Аннотация 1
1. Введение 2
2. Постановка задачи 3
3. Формализм метода регуляризации 4
4. Оценка остаточного члена 9
5. Заключение 11
6. Приложение 11
Список литературы 12
Abstract 15
Купить

Сингулярно возмущенные задачи для дифференциальных и интегро- дифференциальных уравнений с нарушенными условиями стабильности спектра предельного оператора уже давно хорошо известны специалистам в математической и теоретической физике. Особый интерес среди таких за­дач вызывают те, в которых спектральные особенности выражены в виде то­чечной нестабильности (см., например, [1]-[3]). В работах посвященных син­гулярно возмущенным задачам некоторая часть особенностей такого вида названа точками поворота и проведена их классификация:
1) простая точка поворота — собственные значения предельного опера­тора изолированы друг от друга и одно собственное значение в отдельных точках обращается в нуль (см.[2], [4], [5]);
2) слабая точка поворота — хотя бы пара собственных значений пере­секаются в отдельных точках, но при этом предельный оператор сохраняет диагональную структуру вплоть до точек пересечения, а базис из собствен­ных векторов сохраняет гладкость (см. [6], [7]);
3) сильная точка поворота — хотя бы пара собственных значений пересе­каются в отдельных точках, но при этом предельный оператор меняет диаго­нальную структуру на жорданову в точках пересечения,а базис собственных векторов теряет гладкость (см. [8]).
В настоящей работе рассматривается нестационарное и неоднородное уравнение Шредингера с гамильтонианом H(p x) = p2 + X, которое при ква- зиклассическом переходе порождает сингулярно возмущенную задачу Коши с «сильной» точкой поворота. Отметим, что задача для однородного и стацио­нарного уравнения с таким профилем потенциальной энергии является одной из немногих точно решаемых проблем квантовой механики (см.[9], §24).
Кратко обозначим здесь суть квазиклассического приближения в кванто­вой механике. Основное уравнение теории — уравнение Шредингера — при записи в координатном представлении является уравнением в частных про­изводных второго порядка по координатам и первого порядка по времени и содержит постоянную Планка ~. Точные решения этого уравнения удаётся отыскать только для небольшого числа простейших случаев, реальные за­дачи значительно сложнее и точных решений получить для них не удаётся. Однако для широкого спектра задач может оказаться правильным считать ~ малой величиной и пытаться искать приближенные (по малому ~) реше­ния (см.[9], Гл. 7). Строго говоря, постоянная Планка ~ является размерной величиной и имеет вполне конкретное значение, и утверждение о малости ~ следует пониматв в том смысле, что всегда можно выделить безразмер­ную комбинацию параметров, содержащую ~ в какой-то степени, малую по сравнению с другими безразмернвхми параметрами, не содержащими ~.
При описанном ввппе квазиклассичком переходе возникают различного рода сингулярно возмущеннвхе задачи для уравнения Шрёдингера, в том чис­ле задачи с точками поворота. Перввхе существеннвхе резулвтатвх асимптоти­ческого интегрирования задач с классическими точками поворота (в нашей классификации они относятся к третвему типу) бвхли полученвх в годвх созда­ния квантовой механики (Г. Вентцелв, X. Крамере, Л. Бриллюэн, 1926 год) — метод В КБ. В далвнейшем бурное развитие получил метод канонического оператора В.П. Маслова и его различнвхе модификации , удалосв обобщитв применяемвхе подходах на другие сингулярно возмущенные задачи, а не толь­ко квантомеханические (см., например,[10]—[14]).
В настоящей статье развивается другой общеизвестный подход к реше­нию сингулярно возмущенных задач — метод регуляризации С.А. Ломова. В условиях стабильного спектра предельного оператора метод регуляризации хорошо разработан и успешно применяется [15]. Для сингулярно возмущен­ных задач с нестабильным спектром законченной математической теории до сих пор нет, хотя с общематематических позиций их стали изучать порядка 50 лет назад. Построение регуляризованной асимптотики решения одной из таких задач, а именно задачи со спектральной особенностью в виде сильной точки поворота, является основной целью данной работы. Во многом наши исследования по асимтотическому интегрированию задачи Коши для неста­ционарного и неоднородного уравнения Шредингера с обозначенным выше гамильтонианом при ~ ! 0 представляют собой развитие идей работы [8], где рассмотрена задача Коши для параболического уравнения с сильной точ­кой поворота. В дальнейшем везде в работе будем использовать обозначение " вместо ~ что является более естественным в теории сингулярных возмуще­ний.
Купить