Введение 2
2 Ренормгрупповой анализ стохастических моделей 4
2.1 Задача стохастической динамики и квантовополевая формулировка 4
2.2 Производящий функционал и функции Грина 4
2.3 Канонические размерности 6
2.4 Расходимости и перенормировка 7
2.5 Ультрафиолетовая мультипликативная перенормировка 7
2.6 Обобщенная однородность 8
2.7 Уравнение ренормгруппы 9
2.7.1 Аномальная размерность и ^-функция заряда g 10
2.7.2 Уравнение РГ с точки зрения теории дифференциальных уравнений
в частных производных 10
2.8 Неподвижные точки и скейлинг 13
3 Случайное блуждание по случайной поверхности: анализ простой модели 15
3.1 Описание модели 15
3.2 Теоретико-полевая формулировка и перенормировка модели 17
3.3 Уравнения РГ, функции РГ и неподвижные точки 20
3.4 Критические размерности и скейлинг 22
3.5 Заключение 23
4 Литература
На протяжении последних десятилетий постоянное внимание привлекают явления случайного роста флуктуирующих поверхностей (границ раздела фаз). Наиболее яркие примеры включают осаждение вещества на поверхность и рост соответствующей границы раздела фаз; распространение пламени, дыма и фронтов затвердевания; рост вицинальных поверхностей и бактериальных колоний; эрозия ландшафтов и профилей морского дна; молекулярно-лучевая эпитаксия и многие другие [1]-[5]
Другой обширной областью исследований является диффузия и случайные блуждания в случайных средах, таких как неупорядоченные, неоднородные, пористые или турбулентные среды [21]-[25].
Важной общей особенностью таких явлений оказывается их интересное автомодельное (скейлинговое, самоподобное) поведение - степенные закономерности, описываемые некоторым (иногда бесконечным) набором "критических размерностей" или "критических индексов". Подобное поведение давно известно для равновесных систем многих частиц вблизи их критических точек. В частности, такое критическое поведение оказывается в значительной степени универсальным: оно зависит не столько от физической природы конкретного "носителя"(жидкость-пар, бинарная смесь, магнетик, квантовый переход в сверхпроводящее или сверхтекучее состояния), сколько от глобальных характеристик системы: размерность пространства, симметрия и т.п. Это позволяет говорить о "классах универсальности" таких систем. Наиболее известным и часто встречающимся является класс, который может быть представлен как класс критического поведения O(n)- симметричной d-мерной ф4-модели теории поля.
В случае неравновесных динамических систем такое "критическое поведение" гораздо более многообразно и менее изучено. Более того, опыт показывает, что критическое поведение реальных систем очень чувствительно к наличию внешних возмущений: наличию примесей, влиянию гравитации, движению среды.
Одной из важнейших задач теории является объяснение такого поведения на основе некоторых микроскопических моделей, нахождение возможных классов универсальности, вычисление соответствующих критических размерностей.
Во многих случаях модели случайного роста или диффузии в случайной среде могут быть переформулированы как некоторые модели квантовой теории поля. (Во избежание недоразумений подчеркнем, что речь идет не о квантовых полях, а о близких к ним с математической точки зрения классических случайных полях).
Однако для изучения критического поведения в таких теоретико-полевых моделях невозможно оставаться в рамках обычной теории возмущений, а необходимо выйти за ее пределы с помощью, например, теоретико-полевых методов теории перенормировок, ренормализационной группы (РГ), а в более "тяжелых" случаях - с помощью операторного разложения, точных функциональных уравнений типа Швингера, Дайсона и Уорда, инстантонных методов и непертурбативной (функциональной) ренормгруппы. Так или иначе, мощный и хорошо развитый математический аппарат КТП можно применять к подобным задачам статистической физики.
Именно на этом и сосредоточено исследование в данной работе: используя стохастические дифференциальные уравнения как модели различных физических явлений, исследуется их асимптотическое (критическое) поведение с помощью метода ренормализационной группы (РГ). А именно: рассматривается случайное блуждание частицы в однородном гравитационном поле по шероховатой поверхности. При этом динамика частицы описы-вается уравнением Фоккера-Планка, а поверхность моделируется обобщенным линейным стохастическим уравнением Эдвардса-Уилкинсона для поля высот [1]. В обобщенной модели используются два произвольных показателя: Е и п, связанные со спектром и законом дисперсии поля высот соответственно. Подробное описание модели и ее связи с различными частными случаями дано в разделе 3.1.
С помощью общей теоремы Мартина-Сиджа-Роуза и де Доминисиса-Янссена, исходная стохастическая задача переформулируется как некоторая теоретико-полевая модель. Это позволяет применять хорошо развитый формализм фейнмановской диаграммной техники, теории перенормировок и РГ. На основе соображений симметрии и размерности, а также некоторых специфических особенностей модели, было показано, что модель мультипликативно перенормируема, так что уравнение РГ было получено стандартным способом. Соответствующие константы перенормировки и РГ-функции (аномальные размерности и в-функции) вычисляются явно в ведущем однопетлевом порядке РГ-теории возмущений. Эти вопросы обсуждаются в разделах 3.2 и 3.3.
Уравнения РГ имеют две гауссовские (свободные) неподвижные точки и две нетривиальные. Эти точки являются инфракрасно-притягивающими в зависимости от значений параметров Е и п, что предполагает наличие скейлинговых асимптотических режимов в ИК-диапазоне (большие времена и большие расстояния) для различных функций отклика и корреляционных функций модели (раздел 3.3). Критические размерности для этих режимов находятся в точности как функции Е и п
В качестве показательного приложения получена временная зависимость среднеквадратичного радиуса облака случайно блуждающих частиц (раздел 3.4). Она описывается степенным законом с показателем степени, который зависит от неподвижной точки и точно известен как функция от Е и п, и для нетривиальных точек отличается от обычного случайного блуждания: R2(t) — t.
Исследовалась модель случайного блуждания частицы по шероховатой флуктуирующей поверхности, описываемого уравнением Фоккера-Планка для частицы в постоянном гравитационном поле, а поверхность моделировалась (обобщенной) моделью Эдвардса- Уилкинсона. Полная стохастическая задача (34), (35), (39), (40) отображается в мульти-пликативно перенормируемую теоретико-полевую модель (47), (48).
Соответствующие уравнения РГ показывают две гауссовские (свободные) и две нетривиальные фиксированные точки, что означает, что система демонстрирует различные типы поведения ИК-скейлинга (большие времена, большие расстояния). Хотя практический расчет ограничен ведущим однопетлевым приближением, основные критические размерности находятся точно.
В качестве наглядного примера было рассмотрено среднеквадратичное смещение блуждающей частицы (в другой интерпретации радиус облака частиц). Он показывает, что частица не остается в конечной области, а путешествует по всей системе с законом распространения, подобным обычному случайному блужданию, но, вообще говоря, с другими показателями степени; см. (66) и текст ниже.
Как видно, даже сравнительно простая модель демонстрирует интересные типы ИК- поведения. Таким образом, интересно изучить более сложные ситуации. Можно выделить несколько направлений возможного обобщения.
Линейные стохастические уравнения, такие как (36), (39) (соответствующие гауссовой статистике для поля высот) могут быть заменены нелинейными моделями, такими как KPZ [2] или модель Павлика [5, 9].
Хотя выражения (63), (64) для критических размерностей точны, они получены в рамках теории возмущений, основанной на предположении, что параметры разложения Е и П малы. Тогда предполагается, что однопетлевая схема неподвижных точек качественно верна. Однако в некоторых случаях происходит кроссовер в скейлинговом поведении для конечных значений параметров, аналогичных Е и п [39, 40]. В теоретико-полевом подходе этот эффект можно связать с появлением составных операторов с отрицательной размерностью [39]. Этот вопрос требует специального исследования.
В некоторых случаях движение частицы не является обычным случайным блужданием (33), а описывается, например, полетами Леви; см., например, [22]. Эта возможность подтверждается представлениями о самоорганизованной критичности, что подстилающая поверхность развивается лавинами [32]-[35], а частица может скользить по поверхности. Если это так, то естественно заменить оператор Лапласа в уравнении Фоккера-Планка (34) дробной производной: —д2~ k2^ к2-4 с некоторым новым показателем ц' ■
Особенно интересно включить анизотропию (как следствие общего наклона поверхности). Это можно сделать, описав поле hмоделью Пастора-Саторраса-Ротмана для размываемого ландшафта [10, 11] или моделью Хуа-Кардара песочной кучи [41, 42].
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
