1 Введение 3
2 Предварительные сведения 4
2.1 Многообразия Зейферта 4
2.2 Простые и специальные спайны 6
2.3 ε-инвариант 7
2.4 Тэта-кривые на торе 8
3 Построение спайнов многообразий Зейферта с базой RP2 и двумя особыми слоями 8
4 Вычисление значений ε-инварианта для многообразий Зейферта с базой RP2 и двумя особыми слоями 13
5 Список литературы 15
Одним из наиболее простых и при этом активно используемых инвариантов в теории сложности трёхмерных многообразий является ε-инвариант, введённый в [1], где он называется t-инвариантом. Его популярность обусловлена тем, что он просто считается для каждого конкретного многообразия и аддитивен относительно операций связной суммы и граничной связной суммы многообразий. Эти свойства позволили с его помощью установить значения сложности для нескольких бесконечных серий 3-многообразий ([2, 3, 4]).
Оказывается, на множестве линзовых пространств ε-инвариант принимает всего четыре значения:
Теорема 1 ([1, Теорема 4]). Пусть p > q > 0, p > 3 – пара взаимно простых целых чисел. Тогда
t(Lp,q) =
0, p ≡ 0 (mod 5), q ≡ ±2 (mod 5)
1, p ≡ ±1 (mod 5)
ε + 1, p ≡ ±2 (mod 5)
ε + 2, p ≡ 0 (mod 5), q ≡ ±1 (mod 5)
Поэтому вопрос о количестве различных значений ε-инварианта, принимаемых на многообразиях заданного класса, представляет определённый интерес.
В работе [5] М.А.Овчинников доказал, что на классе многообразий Зейферта с базой S2 и тремя особыми слоями ε-инвариант принимает 11 различных значений, и привёл их полный список.
Целью настоящей работы мы поставили вопрос о значениях ε-инварианта для многообразий Зейферта с базой RP2 и двумя особыми слоями (α1, β1) и (α2, β2).
Теорема 2. Пусть M = (RP2, (α1, β1), (α2, β2)) – многообразие Зейферта с базой RP2 и двумя особыми слоями. Тогда значение ε-инварианта t(M ) считается следующим образом.
Если α1 ≡ 0 (mod 5), то
t(M ) =
5ε + 5, α2 ≡ 0 (mod 5), β1, β2 ≡ ±1 (mod 5);
5, α2 ≡ 0 (mod 5), β1, β2 ≡ ±2 (mod 5);
0, α2 ≡ 0 (mod 5), β1 ≡ ±1 (mod 5), β2 ≡ ±2 (mod 5);
ε + 2, α2 ≡ ±1 (mod 5);
4ε + 3, α2 ≡ ±2 (mod 5), β1 ≡ ±1 (mod 5);
−ε + 3, α2 ≡ ±2 (mod 5), β1 ≡ ±2 (mod 5).
Если α1 ≡ ±1 (mod 5), то
t(M ) =
ε + 2, α2 ≡ 0 (mod 5);
3ε + 2, α2 ≡ ±1 (mod 5), s ≡ 0 (mod 5);
1, α2 ≡ ±1 (mod 5), s ≡ ±1 (mod 5);
ε + 3, α2 ≡ ±1 (mod 5), s ≡ ±2 (mod 5);
−ε + 2, α2 ≡ ±2 (mod 5), s ≡ 0 (mod 5);
ε + 1, α2 ≡ ±2 (mod 5), s ≡ ±1 (mod 5);
2ε + 3, α2 ≡ ±2 (mod 5), s ≡ ±2 (mod 5),
где s = α2β1 + α1β2.
Если α1 ≡ ±2 (mod 5), то
t(M ) =
4ε + 3, α2 ≡ 0 (mod 5), β2 ≡ ±1 (mod 5);
−ε + 3, α2 ≡ 0 (mod 5), β2 ≡ ±2 (mod 5);
−ε + 2, α2 ≡ ±1 (mod 5), s ≡ 0 (mod 5);
ε + 1, α2 ≡ ±1 (mod 5), s ≡ ±1 (mod 5);
2ε + 3, α2 ≡ ±1 (mod 5), s ≡ ±2 (mod 5),
ε + 3, α2 ≡ ±2 (mod 5), s ≡ ±2 (mod 5);
4ε + 4, α2 ≡ ±2 (mod 5), s ≡ 0 (mod 5);
2ε + 5, α2 ≡ ±2 (mod 5), s ≡ ±1 (mod 5),
где s = α2β1 + α1β2.
Знак “±” здесь следует понимать несогласованно: в каждом месте он может быть заменён на “+” или “−” произвольно. Запись β1, β2 ≡ ±x (mod 5) означает, что остаток от деления β1 на 5 равен ±x и остаток от деления β2 на 5 равен ±x; при этом эти остатки не обязаны совпадать.
При выполнении работы получен ответ на вопрос о значениях ε-инварианта для многообразий Зейферта с базой RP2 и двумя особыми слоями (α1, β1) и (α2, β2).
