Соболевские мартингалы, согласованные с неоднородными фильтрациями

1 Введение 2
1.1 Мартингальная модель 2
1.2 Потенциал Рисса 3
2 Сведение к частному случаю 4
3 Доказательство Теоремы 7 9
3.1 Оценка выпуклых атомов 11
3.2 Оценка плоских атомов 12
Список литературы 13
Купить

Мартингальные аналоги широко распространены в гармоническом анализе и часто служат моде­лями теорем в евклидовом пространстве. Например, принято рассматривать мартингальные преоб­разования как модели операторов Кальдерона-Зигмунда. В работе [5] Янсон охарактеризовал H1 мартингалы, согласованные к m-регулярной фильтрации, в терминах ограниченности конкретно­го мартингального преобразования. Его теорему можно рассматривать как мартингальный аналог знаменитой теоремы Феффермана-Стейна о характеризации пространства H1 преобразованиями Рисса. Оригинальный подход [8] к теоремам вложения Соболева основан на неравенстве Харди- Литтлвуда-Соболева. К сожалению, последнее неравенство становится неверным в предельном слу­чае p = 1. С другой стороны, верно вложение:
W 1
1(Rd) → L d/d−1, (1)
которое позже доказали Гальярдо [4] и Ниренберг [7]. Простое объяснение этого факта состо­ит в том, что градиенты W 1(К^)-функции естественным образом вкладываются в пространство L1(Rd, Rd), однако они не охватывают все пространство L1. Первоначальный Соболевский подход ставит естественный вопрос: для каких пространств типа L1 неравенство Харди-Литтлвуда-Соболева верно? Приведенные выше теоремы вложения дают примеры таких пространств (пространство гра­тдиентов функции из W1 1(Rd)).
Мы будем рассматривать функции из L1 (Rd, C1), т. е. суммируемые функции d переменных, принимающие значения в C1.
В работе [9] была доказана теорема.
Теорема 1. Пусть а & (0, d) и M замкнутое подпространство в пространстве S'(Rd, C1), инва­риантное относительно сдвигов и растяжений. Тогда константа в неравенстве
IML_±_ < IfIIL1, f & M, (2)
d — a
равномерна для всех f & M, если и только если пространство M не содержит заряда в вида So х а, а & R1 {0}.
Здесь S'(Rd, C1) это пространство двойственное к классу Шварца со значениями в C1, также Ia это оператор Рисса.
Так в работе [1] была построенна вероятностная модель, (фактически очень близкая к модели Янсона из [5]), в этой работе доказан мартингальный аналог теоремы 1.
1.1 Мартингальная модель
В этом разделе мы объясним как перенести предыдущие результаты на язык мартингалов. В нашей работе будут рассматриваться регулярные фильтрации. В работе [1] рассматривались m- равномерные фильтрации, то есть, наша теорема 4 будет обобщением соответствующей теоремы работы [1]. Сначала определим регулярную фильтрацию. Пусть у нас есть атомарная фильтрация F = {Fn}ny0, то есть, Fo состоит из одного атома и любой атом в алгебре Fn делится на конечное число атомов в алгебре Fn+i. Множество атомов в алгебре Fn будем обозначать AFn. Пусть даны атомы ш & AFnw. ш' & AFn+1 такие, что ш' С ш. Тогда будем говорить, то атом ш' потомок ат ома ш, а атом ш является предком атома ш', также будем использовать обозначение (ш')? = ш. Фильтрация F называется регулярной если любой атом имеет хотя бы два потомка, и существует число £ > 0 такое что для любого атома |ш| > е|ш?|. Также будем называть фильтрацию псевдо-равномерной, если существует такие числа 0 < у < 1 и C > 1, что для любого атома ш & AFn выполнено неравенство C-1yn < |ш| < Cyn.
Пусть wi,...,wk — это потомки атома w. Для к^кдого атома w определим пространство V—
V- = ( v е R I it гтVj = 0
[ I V |w|
Пусть {dFn}ny1 — это последовательность мартингальных разностей для мартингала F, согласо­ванного с фильтрацией F, то есть:
dFn = Fn - Fn-i, n ^ 1.
Пусть F — это Кг-значный мартингал, тогда для любого атома w е AFn функцию fn+i |ш можно естественным образом отождествить с вектором в V- С Rk1, где к — это количество потомков атома ш.
1.2 Потенциал Рисса
Пусть а е (0,1). Основной объект нашего изучения — это потенциал Рисса:
I«[F] = ^ Е |wfl“dFn. (5)
n=1-eAFn
Для регулярных мартингалов в работе [6] ранее была доказана следующая теорема (до этого в работе [10] эта теорема была доказана в случае диадических мартингалов).
Теорема 2. (Hardy-Littlewood-Sobolev). Для любого p е (1, то) и для любого q е (p, то), оператор Iq-p действует из Lp в Lq. qp
Замечание 1. В предельном случае p = 1, оператор Iq-i действует из L1 в пространство Лоренца Lppx, но не действует в Lp.
В книге [3] можно найти общую информацию по пространствам Лоренца.
Теорема 3. Оператор Iq-i действует из H1 в Lq1.
Здесь H1 — пространство Харди, собственное подпространство в L1, состоящее из тех мартин­галов F, для которых максимальная функция F* является суммируемой.
Теорема 1 утверждает, что в мире евклидовых пространств потенциалы Рисса действуют из некоторых пространств типа L1 непрерывно в соответствующие пространства Lp. Переведём эти результаты на язык мартингалов.
Пусть для любого атома w дано пространство Wu С V- С Rfc^ 1, где кш — это количество потомков атома w. Определим пространство M как следующее подпространство пространства Кг-значных L1 мартингалов.
M = {F е Li(Rz)|vn, w еА/n dFn+11- е W-}. (6)
Можно воспринимать пространство M как аналог пространства Соболева.
Определение 1. Совокупность W' = (к; а1,..., ak; W, W ^ Rlk) будем называть пространством с параметрами если выполнены следующие условия:
^Ejti aj = 1,
2) Для любого вектора v е W выполнено ЕЕ ajVj = 0, где Vj е R1 tz v = (v1,..., vk).
Определение 2. Будем говорить, что последовательность пространств с параметрами Wj = (kj; aj,1,..., aj,kj; Wj, Wj ^ Rlkj) стремится к пространству с параметрами W' = (k; a1,..., ak; W, W ^ Rlk) если выполнены следующие условия:
1) kj = k,
2) aj,i ^ ai, Vi,
3) dim(Wj) = dim(W),
4) Wj G(lk,_m(W)) W (пространства рассматриваются, как подпространства в Rlk).
Здесь G(l, k) — это грассманиан, т. е. совокупность всех k-мерных линейных подпространств в C1.
Для атома w определим пространство с параметрами W( = (k; |ууу,..., |pj|; IW, Ww ^ Rlk), здесь k — это количество потомков атома w, атомы wi,...,wk — это потомки атома w, a Wu ^ Rlk — это естественное вложение.
Определим семейства
Wo = | W( | где w е AFn для некоторого п} ,
Семейство W замыкание семейства Wo относительно взятия пределов.
Определение 3. Будем говорить, что семейство W удовлетворяет первому структурному усло­вию если для любого пространства с параметрами W' = (k; a1,...,ak; W, W ^ Rlk) е W выпол­нено следующие условие: если вектор a ® v принадлежит W, где v е Rl {0} tz а е Rk, тогда а=(-1,...,-1, а _ 1,-1,...,-1).
В этой работе мы докажем следующие теоремы.
Теорема 4. Пусть F — регулярная фильтрация, p > 1, а с^ейство W удовлетворяет первому структурному условию. Тогда оператор Бисса Ip-i действует непрерывно из M в Lp1.
Теорема 5. Пусть Т — псевдо-равномерная фильтрация, p > 1. а семейство W удовлетворяет первому структурному условию. Тогда оператор Бисса Ip-i действует непрерывно из M в 3^.
р p
Норма в пространстве Бесова определяется следующим образом:
F||bo,i = £ HdKIlLp.i. (8)
р, 1 < 4
n=1
Из этого равенства видно, что F||Bo,i < F||L
Bp,1 p’
Сначала доказательство теоремы 4 сведём к доказательству теоремы 5, а её сведем к частному случаю (теорема 7). Затем в главе 3 докажем теорему 7.
В этой работе нам понадобятся базовые факты по пространствам Лоренца, а именно следующие факты. Пространство Lp , q нормируемо при 1 < p < +то и 1 < q < +то. Также интерполяционная теорема Lpe,q = (Lpo,qo, Lpi,qi )g q, еде -А = ±— + py (в книге [3] можно найти базовые факты по интерполяционной теории).
Купить