Цель работы 5
Введение 6
Постановка задачи 9
1 Основные сведения о теории сплайнов. Описание минималь­ных локальных полинимиальных сплайнов 10
1.1 Построение кусочно-линейных сплайнов одной переменной 10
1.2 Построение изображений поверхностей с помощью функций Куранта 11
1.3 Построение кубических сплайнов 13
1.4 Построение изображений поверхностей с помощью тензорно­го произвдения 14
1.5 Построение изображений в трехмерном пространстве 15
2 Обзор существующих решений 17
2.1 Приложение Linear Fit 17
2.2 Приложение Spline Interpolation 17
2.3 Curve Fit - Tools 18
2.4 Приложение Math Professional 18
2.5 Приложение Grapher Pro 18
2.6 Выводы 19
3 Программная реализация 20
3.1 Архитектура мобильного приложения 20
3.2 Программные средства, используемые для создания двухмер­ных поверхностей 21
3.2.1 Язык Java 22
3.2.2 Интегрированная среда разработки Android Studio 22
3.2.3 Прикладной программный интерфейс Canvas 23
3.3 Расчётная и программная часть 24
3.3.1 Класс MainActivity 24
3.3.2 Класс ShapesActivity 25
3.3.3 Класс Point3 27
3.3.4 Класс Shape 27
3.3.5 Класс Shape2D 28
3.3.6 Класс Nativ 29
3.3.7 Класс Spline 29
3.3.8 Класс TreeActivity 1 31
3.4 Полученные результаты 33
3.5 Руководство пользователя 35
Заключение 39
Список использованной литературы 40
Приложение. Тексты программ 44
Купить

Решение задачи построения поверхности в двумерном пространстве бу­дем строить с помощью сплайн-функций. Сплайн-функция — это новая быстро развивающаяся область теории приближения функций и численного анализа. Получив распространение в 60-х годах, главным образом как сред­ство интерполяции сложных кривых, сплайны в дальнейшем стали важным методом для решения разнообразных задач вычислительной математики и прикладной геометрии [4].
По сравнению с классическим аппаратом приближения многочленами сплайн-функции обладают по крайней мере двумя важными преимущества­ми. Во-первых, бесспорно,лучшими аппроксимативными свойствами и, во- вторых, удобством реализации построенных на их основе алгоритмов на ЭВМ [4].
Большинство численных методов решения задач математического ана­лиза так или иначе связано с аппроксимацией функций. Это и собствен­но задачи приближения функций (интерполяция, сглаживание, наилучшие приближения) и задачи, в которых аппроксимация присутствует как проме­жуточный этап исследования (численное дифференцирование и интегриро­вание, численное решение дифференциальных и интегральных уравнений).
В алгебраическом смысле сплайны трактуются как некоторые глад­кие кусочно-мпогочленные (включая обобщенные многочлены) функции с однородной структурой. Сюда относятся так называемые L — сплай­ны, составляемые из решений линейного однородного дифференциально­го уравнения LS(x) = 0. Случай кубических сплайнов соответствует L = d4=dx4[4].
В последнее время в вычислительной практике широкое распростране­ние получили B-сплайны (от английского слова bell — колокол). Эти сплай­ны сосредоточены на конечном носителе. Они используются как для ин­терполяции функций, так и в качестве базисных функций при построении методов типа конечных элементов. Данная категория сплайнов является наиболее используемой, и функции B-сплайнов широко применяются в си­стемах автоматизированного проектирования и многих пакетах графиче­ского программирования.
Подобно сплайнам Безье, B-сплайны генерируются путём аппроксима­ции набора контрольных точек. В то же время, B-сплайны обладают двумя преимуществами по сравнению со сплайнами Безье: во-первых, степень по­линома B-сплайна можно задать независимо от числа контрольных точек (с определенными ограничениями); во-вторых, B-сплайны допускают локаль­ный контроль над формой кривой. Платой за это является большая слож­ность B-сплайнов по сравнению со сплайнами Безье [21]. Базисные сплайны заданной степени являются линейно независимыми функциями и образуют базис в функциональных пространствах, что можно использовать для пред­ставления с их помощью других функций этих же пространств. Любая, например, кусочно-постоянная функция на отрезке, составленном из рав­ных интервалов, может быть единственным образом представлена как ли­нейная комбинация В-сплайнов нулевой степени, любая кусочно-линейная функция — В-сплайнов первой степени и т. д. Базисные сплайны играют существенную роль при построении численных методов решения задач ма­тематической физики, например, метода конечных элементов в теории при­ближения функций, при решении задач компьютерной графики.
Решение задач аппроксимации и изучение аппроксимативных свойств сплайнов при этом сводятся к исследованию линейных алгебраических си­стем. Вопрос об экстремальных свойствах является здесь производным в том смысле, что отыскиваются постановки вариационных задач, решения­ми которых были бы сплайн-функции.
Обращаясь к сплайн-функциям многих переменных, приходится при­знать, что если мы хотим сохранить для них выше указанные свойства, установленные для одномерных сплайнов, то неизбежно должны ограни­читься функциями с клеточной структурой. Под этим мы понимаем функ­ции, область определения которых разделена на ячейки (в плоском случае прямоугольники, треугольники и т. п., в многомерном — параллелепипеды, пирамиды и т. п.). В каждой ячейке функция определена в некотором смыс­ле однородным способом с условиями гладкости вдоль границ ячеек. При интерполировании функций многих переменных для сплайнов, в отличие от многочленов, не возникает особых трудностей с проблемой существования и единственности решения. Опыт применения сплайн-функций как аппара­та приближения функций в численном анализе показывает, что во всех из­вестных случаях удавалось добиться ощутимых результатов по сравнению с классическим аппаратом многочленов. В одних задачах переход к сплайнам приводит к повышению точности результатов, в других — к значительному сокращению вычислительных затрат, в третьих — достигаются оба эффек­та одновременно. Наконец, с помощью сплайнов удалось решить и такие задачи, которые другим путем решить было бы невозможно. Среди них на первом месте стоит проблема представления и хранения геометрической информации в самых различных областях знания, будь то естественные на­уки, техника, архитектура, картография. Традиционно в более или менее сложных ситуациях эта задача решается путем изображения объекта или процесса на плоскости в виде графиков, чертежей и т. п. Вследствие огра­ниченности масштабов изображений этот способ принципиально не может обеспечить требуемую точность во всех случаях. Применение для данных целей сплайнов (как одной, так и многих переменных) позволяет хранить геометрическую информацию в числовой форме и с любой точностью. При обработке информации на ЭВМ использование сплайнов позволяет на еди­ной методологической основе разрабатывать математическое обеспечение средств машинной графики (графопостроители и дисплеи).
Особенно широкое применение получили сплайны в технике как аппа­рат для математического моделирования поверхностей деталей и агрегатов сложной формы, таких, как аэродинамические обводы летательных аппа­ратов, корпуса судов, лопасти гидротурбин, кузова легковых автомобилей и т. п. Такие математические модели стали необходимыми при создании систем автоматизации проектирования изделий на основе ЭВМ, техноло­гической подготовки их производства, включая разработку программ для оборудования с цифровым программным управлением.
Купить