Асимптотическое поведение ВСБ на полупространстве с отражением на границе

1 Введение 2
2 Постановка задачи 9
3 Основные результаты 11
4 Случайное блуждание на No с периодически расположенными источниками 17
Список литературы 21
Купить

Теория ветвящихся случайных блужданий является современным разделом тео­рии вероятностей. Объектом исследования в этой теории является стохасти­ческий процесс, который возникает при совмещении случайного блуждания и ветвящегося процесса. Центральной задачей этой теории является изучение эво­люции процесса во времени в зависимости от структуры среды.
В работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] исследуется предельное поведение ветвящего­ся случайного блуждания (ВСБ) на d-мерной целочисленной решётке в про­странственно неоднородной среде, а именно, рассматривается конечное число однотипных источников рождения и гибели частиц. Случайное блуждание в этих работах задаётся матрицей переходных интенсивностей А = (a(v, и))v ueZd и предполагается однородным, симметричным, с конечной дисперсией скачков, то есть для всех и, v G Zd выполнено:
a(v,и) = а(и, v) = а0(и — v),
причём функция а0(и) удовлетворяет условиям а0(и) > 0 при и = 0, ао(0) < 0, 52 а0(и) = 0 и V ||и|2а0(и) < то, где ||и|| — евклидова норма uGZd uGZd вектора и в Rd. Также предполагается, что случайное блуждание неприводи­мо, то есть любая точка и G Zd достижима. Механизм ветвления в источниках задаётся как процесс Бьенеме-Гальтона-Ватсона (см. [8], стр. 11) при помо­щи инфинитезимальной производящей функции / (и) = 52 Ьпип, где Ьп > 0 п=0 при п = 1,61 < 0 и 52 6п = 0. Коэффициенты Ьп отвечают за интенсивность п деления частицы на п потомков. Для всех I G N величины Р1 := /(l)(u)|u=1 предполагаются конечными. Величина Р1 для краткости обозначается через Р и называется интенсивностью ветвления. Для ветвящегося случайного блужда­ния с такими свойствами были найдены асимптотики моментов числа частиц. Было показано, что если спектр оператора, описывающего эволюцию среднего числа частиц, содержит положительное собственное число Л, то при t ^ +то наблюдается экспоненциальный рост всех моментов и в каждой фиксированной точке, и на всей решётке. При этом было также показано, что положительное собственное число Л появляется в спектре оператора при Р > Рс для критиче­ского значения Рс, которое равно нулю в размерностях 1 и 2 и строго больше нуля в размерностях больше 3. Случай при Р > Рс называется надкритическим, а случаи, когда Р = Рс и Р < Рс называются критическим и докритическим со­ответственно. Асимптотики моментов в критическом и докритическом случаях зависят от размерности решётки. Например, в критическом случае в размер­ностях не больше 3 моменты локальных численностей частиц убывают к 0, а в размерностях больше 3 наоборот полиномиально растут.
В работе [2] рассматривается случайное блуждание с конечным числом ис­точников, где источники могут быть трёх типов. В источниках первого типа гибель и размножение частиц происходит без нарушения симметричности слу­чайного блуждания. В источниках второго типа нарушается симметричность случайного блуждания за счёт введения дополнительного параметра, усилива­ющего степень преобладания ветвления или блуждания в источнике. В источ­никах третьего типа нарушается симметричность блуждания без размножения или гибели частиц. В данной работе исследованы спектры операторов, опи­сывающих эволюцию среднего числа частиц, найдены условия существования положительного старшего собственного значения, которое приводит к экспо­ненциальному росту численности частиц.
В работах [9, 10, 11, 12, 13] рассматриваются ВСБ с бесконечной дисперсией скачков, то есть ||и||2а0(и) = ^, при этом предполагается, что
uGZd
,, Н (u/|u|)
а°(и) |u|d+« ’ u ' 'х,
где a G (0, 2) и Н(•) — непрерывная, положительная и симметричная функция на сфере Sd-1 := {z G Rd : |z| = 1}. Классификация асимптотического пове­дения моментов численностей частиц в ВСБ в этом случае разнообразнее, чем в случае конечной дисперсии скачков, в частности, появляется зависимость не только от размерности решётки, но и от а. Также, в отличие от случая с ко­нечной дисперсией скачков, в размерности 1 и при a G (0,1) ив размерности 2 и a G (0, 2) случайное блуждание не является возвратным, то есть Зс строго больше нуля.
В работах [14, 15, 16] рассматривается ветвящееся случайное блуждание на d-мерной решётке с периодически расположенными источниками ветвления. Модель описывается следующим образом: для линейно независимого набора векторов с целочисленными координатами g1,..., д^ (не обязательно ортогональ­ных) определяется множество
{d ^
д G Zd : д = ^njgj,щ G Z,g = L.., Л ,
1=1 )
которое называется решёткой, {gj}d=1 — в этом случае называется базисом ре­шётки. Случайное блуждание задаётся матрицей переходных интенсив­ностей Ао = (a(v, u))v>ueZd, которая удовлетворяет условиям:
(i) a(v, и) > 0, v = и;
(ii) a(v, v) < 0;
(iii) E a(v,u) = 0,
u€Zd
(iv) a(v, u) = a(u, v) = a(v + g, и + g) Vg G Г;
(v) Еаег Ы2|Ф>« + 9) < то, u,v G Zd;
(vi) для любых v,u G Zd существует такой путь v = u0,u1,...,um = и, что a(ui-1,ui) > 0, i = 1, ...,m.
Процесс размножения и гибели частиц в вершине v G Zd задаётся как про­цесс Бьенеме-Гальтона-Ватсона при помощи инфинитезимальной производя­щей функции
B(v,s) = ^ bk (v)sk,
k=0
где для коэффициентов {bk(v), к G No} выполнено:
bi(v) < 0, bk(v) > 0 при к = 1, У" bk(v) = 0.
Предполагается также, что число потомков в каждом источнике имеет конеч­ный первый момент, то есть
P(v) = В'(у, 1) = У" kbk(v) < то, Vv G Zd,
k=1
и что функции bk(v) и соответственно функция B(v, s) являются Г-периодичес- кими, то есть В(v + д, •) = B(v, •) для любого вектора д G Г.
Далее на Zd вводится отношение эквивалентности, такое что точки u, v G Zd называются эквивалентными, если u — v G Г. Соответствующее фак­тор-множество обозначается через Q = Zd/Г и называется фундаментальным множеством вершин. Его можно отождествить с некоторым множеством {v1,..., vp} попарно неэквивалентных элементов Zd. В этом случае коэффициенты bk (vj) обозначаются через bjk, а интенсивность источника Р (vj) — через Pj.
Для такой модели ВСБ было показано, что изучение асимптотического по­ведения среднего числа частиц сводится к изучению спектра оператора
А = Ao + Q, (1)
а именно, асимптотика определяется правым краем спектра. Здесь А0 - это генератор случайного блуждания
Л/(v) = a(v,u)/(u),
u€Zd
а Q - это оператор поточечного умножения на функцию, периодическую отно­сительно решетки Г,
(Q/)(vj + д) = pj/(vj + д), Vg G Г,ч G Q.
Оператор Ао отвечает за переходы частиц между вершинами, а оператор Q описывает механизм ветвления в источниках.
Показано, что спектр оператора А может быть выражен через собственные значения семейства матриц
1(9) + А1 ^12(9) ••• &1р(9) ^
^21(9) 0'22(9') + ^2 • • • О2р(д')
. . . . ,
. ...
api(d') «р2(9) • • • &рр (9) + Рр)
где коэффициенты матрицы а./к (9) выражаются через коэффициенты матрицы переходных интенсивностей
a-jk (9) = ^ a(vj + g,vk )е~г('а’в},
ser
а через (•, ■] обозначено стандартное скалярное произведение в Rd. Вспомога­тельная переменная 9 определена на множестве
d
С = {9 Е Rd : 9 = £OjQj, -1/2 < 9j < 1/2, j = 1,...,d}, (2)
7=1
где базис {(/j}d=1 является двойственным базисом к {gj}d=1, то есть
(gi,gj) = 2~'О.
Показано, что правый край спектра оператора А совпадает со старшим соб­ственным значением матрицы А(0), а соответсвующий собственный вектор мат­рицы А(0) может быть выбран таким образом, что все его координаты строго положительны. Это означает, что асимптотическое поведение при t ^ то сред­него числа частиц определяется наибольшим собственным числом А1(0) конеч­ной матрицы А(0), коэффициенты которой явно выражаются через матрицу интенсивностей переходов и функции интенсивности ветвления.
В работе [17] рассматривается ВСБ на Z+ c матрицей переходных интенсив­ностей А = (о(п,т))п,т&+, для которой верно:
(i) а(п, т) = 0 при п — т > 2;
(ii) а(п, т) > 0 при п — т = 1;
(iii) а(п, п) < 0;
(iv) 12 о(п,т) = а(п,п — 1) + а(п, п) + а(п,п + 1) = 0 meZ+
(здесь используется соглашение, что п(0, —1) = 0);
(v) a(n, m) = a(m, n)
(vi) supm,raez+ a(n,m) < to.
Для такого блуждания не предполагается пространственная однородность пе­реходов, но накладывается условие, что частица может перемещаться только в соседние точки.
Ветвление в точках пространства задаётся как процесс Бьенеме-Гальтона- Ватсона, при этом в модели нет ограничений на количество источников.
Далее рассматривается матрица Н = А + В, где А — матрица переходных интенсивностей, В — диагональная матрица, элементы которой — интенсивно­сти ветвления. Тогда для Л Е а(Н) и для уравнения
НР (Л) = ЛР (Л), где Р (Л) = (1,РХ(Л),Р2(Л),...,)
можно показать, что {Рп(Л)ДД0 являются многочленами от Л. Затем при по­мощи спектральной меры матрицы Н строится скалярная на R мера р, отно­сительно которой многочлены {Рп(Л)}^=0 образуют ортогональную систему. И тогда для Nn(t,m) — среднего числа частиц в точке m в момент времени t при условии, что в момент времени t = 0 была только одна частица в точке n показано, что выполняется равенство
Nn(t,m) = J АхРт(Л)Рп(Л)р(НЛ).
R
В качестве примеров в работе вычислена асимптотика среднего числа частиц для некоторых ортогональных многочленов, в частности, для многочленов Че- бышёва и Лежандра.
В работе [18] рассматривается ВСБ на Zd с матрицей переходных интенсив­ностей А = (a(x,y))x,yEZd, удовлетворяющей условиям:
(i) а(х,у) > 0 при х = у и а(х,х) < 0,^2у а(х,У) = 0 (регулярность);
(ii) а(х,у) = а(у,х) (симметричность);
(iii) а(х, у) = а(0, у — х) = а0(у — х) (однородность по пространству);
(iv) для любых v,u Е Zd существует такой путь v = и0,и1,...,ит = и, что a(ui-1,Ui) > 0, г = 1, ...,m (неприводимость).
Процесс ветвления в точке х Е Zd задаётся при помощи инфинитезимальной производящей функции
/(х,и) = ^Ьк(х)ик, и Е [0,1], х Е Zd,
^=0
где Ъ1(х) < 0,Ък(х) > 0 при к = 1 и V Ък(х) = 0.
Через Р(х} обозначается интенсивность источника, находящегося в точке х G Zd, а через fi(2)(х) — соответствующий второй факториальный момент, то есть
£(х) = /'(х, 1) = ^ кЪь(х), £(2)(х) = /''(х, 1) = ^ к(к - Х)Ък(х).
к=1 к=2
Источники ветвления располагаются, вообще говоря, во всех точках решёт­ки, но при этом накладывается условие, что интенсивность ветвления стремится к нулю при удалении узла х G Zd от начала координат, то есть
ft(х) ^ 0 при ||х|| ^ то,
где || • || — евклидова норма в l2(Zd). Функция fl(2)(х) предполагается ограни­ченной. Помимо этих условий также предполагается, что верно следующее:
Ло = sup < а(х — у)к(х)к(у) + У^ fl(х)к2(х) > > 0. (3)
IWI=1 [x,y€Zd x£Zd J
Это условие отвечает за экспоненциальный по времени рост среднего числа частиц в каждой точке решётки.
Через Xx(t),t > 0, обозначается ВСБ, задаваемое матрицей А и произво­дящей функцией /(у, и), с условием ХД0) = 5Х. И тогда для t > 0,х G Zd и ^ G l2(Zd) определяется случайная величина
4хЫ = У2 ^(у),
y€{Xx(t)}
где за {Xx(t)} обозначается множество всех частиц в момент времени t. Если Н — оператор на l2(Zd), действующий по правилу
[Н^(х) = У" а(х — y)h(y) + fl(х)к(х), h G l2(Zd),
y -
то из условия (3) следует (см. [19], гл. 10, §1), что оператор Н имеет положитель­ное собственное значение, при этом из теоремы Крейна-Рутмана (см.[20, 21]) вытекает, что число Ло является простым собственным значением оператора Н , которому соответсвует строго положительная собственная функция у0 G l2(Zd). Далее показано, что для любого х G Zd процесс
г/^,х) = e~XotIt,x(^o), ^(0,х) = <^(х), является неотрицательным ^-мартингалом, где Tt — а--алгебра, порождённая процессом Xx(t). Тогда из теоремы Дуба следует, что с вероятностью единица существует предел
r(^, ж) = lim r(t, х).
Кроме того, также показано, что предел существует и в среднеквадратичном:
lim sup E(r(t, х) — rF, х))2 = 0.
г 'х x£Zd
В настоящей работе рассматривается модель ВСБ на No с одним источником ветвления положительной интенсивности и модель ВСБ на No с периодически расположенными источниками ветвления одинаковой интенсивности. В обоих случаях предполагается, что случайное блуждание задаётся матрицей переход­ных интенсивностей В = (b(x,y))x,yeNa, коэффициенты которой удовлетворяют следующим свойствам:
1. Ь(х, у) > 0 при х = у и Ь(х, х) < 0,
2. £ ь(х,у) = 0,
yeN0
3. случайное блуждание неприводимо,
4. Exew0 х2Ь(0,х) < ^,
5. Ь(х, у) = + при у = 0 и х = у,
Ь(х, х) = b(0, 0) + fe(022x) при х = 0,
Ь(х, 0) = ^ Ф"" при х = 0,
6. случайное блуждание однородно по времени.
Пусть П1(^,х,у) — среднее число частиц в момент времени t в точке у, если в начальный момент времени t = 0 имелась только одна частица, находившаяся в точке х.
Для ВСБ с одним источником ветвления интенсивности б > 0 доказывается следующая теорема:
Теорема. Существует положительная константа Л и положительная функция С(х,у) такие, что верно:
lim e-Atn1(t, х, у) = С(х,у)
t^^
Для ВСБ с периодически расположенными источниками ветвления доказы­вается следующая теорема:
Теорема. Существует константа Л и положительная функция С(х, у) такие, что при t ^ то верно:
П1 (t, х, у) = С(х, y)eAtt-1/2 (1 + о(1)).
Для решения задачи рассматривается новое ВСБ на Z с матрицей переход­ных интенсивностей случайного блуждания А = (а(х,у))х,у^ со следующими условиями:
1. а(х, у) > 0 при х = у и а(х, х) < 0,
2. £ а(х,у) = О, yez
3. а(х, у) = а(у, х),
4. случайное блуждание неприводимо,
5. Exez х2а(0,х) < то,
6. а(х,у) = а(0,у — х),
7. случайное блуждание однородно по времени.
Источники ветвления ВСБ на Z устроены следующим образом: для любого у G Z источник ветвления в точке у совпадает с источником ветвления, распо­ложенным в точке у для модели ВСБ на No (то есть происходит отражение источников ветвления относительно начала координат).
Купить