Обозначения и сокращения 3
Введение 4
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Основные понятия 9
Глава 2. Процедура кусочно-постоянной дискретизации ... 17
2.1. Альтернативная форма дискретизированного функционала 18
2.2. Связь матрицы дискретизированного функционала с матрицей Ляпунова 23
2.3. Оценка погрешности 31
2.4. Критерий экспоненциальной устойчивости 37
Глава 3. Процедура кусочно-линейной дискретизации .... 42
3.1. Альтернативная форма записи дискретизированного функционала 44
3.2. Оценка погрешности 45
3.3. Критерий экспоненциальной устойчивости 54
Глава 4. Примеры 59
Выводы 68
Заключение 69
Список литературы 70
Системы с запаздыванием находят широкое применение в экономике, биологии, сложных системах [1], [2].
При моделировании динамики некоторого процесса одной из важных задач является исследование устойчивости получившейся динамической системы. В частности, для систем с запаздыванием, это позволяет сказать, можно ли пренебречь запаздыванием с точки зрения устойчивости данной системы. Поэтому представляет интерес поиск критериев, например, экспоненциальной устойчивости, которые позволяют определить, будет ли система экспоненциально устойчива при наличии заданных запаздываний.
В данной работе исследуется класс линейных систем с запаздыванием. В этом случае традиционный подход, применяющийся для линейных систем без запаздывания, основанный на нахождении собственных чисел системы, не всегда является эффективным, в силу бесконечного их количества для линейных систем с запаздыванием. Вместо этого, можно использовать обобщение метода Ляпунова, основанного на построении матрицы Ляпунова и исследовании на положительную определенность квадратичных функционалов с заданной отрицательно-определенной производной для анализа устойчивости системы. Еще одним преимуществом данного подхода является то, что с помощью построенных функционалов можно практически бесплатно получить оценки робастной устойчивости системы, построить оценки скорости убывания решений, а так же использовать функционалы для построения стабилизирующего управления системы [3]. Однако проверка положительной определенности квадратичных функционалов является нетривиальной задачей. В данной работе мы решаем эту проблему и предлагаем новый подход для исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием на основе матрицы Ляпунова.
Постановка задачи
Основной целью данной работы является разработка конструктивных условий, гарантирующих положительную определенность квадратичного функционала v0.
Кроме того, вторая задача в работе рассматривает вопрос практического применения полученных условий для исследования устойчивости системы (1.1) и сравнение с существующими в литературе условиями, разработанными другими авторами.
В данной работе разработаны критерий экспоненциальной устойчивости линейных дифференциальных систем с кратными запаздываниями, а также критерий, являющийся улучшением первого критерия в случае одного запаздывания. Критерии позволяют свести проверку устойчивости системы к проверке выполнения условия Ляпунова и проверке положительной определенности некоторой блочной матрицы, зависящей только от матрицы Ляпунова.
