Тема: Многомерный устойчивый телеком-процесс и связанная с ним предельная теорема

В работе будет представлено обобщение устойчивого телеком- процесса и связанной с ним предельной теоремы на случай «многомер­ного времени».
Одномерная постановка задачи о сходимости нормированной инте­гральной нагрузки системы обслуживания к телеком-процессу впер­вые была представлена Kaj и Taqqu в [4]. Сами одномерные телеком- процессы и их свойства были исследованы в [5, 6, 7]. Кроме того, отме­тим, что многомерные обобщения, аналогичные представленному в дан­ной работе, уже рассматривались, однако в их основе лежат иные модели и области параметров: [2, 3].
Суть обобщения системы обслуживания на случай «многомерного времени» заключается в том, что вместо процессов обслуживания на от­резках времени мы будем рассматривать шары в пространстве Rn. Для наглядности и удобства будем называть построенное обобщение моделью системы загрязнения. Отсюда соответствующая терминология — вместо ресурсов, затрачиваемых в процессе обслуживания, будет фигурировать уровень загрязнения шара. Теперь формально определим модель систе­мы загрязнения и многомерный телеком-процесс, а также приведем необ­ходимые понятия и вычисления.
Область загрязнения представляет из себя набор шаров загрязнения, каждый из которых расположен в определенной точке n-мерного про­странства s, имеет радиус и и обладает уровнем загрязнения в r единиц. Предполагается, что уровень загрязнения постоянен по всему объему ша­ра загрязнения. Введем стандартное обозначение для шара с центром в точке s радиуса и — Bu(s).
Несколько шаров загрязнения могут пересекаться. Исходя из этого, определяется точечное загрязнение системы в точке х:
W ’(*) = £ г, 1^ „, „.
j
Сумма берется по всем шарам загрязнения. Физический смысл этого по­нятия — общий уровень загрязнения шаров, содержащих точку х.
Также определим интегральное загрязнение на произвольном борелевском ограниченном множестве A 2 B(Rn):
W* (A) = W“(x)dx, где dx — интегрирование по мере Лебега в Rn.
J A
Интегральное загрязнение описывает общий уровень загрязнения на множестве A.
Чтобы построить математическую модель области загрязнения, сде­лаем некоторые предположения о ее параметрах. А именно:
(1) радиусы шаров и уровни загрязнения являются случайными ве­личинами,
(2) характеристики различных шаров загрязнения одинаково распре­делены и независимы,
(3) центры шаров загрязнения распределены однородно по простран­ству,
(4) радиусы шаров и уровни загрязнения в них независимы.
Напомним понятие пуассоновской случайной меры.
Определение 1. Пусть (R, р) — пространство с мерой и A = {A С R,p(A) < 1} . Семейство случайных величин {N(A), A 2 A} называ­ется пуассоновской случайной мерой, если каждая величина N(A) име­ет распределение Пуассона P(p(A)), а N(•) является случайной мерой с независимыми значениями. Мера р называется мерой интенсивности для N .
Теперь опишем модель строго. Рассмотрим множество R = {(s, u, r)} = Rn х R+ х R+. Это множество триплетов описывает всевозможные шары загрязнения. Первый элемент триплета — s — центр шара, второй — и — его радиус, и третий — r — уровень загрязнения. У модели следующие параметры:
• Л > 0 — среднее число шаров загрязнения с центрами в множестве единичного объема,
• FU(du) — распределение радиусов шаров загрязнения,
• FR(dr) — распределение уровней загрязнения.
Определим на R меру интенсивности: p(ds, du, dr) = ЛdsFu(du)FR(dr).
Пусть N — соответствующая пуассоновская случайная мера. Можно рассматривать реализации случайной меры N (множества триплетов (s,u,r), в которых каждый триплет отвечает некоторому загрязнению) как варианты случайного загрязнения.
Отметим, что многомерная система является стационарной в силу инвариантности меры Лебега ds относительно сдвигов. Структура произведения мер Fu(du)FR(dr) вместо совместного распределения FUR(dn, dr) общего вида в этом случае соответствует независимости радиуса и уровня загрязнения.
Теперь мы можем выразить некоторые характеристики системы через соответствующие пуассоновские интегралы.
Точечное загрязнение системы в точке x записывается как
W°(x) = [ r1{x2Bu(S)}dN,
Jr
а интегральное загрязнение на борелевском ограниченном множестве A 2 B(Rn) имеет вид
W*(A) = f W°(x)dx = I r I 1{X2Bu(s)}dxdN = f rVA(s,u)dN,
J a Jr J a Jr
где Va(s,u) := Хп (Bu(s) П A).
Отметим, что W°(-) и W*(-) являются стационарными полями. При любом сдвиге точки x распределение точечного загрязнения неизменно. То же можно сказать о распределении интегрального загрязнения при сдвигах множества A.
Чтобы получить разумные свойства модели, нам придется сделать определенные предположения о распределениях Fu и FR. Обозначим через U и R случайные величины, имеющие соответственно распределе­ния Fj и Fr .
Пусть A(x) — это количество шаров загрязнения, содержащих точку x:
(формула в виде рисунка)
По определению, A(x) является пуассоновской случайной величиной с интенсивностью
Р ({(s,u,r) : x 2 Bu(s)}) = р ({(s,u,r) : s 2 Bu(x)})
= A^ £ V(Bu(0))Fu(du)FR(dr)
= A [ V(Bu(0))Fu(du),
JR+
где объём шара V(Bu(0)) := cnun, cn = Г(ГП=21). Ясно, что интенсивность конечна тогда и только тогда, когда математическое ожидание объема шара загрязнения
EV(Bu(0)) = cn • EUn = cn [ unFu(du)
J R+
конечно. Если EU" = +1, то A(x) бесконечно почти наверное.
Воспользуемся тем, что пуассоновский интеграл общего вида
[ fdN
JR
в соответствии с [1, Определение интеграла по нецентрированной пуас­соновской случайной мере, с. 130] корректно определен, если выполнено условие
/ min{|f 1,1}d^ < 1.
Jr
В частности, для любого " > 0 должно быть выполнено условие р (jf | > ") < 1. Посмотрим с этой точки зрения на интегральное выра­жение точечного загрязнения. Для его корректности необходимым усло­вием будет
P ({(s,u,r): cl x. в s >"}) = X l{r>£}FR(dr) •/ / l{seBu(x)}dsFu(du)
7R+ Jr+ J Rn
= AP(R > e)j V(Bu(0))Fu(du)
= AP(R > e)cnEUn < +1.
Таким образом, помимо патологического случая P(R = 0) = 1, точечное загрязнение корректно определено, только если верно
(формула в виде рисунка)
Мы будем предполагать также, что
ER = rFR(dr) < 1.
JR+
Тогда математические ожидания точечного и интегрального загрязнения конечны, поскольку
EW°(x) = E [ r1{x2Bu(s)}dN
JR
/ r1{.rEB„(s)}dP
JR
= X tFr(dr) • / 1{S2Bu(z)}dsFu(du)
JR+ JR+ J Rn
= XER / V(Bu(0))Fu(du)
J R+
= XER ■ cnEUn
EW°(x)dx = XER ■ CnEUn ■ V(A),
где V(A) := Xn(A), где Xn — мера Лебега в Rn.
Купить

В работе выполнено обобщение устойчивого телеком-процесса, доказана связанная с ним предельная теорема на случай «многомер­ного времени». Суть обобщения системы обслуживания заключается в том, что вместо процессов обслуживания на от­резках времени рассмотрены шары в пространстве Rn.
Купить