Асимптотическое поведение ВСБ на полупространстве с поглощением на границе

1 Введение 2
2 Постановка задачи 7
3 Построение ветвящегося случайного блуждания на No с погло­щением 8
4 Основные результаты 11
Список литературы 20
Купить

Моделям ветвящегося случайного блуждания (ВСБ) частиц по конечномерным целочисленным решеткам Z с непрерывным временем посвящен ряд публика­ций, см., например, [2], [3], [4], [5], [7], [8].
Можно дать следующее общее описание таких моделей ветвящихся процес­сов. В пространстве Z независимо друг от друга блуждают частицы. На ре­шётке Z имеется некоторое множество узлов — источников ветвления, при по­падании в которые частицы могут случайным образом либо производить новые частицы, либо погибать. Новые появившиеся частицы начинают эволюциони­ровать независимо друг от друга аналогичным образом.
Поведение ВСБ существенно зависит от структуры среды, в которой проис­ходит блуждание частиц. Приведём здесь краткий обзор имеющихся результа­тов.
В работах [2], [3], [6], [9] рассматривалась модель ВСБ на Z7, где количе­ство источников ветвления конечно, а матрица переходных интенсивностей А = (а(х,у)) x,yeZd удовлетворяет условиям:
1. а(х, у) > 0 при х = у и а(х, х) < 0,
2. Е «(х,У) = 0,
yez
3. а(х, у) = а(у, х),
4. случайное блуждание является неприводимым, что означает, что при стар­те из любой вершины х мы можем с положительной вероятностью попасть в любую другую вершину у ,
5. Ежеж |х|М0,х) < го,
6. а(х,у) = а(0,у — х),
7. случайное блуждание однородно по времени.
Механизм ветвления задаётся марковским процессом ветвления и определя­ется инфинитезимальной производящей функцией:
/(и) := ^ Ьпип, 0 < и < 1,
п=о
где Ьп > 0 при п = 1, 61 < 0, и Еп Ьп = 0.
Величина
£ := //(1) = ^ п6п
п
называется интенсивностью ветвления.
Предполагалось, что для каждого натурального п все fi(n) := /(n) (1) < то.
Основными объектами исследования являлись локальное число частиц ц*(^) в точке у Е Zd в момент времени t и общее число частиц yt = ^2y^id ^t(y), а также их целочисленные моменты rnra(t,x,y) = Ежц"(у) и mn(t,x) = Ежц" (п Е N), где Еж обозначает математическое ожидание при условии, что в момент времени t = 0 имелась лишь одна частица в точке х, т.е. Цо(у) = ^х(у).
Для такой модели ветвящегося случайного блуждания было показано, что существует критическое значение fic такое, что при fi > fic число частиц растёт экспоненциально в каждой точке при t ^ то. Этот факт является следствием того, что при таких fi в спектре оператора, описывающего эволюцию среднего числа частиц появляется положительное собственное значение. Старшее соб­ственное значение Л задаёт асимптотику поведения процесса на бесконечности следующим образом:
lim ц*(у)е-Л* = <ф(у), lim yte~xt = <,
t^tt t^tt
где ф(у)— некоторая функция на Zd, а £ — невырожденная случайная величина, а сходимость понимается в смысле моментов.
В случае, когда fi < fic, в работе [2] с одним источником ветвления были найдены асимптотики поведения моментов на бесконечности для d-мерных ре­шёток:
m^x^) ~ Сп(х,у)ип(1), mn(t,x) ~ Cn(x)vn(t),
где Сп(х,у), Сп(х) — положительные функции, а функции un(t), vn(t) имеют вид:
при fi = fic
d = 1 : тп(1,х,у) ~ Сп(х,у)Ъ~1/2(.пt)n-1, mn(t,x) ~ Cn(x)t(n~1)/2;
d =2: mnfcx,^ ~ Сп(х,у)1~г, mn(t,x) ~ Сп (x)(ln t)n-1;
d =3: тп(1,х,у) ~ Сп(х,уФ-1/2(1п t)n-1, mn(t,x) ~ Сп(х)^п~1')/2;
d = 4: тп(1,х,у) ~ С„,(х,уФп-1(1п t)1-2n, m„,(t,x) ~ Сп(хД2п-1(1п t)1-2n;
d > 5: т.п(^,х,у) ~ Сп(х,у)Г~1, mn(t,x) ~ Сп(х)12п~1;
при fi < fic :
d = 1 : mn(t, x, у) ~ Сп(х, у)[~3/2, mn(t, х) ~ Сп(х)^1/2;
d =2: mn^x^ ^ Сп(х,у)^ 1n21)-1, mn(t,x) ~ Сп(х)(1п t)-1;
d > 3: mn^x^) ~ Сп(х,у)^/2, mn(t,x) ~ Сг(х).
Также было показано, что в размерностях d =1 и d =2 критическое значе­ние Рс = 0, а при d > 3 критическое значение flc > 0.
В работе [6] рассматривалась модель ветвящегося случайного блуждания с тремя типами источников:
• в источниках первого типа происходит гибель и размножение частиц ана­логично предыдущей модели,
• в источниках второго типа за счёт введения дополнительного параметра нарушается симметричность блуждания и происходит гибель и размноже­ние частиц,
• в источниках третьего типа нарушается только симметричность блужда­ния, гибель и размножение частиц не происходят.
В работе было показано, что конечномерное возмущение, нарушающее сим­метричность блуждания, не может приводить к появлению положительных соб­ственных значений.
Как и в предыдущей задаче, для этой модели были найдены условия су­ществования положительного собственного значения оператора, описывающего эволюцию среднего числа частиц. Существование такого собственного значения приводит к экспоненциальному росту численности частиц.
В работах [7], [8] рассмотрена модель ветвящегося случайного блуждания на решётке Zd с непрерывным временем с периодическими источниками ветв­ления. В обоих случаях источники расположены периодически относительно некоторой d-мерной решётки Г, где
{d ^
д G Zd : д = ^ nj9j, ^j G Z, j = 1, ■■■,d ? ,
7=1 )
для некоторого набора линейно независимых векторов {д1,..., gd} с целочислен­ными координатами.
В работе [8] для всех источников интенсивность предполагается одинаковой, а матрица переходных интенсивностей удовлетворяет условию: а(х, у) = а(у, х) = а(0, х — у).
В работе [7] матрица переходных интенсивностей удовлетворяет условию:
а(х, у) = а(у,х) = а(х + д, у + д) Уд е Г.
Предполагается, что производящая функция
В(х, s) = ^ Ьк(х)вк,
k=0
задающая процесс рождения и гибели частиц, является Г-периодической по аргументу х:
В(х + д, s) = В(х, s') для Уд Е Г.
Для такой модели ВСБ было показано, что изучение асимптотического пове­дения среднего числа частиц М(х, у, t) сводится к изучению спектра оператора
А = Ао + Q, (1)
где До - это генератор случайного блуждания
А/(х) = а(х,у)/(у),
y а Q - это оператор поточечного умножения на функцию, периодическую отно­сительно решетки Г,
(Q/)(хз + д') = 1з/(хз + д'), уд Е Г,хз Е °>
где О = Z^/Г.
Оператор Ао отвечает за переходы частиц между вершинами, а оператор Q описывает механизм ветвления в источниках.
Определенный выше оператор А = Ао + Q является ограниченным, са­мосопряженным, периодическим оператором из l2(Zd) в l2(Zd). Для изучения его спектра использовалось разложение в прямой интеграл операторов (см. гл. XIII.16, [11]). Было показано, что оператор А унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов из Ср в Ср, то есть
UAU-1 = jf®А(0) d0, (2)
где U : I2(Zd) ^ В - унитарный оператор, вспомогательная переменная 0 опре­делена на множестве
d
С = {0 Е Rd : 0 = £03д3, -1/2 < 03 < 1/2, j = 1,...,d}, (3)
1=1
где базис {Ц }d=1 является двойственным базисом к базису {д3- }d=1, то есть
<дд>) = '2~А.
Оператор в слое А(0) : 12(О) ^ 12(О) имеет вид
(Д(0)/)(х) = ^а(х, у,0)/(у) + <5(х)/(х), х Е О, 0 Е С,
y^Q
где коэффициенты a(x,y,9) и потенциал Q определяются равенствами
а(х,у,Д = У2e г{9,в}а(х + д,у),
ser
(Q/)(x) = Q(x)f(x), x Е Q-
Для получения асимптотического поведения средних численностей частиц в произвольной точке решетки исследовался правый край спектра оператора Д. Было показано, что правый край спектра оператора А совпадает со старшим собственным значением матрицы
(формула в виде рисунка)
где коэффициенты матрицы ajk (0) выражались через коэффициенты матрицы переходных интенсивностей
ajk(0) = a(vj + д, vk).
ser
В работе [10] рассматривалось ветвящееся случайное блуждание на No. Мат­рица переходных интенсивностей предполагалась симметричной, её коэффи­циенты равномерно ограниченными и равными нулю вне нижней, верхней и главной диагоналей, т.е. при каждой смене положения частицы её координата изменялась на единицу. При этом в работе не предполагалась пространственная однородность блуждания.
Механизм ветвления задавался процессом Бьенеме-Гальтона-Ватсона и пред­полагалось, что источники ветвления находятся в каждой точке полуоси.
В таком случае матрица, определяющая эволюцию среднего числа частиц, являлась матрицей Якоби в стандартном базисе Z2(N0), которой отвечает набор ортогональных многочленов {Рп(^)}П==0.
С использованием теории ортогональных многочленов и матриц Якоби была получена общая формула для вычисления среднего числа частиц (= n1(t,x,y)) в точке у Е No в момент времени t при условии, что в начальный момент времени в системе находилась единственная частица в точке x Е No:
n1(t,x,y') = J etxPy(X)Px(X)p(dX),
R
где p(-) — это мера, относительно которой многочлены {Рп(А)}П=0 ортогональ­ны.
В качестве примеров ортогональных многочленов в работе рассмотрены мно­гочлены Чебышева первого и второго родов и многочлены Лежандра.
В работе [12] для доказательства предельной теоремы использовался ме­тод, основанный на мартингальной технике. А именно рассматривается ВСБ с непрерывным временем по решетке Zd, d G N. Случайное блуждание, лежащее в основе процесса, является однородным, симметричным и неприводимым, а источники ветвления располагаются во всех точках решетки, но предполагает­ся, что интенсивность ветвления стремится к нулю при удалении узла х G Zd от начала координат. Кроме того, накладывается дополнительное условие, га­рантирующее экспоненциальный рост (по времени) среднего числа частиц в каждой точке решетки.
В работе [13] рассмотрен случай симметричного, однородного, неприводи­мого ветвящегося случайного блуждания с конечным числом источников ветв­ления положительной интенсивности, где дисперсия скачков может быть бес­конечной.
В настоящей работе рассмотрен случай ВСБ на No с поглощением в точке 0. Это означает, что при попадании в точку 0 частицы сразу погибают. Ис­следуется асимптотическое поведение среднего числа частиц в каждой точке. Показано, что данная задача может быть сведена к аналогичной задаче ВСБ на полуоси с отражением на границе. Основной результат содержится в теоремах 4.6 и 4.10.
Купить