1 Введение 3
2 Основные результаты 5
3 Непрерывность в метрике Хаусдорфа 7
4 Средняя площадь 10
4.1 Определения и основная формула 10
4.2 Примеры 13
4.3 Следствия основной формулы 14
5 Средняя длина хорды 17
5.1 Доказательство теоремы 3 17
5.2 Доказательство теоремы 1 20
Список литературы 22
Рассмотрим выпуклую фигуру K на плоскости. Под этим мы понимаем, что K является выпуклым компактом с непустой внутренностью, и в дальнейшем класс таких множеств будем называть выпуклыми телами, чтобы не вводить отдельную терминологию в ситуации, когда мы будем упоминать многомерный случай. При этом, если не оговорено другое, мы всегда по умолчанию предполагаем, что K лежит в R2.
В 1864 году Сильвестр поставил следующую задачу [1]: пусть внутри K случайно выбираются 4 точки X1, X2, X3, X4. Какова вероятность того, что их выпуклая оболочка conv(X1, X2, X3, X4) является треугольником? Ясно, что данная вероятность зависит от формы K. В 1918 году Бляшке показал [2], что для любого выпуклого тела K на плоскости выполнены оценки
35/12π2 ⩽ P(conv(X1, X2, X3, X4) есть треугольник) ⩽ 1/3,
причем левая граница достигается на эллипсах, а правая – на треугольниках.
Данную задачу можно переформулировать в других терминах. Пусть area (·) обозначает площадь. Тогда несложно видеть, что
P(conv(X1, X2, X3, X4) есть треугольник) = 4P(X4 ∈ conv(X1, X2, X3)) =
= 4 E area (conv(X1X2X3))/area K.
Введем обозначение α(K) = E area (conv(X1X2X3)). Таким образом, неравенство Бляшке эквивалентно
35/48π2 ≤ α(K)/area K ≤ 1/12,
что дает оптимальную нижнюю и верхнюю оценку для нормированной средней площади треугольника, вершины которого независимо и равномерно распределены на K.
В [3] была рассмотрена аналогичная задача для двух точек: оценивалась нормированная периметром K длина случайного отрезка с концами, независимо и равномерно выбранными внутри K. Было показано, что для
∆(K) = E |X1 − X2|
выполняется
7/60 < ∆(K)/per K < 1/6. (1)
Данный результат был также обобщен на многомерный случай, при этом ∆ нормировалась средней шириной тела, которая в размерности 2, в соответствии с формулой Коши (см. [4]), совпадает с периметром, взятым с коэффициентом 1/π.
Отметим, что несмотря на строгие неравенства в левой и правой части (1), данный результат является оптимальным: нижняя оценка асимптотически достигается на последовательности равнобедренных треугольников, основание которых фиксировано, а соответствующая ему высота стремится к нулю. Что касается верхней оценки, она достигается на отрезке, который, ввиду отсутствия внутренности не принадлежит рассматриваемому нами классу выпуклых тел, однако нетрудно показать, что асимптотически его можно приблизить последовательностью прямоугольников.
Исходя из вышесказанного и того факта, что в равнобедренный треугольник с маленькой высотой к основанию можно поместить прямоугольник не слишком отличающегося периметра, нетрудно показать, что функционал ∆(·), действующий на множестве выпуклых тел K, не является ни монотонным по включению, ни непрерывным в метрике Хаусдорфа dH.
Рассмотрим функционалы, также заданные на K и определяемые аналогично α(·) и ∆(·), с той лишь разницей, что точки теперь выбираются на границе тела:
θ(K) = E |Y1 − Y2|, (2)
ψ(K) = E area (conv(Y1, Y2, Y3)), (3)
где точки Y1, Y2, Y3 независимы и равномерно распределены на границе K.
Запорожец и Тарасов высказали естественное предположение, что для всех выпуклых тел в произвольной размерности d выполнено
∆(K) < θ(K) (4)
Насколько нам известно, данные гипотеза все еще является открытой даже в размерности d = 2.
Гусакова и Запорожец предложили следующий возможный подход к доказательству данной гипотезы. Они предположили, что для произвольного выпуклого тела на плоскости выполнено
1/6 < θ(K)/per K ≤ 2/π2, (5)
причем равенство в оценке сверху выполняется тогда и только тогда, когда K является кругом, а нижняя оценка недостижима в классе выпуклых тел, однако достигается на отрезке, который асимптотически приближается прямоугольниками. Очевидным образом, из нижней оценки в данной гипотезе вместе с верхней оценкой из (1) сразу бы следовало (4)
