Рассмотрим граф на проективной плоскости, рёбра которого не имеют внутренних точек пересечения, а все грани состоят из трёх рёбер. Такой граф будем называть триангуляцией проективной плоскости RP2. Имея триангуляцию, можно задать метрику на RP2: внутренность каждой грани гомеоморфно отображается в правильный треугольник на плоскости со стороной 1, и метрика внутри грани индуцируется из этого отображения, а расстояние между точками из разных граней считается как инфимум длин кривых, их соединяющих, причём длина кривой считается как сумма длин её звеньев, где звено — подмножество образа кривой, полностью лежащее в какой-то из граней. С такой метрикой окрестность каждой точки, участвующей в 6 треугольниках, окажется плоской. Это наблюдение мотивирует ввести следующее определение:
Определение. Дефектом вершины, участвующей в к треугольниках, называется число 6 - к.
В данной работе изучаются выпуклые триангуляции, то есть те, у которых дефект при каждой вершине неотрицателен. Вершины с ненулевым дефектом будем называть дефектными. Поднятие триангуляции на сферу индуцирует на ней метрику, и по теореме Александрова [1] эта метрика реализуется на некотором выпуклом многограннике, который окажется центрально-симметричным. Определённым образом выберем маркировку триангуляции: порядок на её дефектных вершинах и набор геодезических, соединяющих дефектные вершины.
Определение. Две маркированные триангуляции изометричны, если существуют биекции на множестве их вершин,рёбер и граней, сохраняющие отношения инцидентности, а также сохраняющие маркировку.
Основная задача — оценить число f (п° классов изометрий маркированных триангуляций из не более, чем п треугольников, с данным набором дефектов вершин. Поскольку эйлерова характеристика проективной плоскости & (RP2) = 1, то сумма всех дефектов у любой триангуляции равна 6. Следовательно, возможные наборы дефектов для триангуляций с тремя дефектными вершинами — {2,2,2}, {1,2,3} и {1,1,4}. Случай с тремя равными дефектами был разобран в работе [2]. В этой же работе рассматриваются случаи дефектов {1,1,4} и {1,1,2,2}. Для случая {1,1,4} мы докажем следующий результат:
Теорема. Количество f3(п° классов изометрии маркированных триангуляций проективной плоскости RP2 с тремя дефектными вершинами с дефектами 1,1,4, состоящих из не более, чем п треугольников, удовлетворяет соотношению
f3 (п° = Сп2 + O (п3),
где
С = -Р (л() + 2Л (£Й Г1 (4)С(Eis, 2).
40Уз 3 V6
В формулировке теоремы используются следующие обозначения:
X
1. Функция Лобачевского Л(х° = - f ln|2 sin х| dx;
о
2. Решётка Эйзенштейна Eis = Z ф (Z, где ( = 2 + ^3i;
3. Дзета-функция для решёток £ (L, s') = ХуeL (у, у)s;
4. Дзета-функция Римана £ (s) = XneN n~s.
Для количества триангуляций с дефектами {1,1,2,2} получены оценки снизу и сверху, обе кубические по количеству треугольников.
В результате выполнения работы оценено число f(n) классов изометрий маркированных триангуляций из не более, чем n треугольников, с конкретным набором дефектов вершин.
