Развитие методов Пирагаса и гармонического баланса для ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ

Введение 5
Постановка задачи 7
Глава 1. Основные определения 9
1.1. Динамические системы и аттракторы 9
1.2. Элементы теории Флоке 11
Глава 2. Методы Пирагаса 12
2.1. Классический метод запаздывающей обратной связи 12
2.2. Метод запаздывающей обратной связи с неустойчивой компонентой 13
2.3. Метод решения дифференциальных уравнений с запаздыванием в Matlab 15
Глава 3. Метод гармонического баланса 17
3.1. Описание метода гармонического баланса 17
3.2. Метод гармонического баланса и его математическое обоснование 19
3.3. Бифуркация удвоения периода 22
Глава 4. Метод Крылова-Ньютона 24
4.1. Сечение Пуанкаре 24
4.2. Методы Ньютона-Рафсона и Ньютона-Крылова 25
4.2.1. Метод Ньютона-Рафсона (с якобианом) 26
4.2.2. Метод Ньютона-Крылова (без якобиана) 27
4.2.3. Пошаговый подход 28
4.2.4. Добавление ограничений 29
Глава 5. Метод Демидовича для оценки мультипликаторов Флоке 30
Глава 6. Основной результат: исследование неустойчивых периодических орбит в сценарии рождения скрытого хаотического аттрактора Чуа 34
6.1. Применение модифицированного алгоритма Пирагаса к системе Чуа 36
6.2. Применение метода гармбаланса для системы Чуа 36
6.2.1. Матричный вид системы Чуа. Передаточная функция 36
6.2.2. Вычисление матрицы замены переменных S 37
6.2.3. Нахождение значений амплитуды 39
6.2.4. Вычисление начальных данных 39
6.2.5. Моделирование траекторий системы Чуа из начальных данных, полученных из гармбаланса 40
6.3. Применение метода Крылова-Ньютона для системы Чуа 41
6.4. Проверка системы Чуа на наличие ONL 42
6.5. Применение метода Пирагаса с неустойчивой компонентой к системе Чуа 44
Заключение 46
Список литературы 47
Приложение А. Реализация процедуры Крылова-Ньютона в Matlab для аппроксимации неустойчивой периодической траектории в системе Чуа 51
Приложение Б. Реализация процедуры Демидовича вычисления муль­типликаторов Флоке в Matlab для периодических траекторий систе­мы Чуа 54
Приложение В. Реализация модифицированного метода Пирагаса с неустой­чивой компонентой для стабилизации неустойчивых периодических траекторий системы Чуа 57
Купить

Причиной возникновения хаоса в динамических системах является неустойчивость (чувствительность) по отношению к выбору начальных данных: малое изменение на­чального условия приводит к большим изменениям состояния системы [1-3]. Часто в прикладных системах хаос может являться нежелательным поведением, которое необхо­димо подавлять, поэтому возникает задача управления хаосом [4,5]. На данным момент существуют различные методы для управления хаосом, применяющиеся в физике, хи­мии, биологии, экономике и др., целью которых является достижение стабилизации управляемой системы. Несмотря на эффективность этих методов, на практике у них есть ряд ограничений, которые нельзя обойти в общем случае.
Проблема стабилизации нелинейных систем, как правило, формулируется в виде задачи стабилизации неустойчивых периодических траекторий и неустойчивых состоя­ний равновесия, вложенных в хаотический аттрактор. Развивая идеи Э. Отта, К. Гре- боджи и Дж. Йорке [4], литовским инженером и физиком К. Пирагасом был предложен метод стабилизации неустойчивых периодических траекторий нелинейных систем [6,7]. Метод Пирагаса основывается на конструировании специального управления в форме обратной связи с запаздыванием, которое обнуляется на самой периодической траекто­рии, при этом делая данную траекторию локально орбитально устойчивой.
Предложенное К. Пирагасом управление в форме обратной связи с запаздывающей компонентой показало себя эффективным методом стабилизации неустойчивых перио­дических траекторий хаотических систем. Однако, в рамках метода Пирагаса возникает ряд трудностей, связанных с определением периода искомого периодического решения и коэффициента усиления управления — часто на практике эти параметры приходит­ся определять приближенным численным подбором. В дальнейшем были разработаны адаптивные методы поиска и стабилизации неустойчивых периодических траекторий в хаотических динамических системах, в которых эти параметры подбираются непосред­ственно во время исполнения метода [8,9]. Эти подходы теоретически обоснованы при некоторых условиях [10, 11] и применены для стабилизации ряда модельных хаотиче­ских динамических систем.
Другим подходом для поиска периодических траекторий в динамических систе­мах и системах управления является метод гармонического баланса. Также он назы­вается методом гармонической линеаризации и методом описывающей функции (см., например, [12]). Основы метода гармонического баланса изложенные в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова [13,14] и Ван дер Поля [15], заключаются в том, что, при некоторых условиях на нелинейность, колебания в системе могут рассматриваться близ­кими к гармоническим. Тогда такое периодическое колебание можно разложить в ряд по периодическим функциям и приравнивая коэффициенты ряда, можно приближен­но найти частоту колебаний, сдвиг и амплитуду полученного приближенного решения. При этом не всегда решение, полученное с помощью метода гармонического баланса, будет действительно существовать в системе, и наоборот, в системе могут существовать решения, которые не могут быть найдены с помощью метода гармонического баланса (см., например, [12]).
Отметим, что метод гармонического баланса так же нашел свое применение в ис­следовании бифуркации возникновения предельных циклов динамических систем. Так, в работе Р.Генезио, А.Теси [16] исследуется бифуркация удвоения периода и на основе применения принципа гармонического баланса, выводятся частотные условия для всех (субгармонических) бифуркаций одинаковой коразмерности. В работе [17] Р.Генезио, А.Теси применяли метод гармонического баланса для исследования бифуркации удво­ения периода в электронной цепи Чуа - первой системе, для которой было продемон­стрировано в физическом эксперименте (на осциллографе) существование хаотическо­го аттрактора. Однако, из-за того, что метод гармонического баланса является прибли­женным методом, задачу визуализации неустойчивого периодического решения данным методом не решить.
В рамках моей бакалаврской выпускной квалификационной работы данную про­блему предлагалось решить комбинацией метода гармонического баланса и метода Пи- рагаса. Однако для системы Чуа применить данную комбинацию методов сразу не по­лучилось - не сработал классический метод Пирагаса. В связи с этим, возникло предпо­ложение, что в системе Чуа (также как и, например, в системе Лоренца) выполняются условия известного ограничения данного метода - ограничения на нечетное число от­рицательных показателей Флоке по модулю больших единицы (odd number limitation, ONL) [11,18].
Постановка задачи
Целью данной магистерской выпускной квалификационной работы является объ­единение метода Пирагаса стабилизации неустойчивых периодических траекторий с подходом к аппроксимации периодических траекторий методом гармонического балан­са и применение разработанного метода для стабилизации неустойчивых периодических траекторий, возникающих в рамках процедуры продолжения по параметру при лока­лизации скрытого хаотического аттрактора в системе Чуа.
Таким образом, в рамках выпускной квалификационной работы передо мной были поставлены следующие задачи:
1. Модифицировать алгоритм Пирагаса поиска неустойчивых периодических траек­торий путем:
• реализации процедуры гармонического баланса для поиска начального при­ближения периодического решения;
• реализации метода Пирагаса с неустойчивой компонентой для преодоления возможного ограничения на нечетное число отрицательных показателей Фло- ке больших единицы (odd number limitation, ONL).
2. Провести предварительные исследования возможных ограничений (например, ONL) метода Пирагаса в приложении к стабилизации неустойчивых периодических тра­екторий системы Чуа.
3. Реализовать модифицированный метод в Matlab и апробировать его в рамках процедуры продолжения по параметру при локализации скрытого хаотического аттрактора в системе Чуа.
4. Стабилизировать и визуализировать неустойчивую периодическую траекторию в системе Чуа, разделяющую бассейны притяжения двух симметричных скрытых хаотических аттракторов.
Купить