Аннотация 1
1 Введение 2
2 Индивидуальная система 3
3 Три связанных генератора 5
4 Первый случай: четыре несоизмеримые частоты 6
4.1 Ляпуновский анализ 6
4.2 Бифуркационный анализ состояний равновесия и предельных циклов 12
5 Второй случай: пять несоизмеримых частот 16
6 Третий случай: шесть несоизмеримых частот 17
7 Заключение 19
Литература 20
Abstract 24
Как известно, двумерные диссипативные динамические системы с непрерывным временем могут демонстрировать состояния равновесия или периодические колебания, которым отвечают предельные циклы в фазовом пространстве [1]. В трехмерных системах в дополнение к этому могут наблюдаться режимы хаотической динамики, демонстрирующие хаотические аттракторы [2]. Несколько реже для трехмерных автономных диссипативных систем встречаются случаи квазипериодических колебаний, когда в фазовом пространстве наблюдается притягивающий инвариантный тор. В радиоэлектронике наиболее ранним известным примером является система [3], представляющая собой разновидность схемы Чуа. Еще один пример, привлекавший внимание, - система Лоренц-84 [4, 5, 6], моделирующая долговременную циркуляцию атмосферы. Система Лоренц-84 демонстрирует не только квазипериодические колебания, но и богатую динамику, которой посвящена достаточно обширная литература. Для задач биохимии примеры трехмерных системы с квазипериодической динамикой представлены в [7, 8]. Если говорить о радиофизике, то в [9, 10] было предложено несколько вариантов систем (квазипериодических генераторов), описываемых трехмерными системами дифференциальных уравнений и допускающих экспериментальную реализацию. Трехмерная система с квазипериодичностью с использованием мемристора обсуждалась также в [11]. Пример квазипериодического радиофизического генератора, описываемого четырехмерной системой, был дан и изучен в [12, 13, 14, 15, 16]. Появление подобных примеров инициировало изучение ситуаций, представляющих собой либо внешнее воздействие на квазипериодические генераторы, либо случай двух связанных генераторов [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Такие системы демонстрируют квазипериодические колебания с большим числом несоизмеримых частот, чему отвечают высокоразмерные торы в фазовом пространстве. Отметим, что с данной тематикой связана проблема квазипериодических бифуркаций (бифуркаций инвариантных торов), которая все еще остается недостаточно изученной [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33]. Эта проблема привлекает внимание как для систем с непрерывным временем, так и для дискретных отображений (бифуркации инвариантных кривых).
В настоящей работе мы, в развитие задачи о динамике двух квазипериодических генераторов [19], рассмотрим случай трех связанных подсистем. Мы выберем случай диссипативной связи и конфигурацию системы в виде цепочки. В качестве основного инструмента будем использовать компьютерное моделирование в рамках анализа ляпуновских показателей [34, 35]. Будем использовать, по аналогии с [19], построение карт ляпуновских показателей. Это позволяет выявлять глобальное устройство плоскости параметров, включая такие моменты, как организация иерархии торов разной размерности и очень сложно устроенные структуры типа резонансной паутины Арнольда [21]. Отметим, что ляпуновский анализ с достаточной высокой в численных расчетах точностью позволяет выявлять тип бифуркаций торов по методике [22]. Кроме того, будем использовать бифуркационный анализ состояний равновесия и предельных циклов.
Таким образом, задачи о динамике квазипериодических генераторов оказываются достаточно сложными с позиций многообразия наблюдаемых режимов. Естественным развитием случая двух связанных генераторов является переход к анализу трех связанных генераторов. Такая система может быть в значительной мере изучена с помощью двухпараметрического ляпуновско- го анализа, выявляющего локализацию на плоскости параметров режимов разного типа, в частности квазипериодических колебаний с разным числом несоизмеримых частот. В случае квазипериодических колебаний в одном из индивидуальных генераторов и периодических колебаний в двух других картина оказывается иной, чем в случае трех связанных генераторов ван дер Поля. Наблюдаются квазипериодические бифуркации Хопфа трехчастотных торов и седло-узловые бифуркации таких торов. Четырехчастотные торы могут возникать и в случае, когда все три индивидуальных генератора находятся в режиме предельных циклов при достаточно большой частоте второго генератора, что является еще одним отличием от трех связанных осцилляторов ван дер Поля. В этом случае наблюдается также структура типа резонансной паутины Арнольда на базе четырехчастотных торов. Бифуркационный анализ выявляет несколько бифуркаций Андронова-Хопфа состояний равновесия и Неймарка-Сакера предельных циклов. На плоскости параметров эти бифуркации в определенной мере отвечают перестройке режимов квазипериодичности разной размерности. В случае периодических колебаний в первом и двухчастотных во втором и третьем генераторах возникают пятичастотные колебания, со встроенными резонансными языками четырехчастотных торов. При переходе второго генератора в периодический режим пятичастотные торы также могут возникать. Возникает также резонансная паутина Арнольда на базе таких пятичастотных торов. В случае квазипериодических колебаний во всех трех генераторах наблюдается возникновение шестичастотных торов.
Благодарности. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №21-12-00121, https://rscf.ru/project/21-12-00121/
