1 О причинах возникновения задачи 3
2 Постановка задачи 4
3 Результаты, полученные предшественниками 5
4 Описание полученных результатов 5
5 Кандидат на роль функции Веллмана 6
6 Подпирающие примеры и их построение 12
7 Экстремали функции Веллмана. 19
8 Случай выпуклой функции. 24
9 Случай вогнутой функции. 24
10 Случай “+-”. 25
11 Случай “-+”. 27
12 Случай “- + -”. 28
13 Случай “+ - +”. 32
14 Случай конечного количества точек перегиба. 36
Список литературы 39
Рассмотрим следующую задачу: дана функция f и константа с. Требуется найти X1,..., xn с весам и a1,..., an такими, что aixi =a ^a.f(xi) была при этом минимальной. Такая задача достаточно хорошо изучена: по неравенству Йенсена и идеям Штурма если функция выпукла, то Xi надо брать равными, если есть какая-то подпирающая снизу прямая, которая касается графика f слева и справа от с, то веса надо выбирать среди этих двух точек. Если функция вогнута, то надо брать точки как можно более отдалённые.
Но эта задача может быть сильно осложнена, если в случае, когда функция не выпукла, дополнительно ввести условия Haxi5 которые запрещали бы брать слишком малые или слишком удалённые друг от друга xi5 а количество переменных стремится к бесконечности.
Задачи об оценках интегральных функционалов общего видаш ^ J f (w) на пространстве функций ограниченной средней осцилляции ВМО хорошо изучены, точные оценки получены с помощью метода функции Веллмана, см. [4], [3] и ссылки в них.
В работе [1] метод функции Веллмана был впервые применен для получения оценок степенных средних на классах Макенхаупта. Задача оценки интегрального функционала общего вида на классах Макенхаупта Ap p > 1, была решена в недавней работе [5].
В данной работе изучаются экстремальные интегральные задачи общего вида на классе Макенхаупта A1. Частичное продвижение в этом направлении было проделано в работе [2].
В этой работе построена функция Веллмана для случаев знаков второй производной “—р’, “ + р’ и “—I—” (теоремы 4, 5, 6, 7, 8), а также решена в случае конечного числа точек перегиба при 5 достаточно близких к единице (теорема 9).
