УСТОЙЧИВОСТЬ и ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Введение 5
Постановка задачи 7
Глава 1. Основные определения и вспомогательные утверждения 8
1.1. Элементы дробного исчисления 8
1.2. Дифференциальные уравнения дробного порядка 9
1.3. Разностные уравнения дробного порядка 11
1.4. Динамические системы и аттракторы 13
Глава 2. Динамические системы дробного порядка 15
2.1. Динамическая система, порожденная дифференциальным уравнением дроб­ного порядка 15
2.1.1. Трудности задания динамической системы в евклидовом простран­стве 15
2.1.2. Динамическая система в Банаховом пространстве 17
2.2. Динамическая система порожденная разностным уравнением дробного порядка 18
Глава 3. Алгоритм расчета ляпуновских показателей для систем дроб­ного порядка 22
3.1. Определения 22
3.1.1. Ляпуновские показатели и размерность 22
3.1.2. Вычисление ляпуновской размерности аттракторов в системах дробного порядка 26
3.2. Результаты 32
3.2.1. Непрерывный случай 32
3.2.2. Дискретный случай 33
Заключение 36
Список литературы 38
Приложение А. Код на MATLAB для моделирования траекторий и под­счета ляпуновских показателей в случае систем с непрерывным време­нем 42
Приложение Б. Код на MATLAB для моделирования траекторий и под­счета ляпуновских показателей в случае систем с дискретным време­нем 49
Купить

Начало дробного исчисления было положено в 1695 г. в письме известного фран­цузского математика Г.Ф. Лопиталя к известному немецкому математику Г.В. Лейбни­цу [1], когда Лопиталь вынес на обсуждение вопрос о возможности взять производную вида '-^j = Dny, где п = 1/2. Лейбниц, который является основоположником симво­лической записи дифференциала для натуральных степеней, заявил, что это приведет к парадоксу, но пророчески добавил "Из этого кажущегося парадоксом суждения од­нажды могут получиться потрясающие открытия". Как оказалось, он был прав — изучение математических моделей и систем дробного порядка до сих пор привлекает внимание научного сообщества и является актуальной темой [2-5].
Дробная динамика (fractional dynamics [3]) является областью изучения поведения объектов и систем с использованием дифференциальных или разностных операторов дробных порядков. Ее широкое применение в науке и технике и исследование в рам­ках теории динамических систем привели к новым результатам, которые привлекли внимание широкого круга специалистов, в области математики, физики и другие [5]. В отличие от моделей с целочисленным порядком, модели с дробным порядком имеют важные свойства, характерные для ряда реальных процессов в природе и технике, такие как, например, долговременная память и степенная пространственная нелокальность взаимодействия. Это делает данные модели более реалистичными при исследовании и решении прикладных задач. Известными примерами таких задач являются:
• Изучение процессов ползучести и релаксации для реальных неоднородных механи­ческих сред [6]. Как известно, в общем случае такие процессы являются нелиней­ными как в пространстве, так и во времени. Применение производных дробного порядка в уравнениях состояния вязкоупругих сред позволяет отобразить и учесть как неоднородную структуру вязкого и упругого элементов, так и неоднородность механических процессов по времени.
• Рассмотрение поведения систем на фрактальных структурах [4]. Зачастую в физи­ческих задачах при малом масштабе появляются объекты, имеющие фрактальную природу.
• Применение дробного исчисления и моделей дробного порядка в электрической схемотехнике [7]. Оказалось, что системы дробного порядка дают, например, бо­лее точное описание моделей конденсаторов, поскольку идеальных конденсаторов целого порядка не существует. Поскольку порядки большинства конденсаторов обычно близки к 1, их часто рассматривают как 1, пренебрегая их характеристи­ками дробного порядка. Однако обнаружено, что некоторые конденсаторы и ка­тушки индуктивности обладают сильными характеристиками дробного порядка, например, порядок суперконденсаторов и катушек реле намного меньше единицы.
Видно, что во всех приведенных случаях операторы дробного порядка оказываются более приемлемыми в сравнении с классическими подходами.
Выделим также некоторые работы, чтобы еще раз подчеркнуть актуальность изу­чения данной темы. Так, например, в работе [8], опубликованной в журнале IEEE Transactions on Circuits and Systems (импакт фактор 3.934) изучается вопрос существо­вания хаотического аттрактора в системе Чуа дробного порядка, в работе [4] журнала Physical Review Letters (импакт фактор 9.227) рассматривается хаотическая динамика в системе Лоренца дробного порядка, а в работе [9] из журанала Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (импакт фактор 2.5) затронута тема устойчивости в систе­ме Рёсслера. Публикации имеют 1041, 850 и 770 цитирований в системе Google Scholar, соответственно. Несмотря на то, что раздел дробной динамики весьма актуален в совре­менном научном мире, из-за сложности определения производной (и разностного опе­ратора) при исследовании систем дробного порядка, упор в первую очередь делается на моделирование систем и расчет численного значения соответствующих показателей, описывающих эволюцию системы.
В данной выпускной квалификационной работе мы сфокусируемся на вопросах, которым раньше уделялось меньше внимания: разберемся каким образом дифференци­альные и разностные уравнения дробного порядка порождают динамические системы, уделим отдельное внимание вопросам ограниченности, существования и единственности решений [10], и переносу методов вычисление ляпуновских показателей и ляпуновской размерности.
Купить