Введение 3
Глава 1. Аналог локального времени для некоторого класса процессов
Леви 8
Глава 2. Вероятностное представление резольвенты генератора устойчи¬вого процесса 16
2.1. Представление в виде функционала от устойчивого процесса 16
2.2. Представление в виде функционала от сложного пуассоновского процесса 22
Заключение 32
Список литературы 33
Процессы Леви. Устойчивые процессы
Настоящая работа посвящена процессам Леви и, в частности, устойчивым процессам. Приведем необходимые сведения об этих процессах.
Определение 0.1. Случайный процесс X(t) является процессом Леви, или процессом с независимыми приращениями, если выполнены следующие условия:
a) X (0) = 0 почти наверное (п. н.).
b) Для любого набора {tj}n=1, 0 < t1 < ... < tn < ж, случайные величины X(t2) — X(t1), ..., X(tn) — X(tn-1) независимы.
c) Для любых t и s, 0 < s < t, случайные величины X(t — s), X(t) — X(s) имеют, одинаковое распределение.
d) Для любых Е > 0 и t > 0
lim Р(|X(t + h) — X(t)| >e) = 0. hM.'l
Существует модификация процесса Леви с п. н. непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями, то есть траекториями из пространства Скорохода (см. [1, стр. 20]).
На практике удобна следующая характеризация процесса Леви (см. [1, стр. 32]).
Теорема 0.1 (формула Леви-Хинчина). Процесс X(t) является процессом Леви тогда и только тогда, когда для любых t и s, 0 < s < t,
Еегр(Х (t)-X(S)) = e-(t-S)L(P), L(p) = —гра + — J' e ' — 1 — гру -^(y)) ^Ду),
где a E R, a > 0, а П - мера Леви, то есть такая а-конечная мера, что
П({0}) = 0 и min(1, у2) П(ду) < ж.
Функция L(p) называется характеристическим показателем,, а набор параметров (а, а2, П) - тройкой Леви-Хинчина. Если а = 0, то у процесса Леви нет сдвига. Если а = 0, то у процесса Леви отсутствует гауссова компонента. Процессы Леви без сдвига и с нулевой гауссовой компонентой однозначно определяются своей мерой Леви П.
Важным примером процессов Леви является семейство устойчивых процессов.
В настоящей работе был построен аналог локального времени для специального класса процессов Леви, включающих устойчивые процессы с показателем устойчивости а Е (1, 2). Для последних построенный аналог совпадает с самим локальным временем, что позволяет говорить об обобщенном локальном времени. Была доказана предельная теория, связывающая обобщенное локальное время с решением неоднородного дифференциального уравнения, порожденного генератором устойчивого процесса. Эти результаты изложены в статье [11].
Также в настоящей работе были построены два семейства процессов, первое из которых позволяет представить резольвенту генератора устойчивого процесса в виде функционала от устойчивого процесса, а второе - в виде функционала от сложного пуассоновского процесса. Изучены свойства данных семейств.
