0 Введение 3
0.1 Историческое введение и применения 3
0.2 Основные результаты работы 3
0.2.1 Структура работы 3
1 Косы и их коэффициенты дробных скручиваний Дена 5
1.1 Основные определения 5
1.1.1 Группы кос и косы 5
1.1.2 Коэффициенты дробных скручиваний Дена 5
1.2 Геометрическая интерпретация кос 6
1.2.1 Группа кос vs группа классов отображений 7
2 Алгоритм вычисления коэффициентов дробных скручиваний Дена 9
2.1 Процедура сравнения 9
2.1.1 Необходимые средства 9
2.1.2 Описание процедуры 10
2.1.3 Корректность процедуры 11
2.2 Вычисление антье Деорнуа 13
2.2.1 Описание процедуры 13
2.2.2 Корректность процедуры 13
2.3 Алгоритм вычисления КДСД 14
2.3.1 Корректность и сложность алгоритма 15
2.3.2 Особенности программы 16
3 Эксперименты и гипотезы 17
3.1 Распределение дробных частей коэффициентов дробных скручиваний Дена 18
3.1.1 Результаты 18
3.1.2 Выводы 18
3.2 Распределение переходов между дробными частями 20
3.2.1 Результаты 20
3.2.2 Выводы 20
Приложение 23
Ссылки 24
Список литературы 24
Теория групп кос является важной областью в математике, дающей ценную информацию об узлах и поверхностях. Значительным достижением в этой области является определение коэффициентов дробных скручивания Дена для кос, позволяющее глубже понять и проанализировать свойства кос. Отметим, что далее в нашей работе, КДСД будет аббревиатурой коэффициентов дробных скручиваний Дена.
В этой работе мы стремимся разработать алгоритм и программу, которые эффективно вычисляют КДСД для кос, и использовать их для дальнейшего изучения этих коэффициентов. Во введении дается исторический обзор групп кос и КДСД, обсуждается их применение, обрисуется мотивация, стоящая за этой работой, и представляется ее краткое содержание.
0.1 Историческое введение и применения
Изучение кос можно проследить до начала 20-го века, когда фундаментальный вклад внесли такие математики, как Эмиль Артин, Курт Рейдемайстер и Дж.У. Александер. Работа Эмиля Артина над группами кос в 1920-х годах (см. [1]) заложила основу для алгебраического изучения кос. Основополагающая книга Курта Рейдемайстера “Knotentheorie” ([2]), опубликованная в 1932 году, еще больше расширила понимание кос и их взаимосвязи с узлами.
Понятие коэффициентов дробных скручиваний Дена может быть определено множеством различных способов и фактически может быть определено не только для кос, но и для классов отображений поверхностей общего вида с краем. Впервые понятие КДСД появилось в литературе в 1898 году в работе Габая и Эртеля [3]. Определение, которое наиболее полезно для нас, основано на понятии порядка Деорнуа на группах кос и дано в работе [4] А.В.Малютина. Преимущество этого подхода состоит в том, что порядок Деорнуа дает конкретную характеристику положительности косы в терминах ее слова в образующих Артина.
Коэффициенты дробных скручиваний Дена для кос широко используются в теории узлов, топологии малых размерностей, и даже в областях, таких как криптография, информатика и физика.
0.2 Основные результаты работы
Мотивация, стоящая за этой работой, проистекает из потребности в эффективном алгоритме и программе для расчета КДСД для кос. Существующие методы вычисления КДСД могут быть дорогостоящими с точки зрения вычислений и не иметь удобных для пользователя реализаций. Разработав специальный алгоритм и программу, исследователи и практики смогут более эффективно использовать КДСД при анализе и понимании структуры кос.
0.2.1 Структура работы
Данная работа состоит из трех важных частей:
В первой главе приводятся все необходимые определения и утверждения, позволяющие понимать алгоритм вычисления.
Во второй главе изучаются существующие математические структуры и методы, стремясь оптимизировать вычислительную сложность и обеспечить точные результаты. Каждая процедура описывается подробно, обосновывается их корректность, а также их вычислительная сложность. Разработанная программа будет предлагать удобный интерфейс, позволяющий исследователям вводить косы в виде слова в ар- тиновских образующих и эффективно получать соответствующий КДСД.
В последней главе проводятся экспериментальные исследования для проверки производительности алгоритма, а также формулируются гипотезы на основе этих экспериментов.
Таким образом, целью данной работы является разработка алгоритма и программы для вычисления КДСД для кос и ee использование при дальнейших исследованиях. Предоставляя историческую справку, освещая их применение и рассматривая мотивацию и масштаб работы, эта работа подготавливает почву для углубленного изучения КДСД и их вычислительной реализации для кос.
В результате выполнения работы создана программа для вычисления коэффициентов дробных скручиваний Дена. С её помощью проведён ряд исследований.
Стоит отметить, что доминирование кос с целочисленным КДСД в определенном смысле было ясно из теоретических результатов. Действительно, А.В.Малютин установил этот результат в своей работе [10]. Тем не менее конкретные численные данные, позволяющие объективно оценить это доминирование, впервые получены именно в нашей работе. Как видно из данных, такие косы встречаются с вероятностью 97.9% — 99.5%, в зависимости от распределения, использованного в случайном блуждании. Весьма неожиданным является тот факт, что дробные части с большим знаменателем встречаются значительно реже тех, у которых знаменатель меньше.
Также получен ответ на наш главный вопрос: при выборках размерности N < 10000 с очень большой вероятностью не все переходы между дробными частями будут осуществляться. Это прямое следствие того факта, что дробные части с большим знаменателем встречаются редко. Более того, данные из таблиц показывают, что переходы между дробными частями с большими знаменателями бывают еще реже (на самом деле, почти никогда). Обычно, такие переходы осуществляются из или к значениям 0 или 1.
