Об обратных последовательностях с тривиальным производным пределом

АННОТАЦИЯ 2
1 Введение 3
2 Обратные последовательности 5
3 Класс Локальных последовательностей 6
4 Примеры Локальных последовательностей 9
5 Необходимое условие для обнуления производного предела последовательно­сти 11
6 Достаточное условие для обнуления производного предела последовательно­сти 13
7 Класс L 15
8 Локализация 19
Список литературы 21
Купить

В этой работе изучаются обратные пределы абелевых групп, которые используются в различ­ных областях математики. Обратный предел определяется для обратной последовательности абелевых групп.
По сути обратная последовательность это функтор из двойственной категории натуральных чисел в категорию абелевых групп и обратный предел это предел такого функтора. Однако также обратный предел можно определить как ядро некоторого эндоморфизма группы n°=iAj. Обознается обратный предел как limAj.
Самый известный пример это группа целых p-адических чисел, которая является пределом обратной последовательности циклических групп Z/pj Z
Обратный предел можно рассматривать как функтор из категории обратных последова­тельностей в категорию абелевых групп. Однако этот функтор не будет точным. J. E. Roos [Roo61] ввел определение производного предела обратной последовательности - ljm1Ai. Это пра­вый производный функтор предела, однако также его можно определить как коядро все того же эндоморфизма, ядром которого является limAj.
Связь между точностью ljm и обнулением lim1 показывает следующее утверждение:
Предложение. (Предложение 1) Пусть есть короткая точная последовательность обрат­ных последовательностей Am B ^ C, тогда есть длинная точная последовательность:
О —> lim A —> lim B —> lim C —> lim1 A —> lim1B —> lim1C —> 0
Производные обратные пределы часто используются в алгебраической топологии и гомоло­гической алгебре. Например, Милнор показал, что для обратной последовательности расслоений пространств
X0 ^ X1 ^ х2 ^ ...,
если обозначить через Ху_ предел этой последовательности пространств, то для любого фикси­рованного n имеет место короткая точная последовательность
0 —м lim1 nn+1(Xj) —м пга(Хте) —м lim nn(Xj) —м 0.
г г
Нам понадобится следующее определение:
Определение. Для каждого i G N определим фильтрацию образами A“ на последовательно­сти A рекурсивно для всех ординалов а:
A0 := Ai
A := fi(A«+1)
A^ := Aa Александр Гротендик в [GD61] сформулировал критерий на фильтрацию образами, который назвал условием Миттаг-Леффлера.
Если для обратной последовательности A для всех i существует N G N такое, что для всех n > N An = AN, то A удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера.
Также Гротендик доказал, что выполнение условия Миттаг-Леффлера влечет обнуление производного предела и что его выполнение необходимо для обнуления производного предела в случае когда все члены последовательности имеют не более чем счетную мощность. Однако в общем случае это условие не является необходимым. В 4 части данной работы описана серия примеров обратных последовательностей, которые не удовлетворяют условию Миттаг-Лефлера, но их производный предел тривиален.
Наша работа посвящена изучению класса обратных последовательностей абелевых групп, для которых lim1 А = 0.
Легко проверить, что для фиксированного а группы А“ задают обратную подпоследова­тельность в А, которую мы обозначаем через Аа. Для любого предельного ординала А мы рассматриваем гомоморфизм
hx : А/Ах ^ |im А/Аа,
а<Х
который индуцируется проекциями А/Ах ^ А/Аа для а < А. Легко проверить, что если усло­вие Миттаг-Лефлера выполняется, то hx изоморфизм для любого А. Оказывается свойство lim1А = 0 свянано с тем, когда hx является изоморфизмом. К сожалению, нам не удалось найти эквивалентного условия. Однако мы нашли необходимое условие, и достаточное условие:
Теорема. (Теорема 4, Теорема 5)
(1) Если hx изоморфизм для любого А, то lim1 А = 0.
(2) Если |1ш1А = 0, то для hx изоморфизм для любого предельного ординала А счётной ко- финальности.
Оба этих условия слабее условия Миттаг-Леффлера. Однако, несмотря на это, первое усло­вие не является обязательным для обнуления производного предела, что доказано в нашей ра­боте посредством приведения контрпримера.
Мы также показываем, что есть примеры обратных последовательностей, для которых рас­смотрение трансфинитной фильтрации образами имеет смысл. А именно, для любого ординала а мы приводим пример обратной последовательности А, для которой lim1 А = 0 и Аа = Аа+1.
Поскольку нам не удалось найти эквивалентного условия на обнуление производного обрат­ного предела в терминах гомоморфизмов hx , мы решили использовать другой подход для опи­сания этого класса обратных последовательностей. Мы решили показать, что любая обратная последовательность А со свойством lim1 А = 0 в некотором смысле “склеивается” из “просте­йших” последовательностей с этим свойством. Далее мы поясним более строго, что мы имеем ввиду.
В классе обратных последовательностей со свойством lim1 А = 0 есть два важных подкласса: эпиморфные обратные последовательности и локальные обратные последовательности. Обрат­ная последовательность E называется эпиморфной, если все отображения fi : Ei+1 ^ Ei эпи­морфизмы. Из условия Миттаг-Лефлера следует, что у эпиморфных обратных последователь­ностей производный обратный предел обнуляется. Обратная последовательность L называется локальной, если limL = 0 и lim1L = 0. Мы показываем, что любая обратная последовательность А с условием lim1— = 0 единственным образом раскладывается в короткую точную последова­тельность обратных последовательностей
0 —> E —> А —> L —> 0,
где E эпиморфна, и L локальна. Свойство эпиморфности - это элементарное свойство. Таким образом, изучение обратных последовательностей с условием 1дш1А = 0 сводится к изучению локальных обратных последовательностей.
Простейший пример локальной обратной последовательности - это обратная последователь­ность N, для которой все отображения fi : Ni+1 ^ Ni нулевые. Такие обратные последователь­ности мы будем называть ноль-последовательностями (null-sequence). Более того, можно пока­зать, что если есть расширение локальной обратной последовательноти A при помощи ноль- последовательности
0 —> N —> B —> A —> 0,
то B тоже локальна. Следующая теорема даёт описание локальных последовательностей.
Теорема. (Следствие 3) Класс локальных последовательностей - это наименьший класс об­ратных последовательностей, который
1. содержит нулевую обратную последовательность;
2. замкнут относительно малых пределов;
3. замкнут относительно расширений при помощи ноль-последовательностей.
Эта теорема вместе с утверждением о том, что любая обратная последовательность со свой­ством |im1A = 0 является расширением локальной обратной последовательности при помощи эпиморфной обратной последовательности, даёт описание класса всех обратных последователь­ностей со свойством |im1A = 0. Все обратные последовательности со свойством lim1A = 0 скле­иваются при помощи расширений и малых пределов из двух типов кирпичиков: эпиморфных последовательностей и ноль-последовательностей.
В конце работы мы показываем, что для любой обратной последовательности A существует универсальный морфизм в локальную последовательность A ^ L(A). Другими словами, на ка­тегории обратных последовательностей есть функтор локализации A ^ L(A), образ которого состоит из локальных последовательностей. Отсюда и возник термин “локальная последова­тельность”.
Купить