ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ВЯЗКОСТИ ВБЛИЗИ ТОЧКИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В СВЕРХТЕКУЧЕЕ СОСТОЯНИЕ

1 Введение 2
2 Теоретический обзор 3
2.1 Стохастические уравнения 3
2.2 Размерный анализ 5
3 Постановка задачи 7
4 Поведение вязкости вблизи критической точки 8
4.1 Диаграммная техника 8
4.2 Составные операторы канонической размерности 2 9
4.3 Составные операторы канонической размерности 4 10
4.3.1 Статические операторы 11
4.3.2 Динамический оператор 13
4.4 Составные операторы канонической размерности 6 13
4.4.1 Статические операторы 14
4.4.2 Динамические операторы 15
4.5 Составные операторы канонической размерности 8 17
4.6 Вычисление критической размерности вязкости 18
5 Заключение 19
Приложение 20
Список литературы 33
Купить

Непрерывный фазовый переход, также известный как фазовый переход второго рода, являются одним из самых интересных и сложных для изучения физических феноменов. В этот тип фазовых переходов входят явления сверхтекучести, сверхпроводимости, пере­хода между ферромагнитным и парамагнитным состояниями. Из эксперимента известно, что при приближении к точке фазового перехода физические характеристики вещества - магнитная восприимчивость у магнетиков, корреляционная длина, теплоёмкость и вяз­кость и другие - могут быть описаны степенным законом: A ~ (T — Tc)a, здесь A - одна из упомянутых физических характеристик системы, T - температура, Tc - критическая температура (температура фазового перехода), a - критический индекс величины A [1].
Данная работа посвящена одному из первых примеров сверхтекучести, обнаруженной в начале прошлого века, а именно - фазовому переходу жидкого гелия в сверхтекучее состояние, также известному как Л-переход.
Исследование критического поведения жидкого гелия в окрестности фазового перехо­да в сверхтекучее состояние началось в первой половине 20 века [2, 3] и ведётся до сих пор. Экспериментальное измерение критического индекса теплоёмкости было проведено на орбите Земли [4]. Попытки теоретического описания критических явлений имеют очень долгую историю. Изначально Ландау была построена универсальная модель для описания непрерывных фазовых переходов, однако критические индексы, предсказываемые этой мо­делью, вошли в противоречие с экспериментом, а затем и с точным решением Онзагера двумерной модели Изинга [5]. В дальнейшем было доказано, что описание жидкого гелия на решетке эквивалентно описанию магнетика [6], поэтому гелий было предложено описы­вать моделью F стохастической динамики и, так как любая стохастическая задача может быть сведена к квантово-полевой, вычислять критические индексы методами ренормали- зационной группы и квантовой теории поля [7, 1]. Кроме использования модели гелия на решётке, модель F строится из феноменологических соображений, основанных на законах сохранения [1], микроскопическое обоснование модели приведено в [8].
Переход вещества в сверхтекучее состояние характеризуется обращением вязкости в 0. Прежде не было работ, описывающих закон, по которому это происходит. В данной работе будет проведено вычисление критической размерности вязкости - параметра, описываю­щего поведение вязкости при приближении к критической точке. При известной критиче­ской размерности вязкости можно узнать закон зависимости вязкости от управляющего параметра фазового перехода [1]. В используемой в данной работе модели управляющим параметром является химический потенциал. Тогда закон примет вид:
Д Y
Y ~ Ц Д, (1)
здесь y - вязкость, ц - химический потенциал, Д7 - критическая размерность вязкости, Др - критическая размерность химического потенциала.
Традиционно переход в сверхтекучее состояние принято описывать моделью F [1, 7]. Модель F - одна из классических моделей стохастической динамики. Она традиционно задается уравнениями вида уравнений Ланжевена [1]:
^Sst
д1фа (ааЬ + Pah) £ + ^а,
ОфЬ (2)
где Sst - статическое действие модели, коэффициенты Онзагера ааЬ и межмодовой связи ваЬ удовлетворяют условиям
(формула в виде рисунка) (3)
Здесь T - символ транспонирования, подразумевается дф = —di.
Уравнения модели F имеют вид:
д/.ф = Х(1 + ib) д2ф — 91 ф ф + g2m^] + /Х/щ ф [g2^+^ — m] + fy+,
dt^+ = Х(1 — ib) [д2ф+ — 91(^з ) Ф + g2m^+] — гХдзф+ [^ф+ф — m] + ф+,
dtm = —Хид2 [д2ф+ф — m] + iXg3 [ф+д2ф — фд2ф+] + fm, (4)
с выбранным статическим действием (интегрирование по координатам подразумевается):
S.t = дф+дф + ' — g^ + m2. (5)
Здесь ф, ф+ - комплексные поля параметра порядка, поле m - линейная комбинация внутренней энергии и плотности, ответственная за флуктуации плотности и температуры, gi, b, и - константы связи, Х - кинетический коэффициент Онзагера, fi - случайные силы, для которых предполагается распределение Гаусса типа "белого шума" :
(fa(x, t)fb(xl, t')> = 2aabSabS(x — x')5(t — t). (6)
Вычисления в модели F очень громоздкие, и несмотря на существенные упрощения в модели E и неоднократные попытки ренормгруппового исследования [10, 11, 12, 13], её динамические характеристики до сих пор неизвестны. Также при использовании модели F возникает следующая проблема: в модели F (или в чуть более простой модели E) есть несколько фиксированных точек - 3 для модели F и 2 для модели E. Непонятно, какая из фиксированных точек соответсвует фазовому переходу гелия в сверхтекучее состояние.
Для выяснения, какая из фиксированных точек соответствует изучаемому фазово­му переходу, и более аккуратного описания было проведено исследование системы с ис­пользованием квантовой микроскопической модели в формализме временных функций Грина при конечной температуре [9]. В ходе исследования было показано, что в ИК- притягивающей фиксированной точке действие, описывающее модель, отличается от дей­ствия модели А поворотом и растяжением полей. Поэтому в ИК-приближении исследуе­мый фазовый переход может быть описан двухкомпонентной моделью A, что противоре­чит классическому описанию моделью F.
В данной работе будет вычислена критическая размерность вязкости. В разделе 2 пред­ставлено описание результатов, полученных к началу данной работы. В разделе 3 пред­ставлена постановка задачи. Раздел 4 посвящен вычислениям: в разделе 4.1 обсуждается используемая диаграммная техника, в разделах 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 проводится ренормировка составных операторов и в разделе 4.6 представлен итоговый расчёт характеристик вязко­сти.
Купить