Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ВЯЗКОСТИ ВБЛИЗИ ТОЧКИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В СВЕРХТЕКУЧЕЕ СОСТОЯНИЕ

Непрерывный фазовый переход, также известный как фазовый переход второго рода, являются одним из самых интересных и сложных для изучения физических феноменов. В этот тип фазовых переходов входят явления сверхтекучести, сверхпроводимости, пере­хода между ферромагнитным и парамагнитным состояниями. Из эксперимента известно, что при приближении к точке фазового перехода физические характеристики вещества - магнитная восприимчивость у магнетиков, корреляционная длина, теплоёмкость и вяз­кость и другие - могут быть описаны степенным законом: A ~ (T — Tc)a, здесь A - одна из упомянутых физических характеристик системы, T - температура, Tc - критическая температура (температура фазового перехода), a - критический индекс величины A [1].
Данная работа посвящена одному из первых примеров сверхтекучести, обнаруженной в начале прошлого века, а именно - фазовому переходу жидкого гелия в сверхтекучее состояние, также известному как Л-переход.
Исследование критического поведения жидкого гелия в окрестности фазового перехо­да в сверхтекучее состояние началось в первой половине 20 века [2, 3] и ведётся до сих пор. Экспериментальное измерение критического индекса теплоёмкости было проведено на орбите Земли [4]. Попытки теоретического описания критических явлений имеют очень долгую историю. Изначально Ландау была построена универсальная модель для описания непрерывных фазовых переходов, однако критические индексы, предсказываемые этой мо­делью, вошли в противоречие с экспериментом, а затем и с точным решением Онзагера двумерной модели Изинга [5]. В дальнейшем было доказано, что описание жидкого гелия на решетке эквивалентно описанию магнетика [6], поэтому гелий было предложено описы­вать моделью F стохастической динамики и, так как любая стохастическая задача может быть сведена к квантово-полевой, вычислять критические индексы методами ренормали- зационной группы и квантовой теории поля [7, 1]. Кроме использования модели гелия на решётке, модель F строится из феноменологических соображений, основанных на законах сохранения [1], микроскопическое обоснование модели приведено в [8].
Переход вещества в сверхтекучее состояние характеризуется обращением вязкости в 0. Прежде не было работ, описывающих закон, по которому это происходит. В данной работе будет проведено вычисление критической размерности вязкости - параметра, описываю­щего поведение вязкости при приближении к критической точке. При известной критиче­ской размерности вязкости можно узнать закон зависимости вязкости от управляющего параметра фазового перехода [1]. В используемой в данной работе модели управляющим параметром является химический потенциал. Тогда закон примет вид:
Д Y
Y ~ Ц Д, (1)
здесь y - вязкость, ц - химический потенциал, Д7 - критическая размерность вязкости, Др - критическая размерность химического потенциала.
Традиционно переход в сверхтекучее состояние принято описывать моделью F [1, 7]. Модель F - одна из классических моделей стохастической динамики. Она традиционно задается уравнениями вида уравнений Ланжевена [1]:
^Sst
д1фа (ааЬ + Pah) £ + ^а,
ОфЬ (2)
где Sst - статическое действие модели, коэффициенты Онзагера ааЬ и межмодовой связи ваЬ удовлетворяют условиям
(формула в виде рисунка) (3)
Здесь T - символ транспонирования, подразумевается дф = —di.
Уравнения модели F имеют вид:
д/.ф = Х(1 + ib) д2ф — 91 ф ф + g2m^] + /Х/щ ф [g2^+^ — m] + fy+,
dt^+ = Х(1 — ib) [д2ф+ — 91(^з ) Ф + g2m^+] — гХдзф+ [^ф+ф — m] + ф+,
dtm = —Хид2 [д2ф+ф — m] + iXg3 [ф+д2ф — фд2ф+] + fm, (4)
с выбранным статическим действием (интегрирование по координатам подразумевается):
S.t = дф+дф + ' — g^ + m2. (5)
Здесь ф, ф+ - комплексные поля параметра порядка, поле m - линейная комбинация внутренней энергии и плотности, ответственная за флуктуации плотности и температуры, gi, b, и - константы связи, Х - кинетический коэффициент Онзагера, fi - случайные силы, для которых предполагается распределение Гаусса типа "белого шума" :
(fa(x, t)fb(xl, t')> = 2aabSabS(x — x')5(t — t). (6)
Вычисления в модели F очень громоздкие, и несмотря на существенные упрощения в модели E и неоднократные попытки ренормгруппового исследования [10, 11, 12, 13], её динамические характеристики до сих пор неизвестны. Также при использовании модели F возникает следующая проблема: в модели F (или в чуть более простой модели E) есть несколько фиксированных точек - 3 для модели F и 2 для модели E. Непонятно, какая из фиксированных точек соответсвует фазовому переходу гелия в сверхтекучее состояние.
Для выяснения, какая из фиксированных точек соответствует изучаемому фазово­му переходу, и более аккуратного описания было проведено исследование системы с ис­пользованием квантовой микроскопической модели в формализме временных функций Грина при конечной температуре [9]. В ходе исследования было показано, что в ИК- притягивающей фиксированной точке действие, описывающее модель, отличается от дей­ствия модели А поворотом и растяжением полей. Поэтому в ИК-приближении исследуе­мый фазовый переход может быть описан двухкомпонентной моделью A, что противоре­чит классическому описанию моделью F.
В данной работе будет вычислена критическая размерность вязкости. В разделе 2 пред­ставлено описание результатов, полученных к началу данной работы. В разделе 3 пред­ставлена постановка задачи. Раздел 4 посвящен вычислениям: в разделе 4.1 обсуждается используемая диаграммная техника, в разделах 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 проводится ренормировка составных операторов и в разделе 4.6 представлен итоговый расчёт характеристик вязко­сти.
Купить

В ходе проделанной работы была впервые вычислена критическая размерность вязкости сверхтекучего жидкого гелия в двухкомпонентной модели A стохастической динамики. Полученная критическая размерность в первом порядке теории возмущений по g - Д7 = —2 + 11.8е = 9.8 в физической размерности пространства d = 3.
Для вычисления критической размерности была впервые проведена ренормировка со-ставных операторов канонической размерности 8 стохастической модели A в первом порядке теории возмущений. Для этого были посчитано более 100 фейнмановских диаграмм, среди них 47 различных интегральных выражений и 167 симметрийных коэффициентов.
В будущем возможно продолжение работы: проведение многопетлевых расчётов и последующего пересуммирования для уточнения полученных результатов. Учёт первого порядка теории возмущений изменил знак критической размерности вязкости, поэтому интересно проследить влияние следующих порядков. Результаты однопетлевого счёта позволяют понять, какие из составных операторов дают основной вклад в критические размерности и при дальнейших вычислениях сократить количество рассматриваемых составных операторов.
Купить