначение
Bk
⟨s⟩ = B|Ωk
s . (2)
Замечание 1.19. Если некоторая функция B : R3 → R принадлежит множеству F3 1 (p, r), то в силу симметрий, которыми обладает эта функция, её значения однозначно определяются значениями следующих функций:
B⟨xy⟩, B0
⟨y⟩, B1
⟨x⟩, B2
⟨x⟩.
Кроме того, функции B⟨xy⟩, B0 ⟨y⟩, B1 ⟨x⟩, B2 ⟨x⟩ удовлетворяют некоторым условиям линейности, если B ∈ F3 2 (p, r, α, γ). Поэтому их тоже можно задать только в некоторых подмножествах их областей определения.
Определение 1.20. Зафиксируем параметры p, r, α, γ и рассмотрим гладкие функции
f : [δ, 1] → R, g : [γ, 1] → R,
φ : [δ, α] → R, ψ : [α, 1] → R.
Потребуем, чтобы для функций φ и ψ было выполнено следующее равенство:
φ(α) = ψ(α) (a0)
Bp,r[f, g, φ, ψ] — это функция, принадлежащая множеству F3 2 (p, r, α, γ), которая удовлетворяет следующим равенствам (см. рис. 3):
∀t ∈ [δ, 1] : Bp,r[f, g, φ, ψ](−t, −t, 1) = f (t); (3)
∀t ∈ [γ, 1] : Bp,r[f, g, φ, ψ](t, t, 1) = g(t); (4)
∀t ∈ [δ, α] : Bp,r[f, g, φ, ψ](βt, −t, 1) = φ(t); (5)
∀t ∈ [α, 1] : Bp,r[f, g, φ, ψ](1, −t, 1) = ψ(t). (6)
Рис. 3. Функции f , g, φ, ψ и их связь с функцией Bp,r[f, g, φ, ψ].
Замечание 1.21. Заметим, что функция Bp,r[f, g, φ, ψ] задана корректно. А именно, существует единственная функция B ∈ F3 2 [p, r, α, γ], такая что выполнены тождества (3), (4), (5), (6) для некоторых фиксированных гладких функций f , g, φ, ψ, удовлетворяющих равенству (a0). Чтобы проверить единственность такой функции достаточно воспользоваться замечанием 1.19 и тем, что функции B⟨xy⟩, B0 ⟨y⟩, B1 ⟨x⟩ и B2 ⟨x⟩ однозначно восстанавливаются из равенств (3), (4), (5), (6), так как B⟨xy⟩ линейна по x и по y, B0 ⟨y⟩ линейна по y, а B1 ⟨x⟩, B2 ⟨x⟩ линейны по x в силу включения B ∈ F3 2 [p, r, α, γ]. Несложно видеть, что таким образом построенная функция B будет принадлежать множеству F3 1 (p, r). Осталось заметить, что она непрерывна и имеется включение B ∈ F3 2 (p, r, α, β).
Стоит также отметить, что не для всех гладких функций f , g, φ, ψ, удовлетворяющих равенству (a0), имеется включение Bp,r(p, r, α, γ) ∈ F3 2 (p, r, α, γ). Именно поэтому мы ввели дополнительное семейство F2(p, r, α, γ), хотя будем ориентироваться на то, что невырожденная функция B3[p, r] принадлежит множеству F3(p, r, α, γ) для некоторых α, γ ∈ (0, 1).
1.2. Основные результаты
Теперь мы готовы сформулировать основные результаты этой работы. Для этого мы сначала введём переменные
q = q(p) = p − 1.
Напомним, что ранее мы вводили параметры β = α−1 и δ = αγ.
Теорема 1.22. Введём функции μ : R2 → R и rp, ap, bp, Ap, Bp, Cp, dp : (0, +∞) → R, заданные следующим образом:
μ(s, t) = 1 − 1
2 (1 + s)t;
rp(α) = μ(α, q)μ(β, p) + μ(α, p)μ(β, q)β
μ(α, q)μ(β, p) − μ(α, p)μ(β, q)β − 2μ(α, q)μ(α, p)βp ; ̃rp(α) = βprp(α);
ap(α) = 1 + rp(α)
2 ; bp(α) = β μ(β, q)
μ(α, q)ap(α);
Ap(α) = ap(α) − 1 + α( ̃rp(α) + bp(α))
q(1 + α) ; Bp(α) = ap(α) + α2bp(α)
(1 − q)(1 + α) ;
Cp(α) = 1
2 β((1 − rp(α)) + (1 + rp(α))α) − A(α)αq − Bαq−1; (7)
dp(α) = q − 1
p · α3bp(α) − ap(α)
1 − ap(α) + α2(bp(α) + ̃rp(α)) .
Определим для достаточно маленьких p ∈ (1, +∞) число αp ∈ (0, 1), такое что
q = o(1 − αp), (1 − αp)2 = o(q) при p → 1 и при α = αp
Ap(α)dp(α)p + Bp(α)dp(α)q + Cp(α)dp(α) = a(α)μ(β, q)dp(α)q + (1 − a(α))μβ,p(α)dp(α)p. (8)
Гарантируется, что такое семейство чисел αp существует (см. лемму 4.9). Введём следующие параметры и функции:
δp = dp(αp); γp = δp/αp;
f : [δp, 1] → R, f (t) = ap(αp)tq + (1 − ap(αp))tp;
g : [γp, 1] → R, g(t) = bp(αp)tq − (rp(αp) + bp(αp)) tp;
φ : [δp, αp] → R, φ(t) = Ap(αp)tp + Bp(αp)tq + Cp(αp)t;
ψ : [αp, 1] → R, ψ(t) = 1/2 ((1 − rp(αp) + (1 + rp(αp))t) .
Заключение данной теоремы состоит из следующих трёх утверждений:
1. При достаточно малых значениях числа p справедливо тождество
r3(p) = rp(αp).
2. При достаточно маленьких значениях p ∈ (1, +∞) имеет место равенство
B[p, rp(αp)] = Bp,rp(αp)[f, g, φ, ψ]. (9)
3. Верно следующее асимптотическое соотношение:
rp(αp) ≍ 1/−2 log(p − 1).
Замечание 1.23. Равенство (7) равносильно тождеству φ(α) = ψ(α), а соотношение (8) равенству φ(t) = f (t) − 1/2 (1 + β)tf ′(t) при t = δp(α).
Заметим, что теорема 1.3 является простым следствием теоремы 1.22.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании работ!


Основной результат этой работы заключается в справедливости асимптотического соотношения
r3
p ≍ −1/2 log(p − 1) при p → 1.
Следует заметить, что кроме асимптотики величины rn(p) также интересна конкретная формула функции Bn[p, r]. Отметим, что это формула была получена при r = r3(p) (см. теорему 1.22). Указанная заинтересованность связана с тем, что помимо данной задачи имеется большое количество вопросов, которые можно так или иначе разрешить, вычислив некоторую максимальную координатную-выпуклую функцию, ограниченную сверху некоторой подпоркой. В книге [5] можно найти обширный перечень примеров задач такого рода. В частности, поэтому координатно-выпуклые функции интересны сами по себе.


[1] DACOROGNA, B. Direct methods in the calculus of variations, second ed., vol. 78 of Applied Mathematical Sciences. Springer, New York, 2008.
[2] KAZANIECKI, K., STOLYAROV, D. M., AND WOJCIECHOWSKI, M. Anisotropic ornstein noninequalities. Analysis & PDE 10 (2015), 351-366.
[3] KIRCHHEIM, B., AND KRISTENSEN, J. On rank one convex functions that are homogeneous of degree one. Archive for Rational Mechanics and Analysis 221 (2015), 527-558.
[4] KURKA, O., AND POKORNY, D. Notes on the trace problem for separately convex functions. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 23, 4 (2017), 1617-1648.
[5] OSEKOWSKI, A. Sharp martingale and semimartingale inequalities, vol. 72 of Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Monografie Matematyczne (New Series) [Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series)]. Birkhauser/Springer Basel AG, Basel, 2012.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.



Подобные работы


©2025 Cервис помощи студентам в выполнении работ