1 Введение 1
1.1 Постановка задачи 1
1.2 Формулировка в терминах однородной линейной системы 1
2 Геометрическая интерпретация множества A 3
2.1 Примеры геометрических критериев 3
2.2 Линейные преобразования сохраняют порядок особенности 4
3 Матроид недопускающих множеств 6
3.1 Некоторые факты из теории матроидов 6
3.2 Матроид недопускающих множеств 6
3.3 Простейшие утверждения 7
3.4 Примеры базы и цикла 8
4 Исследование матроида с помощью пакета SageMath 9
4.1 Порядок m = 1, носитель куб {1, x, y, z, xy, yz, xz, xyz} 9
4.2 Порядок m =2, носитель мономы третьей степени 10
Список литературы 16
1.1 Постановка задачи
Пусть A С {xiyjzk | (i,j,k) G Z30} — некоторое конечное множество мономов. Мы рассматриваем всевозможные многочлены с вещественными коэффициентами aijk G R, состоящие только из мономов A:
P (x,y,z) = aijk xzyj z.
Любой такой многочлен задает поверхность С уравнением P(x,y,z) = 0.
Мы исследуем вопрос о том, какие множества A допускают поверхность с особой точкой заданного порядка. Дадим строгое определение.
Определение 1. Мы называем A множеством, допускающим особенность порядка т, если существует нетривиальный набор коэффициентов aijk, такой что поверхность С, заданная уравнением P(x,y,z) = 0, имеет в некоторой точке особенность порядка т.
1.2 Формулировка в терминах однородной линейной системы
Путем параллельного переноса можно добиться перемещения особой точки в (1,1,1). Мы будем по умолчанию считать, что особенность находится в (1,1,1). Данная точка обладает удобным свойством, см. лемму 1.
В общем случае для построения поверхности с особенностью порядка т нужно решить систему линейных уравнений
DeP(1,1,1) = 0, 0 < |в|< т. (1)
Здесь в G N0 х N0 х N0 — 3-индекс, а De — оператор дифференцирования в1 раз по первой переменной, в2 раз по второй переменной, и вз раз по третьей переменной. Порядок индекса, равный в1 + в2 + в3, обозначается через |в|.
Предложение 1. В системе (1) Cm = Cm+3 уравнений, где через СП = Д'. П i обозначается количество сочетаний с повторениями из n по k.
Доказательство. Ясно, что количество уравнений равно количеству 3-индексов порядка не выше т, то есть количеству решений неравенства
в1 + в2 + в3 < т
в неотрицательных целых числах. Любое такое решение этого неравенства взаимно однозначно соответствует неотрицательному целому решению уравнения
в1 + в2 + вз + t = т
относительно в1, в2, в3, t. В свою очередь такое уравнение имеет (Ст решений по стандартному комбинаторному аргументу с шарами и перегородками. □
Пример 1. Для m =2 система состоит из C3 = 10 уравнений:
Л -=0 X -=0, '' j-=° щдка-=0
X i(i - l^aijk = 0, ijaijk = 0, У^ ikaijk = 0,
У2 j(j - 1)aijk = 0, У2 jkaijk = 0, У2 k(k - Ijoj = 0.
Преобразованиями Гаусса можно упростить систему (1), оставив в уравнениях только «главные» члены. Будем так же писать вместо ^2 для краткости.
Получим систему
У" aijkiajbkc = 0, 0 < a + b + c < m. (2)
A
Матрица этой линейной системы на |A| переменных ajk имеет ширину |A| и высоту Сп+з. Имеет место тривиальное достаточное условие:
Предложение 2. Если |A| > С3 ,3- то A допускающее множество.
Доказательство. Если |A| > С*3+3, то в однородной линейной системе (2) на переменные ajjk больше переменных, чем уравнений. Поэтому у нее существует нетривиальное решение, и тем самым, можно задать поверхность. □
Важно отметить, что нетривиальное решение у системы (2) гарантирует, что такая поверхность существует, но в ее уравнении могут быть задействованы не все мономы из A. Действительно, если некоторый компонент aj решения оказался нулевым, то соответствующий моном xiyjzk можно легко исключить из A. Мы будем рассматривать только те допускающие множества A, при которых коэффициенты aj все ненулевые (то есть, для построения поверхности с особенностью используются все мономы в A).
