РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТОВ МНОГОПЕТЛЕВЫХ ДИАГРАММ В ДИНАМИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ

Введение 2
1 Метод вычислений 6
1.1 Модель в формализме временных функций Грина при конечной температуре 6
1.2 ИК-эффективное действие 9
1.3 Ренормировка модели 10
1.4 Метод вычислений в координатно-временном представлении 11
1.5 Результаты 16
2 Развитие метода вычислений в координатно-временном представлении 20
2.1 Преобразование звезда-треугольник 20
2.2 Оптимизация вычислений 24
Заключение 27
A 28
A.1 Свертка линий в общем виде 28
A.2 Диаграммы 29
B Код 39
B.1 operations.py 39
B.2 define_graph.py 41
B.3 calculate_graph.py 41
B.4 present_graph.py 44
B.5 launch_program.py 45
Список литературы 47
Купить

Известно, что в термодинамических системах могут происходить фазовые переходы первого и второго рода. Они различаются поведением параметра порядка: в случае фа­зового перехода первого рода он меняется скачком, второго рода - непрерывно. Точки фазового перехода, в которых параметр порядка изменяется непрерывно, называют кри­тическими. Исследуя поведение системы при переходе через критическую точку, обнару­живается, что различные величины и характеристики ведут себя нетривиальным образом. Такие явления называют критическими и они являются предметом исследования теории критического поведения. Современное теоретическое описание критических явлений ба­зируется на использовании метода ренормализационной группы (РГ) [1]. Метод РГ можно сформулировать различными эквивалентными подходами, из которых самым технически эффективным является квантовополевой.
Квантовополевая техника активно использует квантовополевую теорию возмущений (ТВ), представляя исходно интересующий объект в виде ряда по формально малому па­раметру в формализме диаграмм Фейнмана. Этот ряд содержит члены с ультрафиолето­выми (УФ) расходимостями. Для решения этой проблемы используется процедура пере­стройки ряда - ренормировка, позволяющая перестраивать ряды таким образом, чтобы они становились сходящимися. В теории ренормировки доказывается, что для некоторого класса моделей от УФ-расходимостей можно полностью избавиться путем переопределе­ния параметров и мультипликативной ренормировкой полей. Эта процедура неоднозначна, но все получающиеся УФ-конечные системы функций Грина физически эквиваленты [2] и связаны между собой преобразованием конечной ренормировки. Неоднозначность связана с выбором регуляризации и схемы вычитаний.
Для начала выбирается одна из применимых регуляризаций. Ограничение на выбор регуляризации накладывает тот факт, что в задачах теории критического поведения нас интересует инфракрасная (ИК) асимптотика конечных выражений. В этом случае размер­ная регуляризация [3] является одной из самых удачных. Ее суть заключается в выборе размерности пространства, равной малому отклонению от логарифмической размерности пространства, то есть d = d* — е, где d, d* - рабочая и логарифмическая размерности пространства соответственно, е - малая величина. В этой регуляризации диаграммы пред­ставляются рядом Лорана по параметру е. Остающийся произвол фиксируется выбором схемы вычитаний. Наиболее технически удобной является схема минимальных вычита­ний (Minimal Substractions - MS) [4]. В ней обеспечение УФ-конечности функций Грина достигается учетом лишь УФ-расходящихся членов диаграмм в константах ренормировки (Z), таким образом, в Z присутствуют только отрицательные степени ряда Лорана по па­раметру е. Преимуществом этой схемы является независимость Z от массы (т), поэтому, для удобства вычислений, можно рассматривать "безмассовую" схему ренормировки. До­полнительно к этому, РГ-функции определяются только вычетами в простых полюсах по е соответствующих Z. Используя РГ-функции, можно найти интересующие физические величины.
Резюмируя все вышесказанное, выбор размерной регуляризации и схемы MS позво­ляет получать интересующие физические результаты наиболее технически удобным спо­собом, однако, даже при таком выборе регуляризации и схемы вычитаний, количество и сложность вычислений остаются на достаточно высоком уровне. Проиллюстрируем это на примере продвижения расчетов в различных моделях, приводя соответствующие года, в которые были опубликованы новые результаты. Перед этим вкратце скажем какие модели существуют.
Теория критического поведения делится на 2 раздела: критическая статика и критиче­ская динамика. Статикой называют задачи равновесной статфизики и термодинамики, то есть класс задач без времени. В них исследуются как термодинамические характеристики системы, так и характеристики, связанные с одновременными корреляционными функци­ями. Поведение этих характеристик при приближении к критической точке описывается так называемыми критическими индексами (показателями). Например, индекс а харак­теризует поведение теплоемкости C, индекс у - поведение восприимчивости у. Модели в статике строятся, опираясь на постулат, допускающий возможность подмены точной микромодели флуктуационной полевой [52]. Эту подмену можно считать эквивалентной только в том, что касается критического поведения. Примеры статических моделей: мо­дели со взаимодействием ф3,ф4,ф6 (дальше просто модель ф''').
В динамике возникает время и речь идет о случайных величинах и их статистических характеристиках. Стохастичность обычно моделируют феноменологически путем введе­ния в динамические уравнения некоторого "шума" - случайных сил или других случайных параметров с простым (обычно гауссовым) распределением. Критическая динамика осно­вана на стохастических уравнениях Ланжевена. Удобным оказывается перейти к кванто­вополевой формулировке, получив некоторую динамическую модель. Наличие произвола в уравнениях Ланжевена позволяет получить разные динамические модели из одной ста­тической. Яркий тому пример - из модели ф4 получаются динамические модели A — J [1, 31]. Вдобавок к этому, оказывается, что в динамической модели не нужно вычислять те критические индексы, которые есть в статической модели, так как они совпадают. Здесь имеется ввиду та статическая модель, по которой построена динамическая. Таким обра­зом, задачей критической динамики является изучение критических сингулярностей вре­мен релаксации и различных кинетических коэффициентов.
Напоследок, существуют другие динамические модели, активно использующие метод РГ. Они отличаются от моделей критической динамики тем, что они не основаны на урав­нениях Ланжевена. У этих моделей нет соответствия некоторым статическим моделям. В качестве примера, такие модели строятся при исследовании различных явлений, связан­ных с турбулентностью. Упоминание наличия других динамических моделей статфизики, активно использующих РГ, было приведено для полноты обзора. В дальнейшем мы бу­дем говорить только о теории критического поведения и соответствующих ей моделях. Перейдем к обзору продвижения расчетов в различных моделях, демонстрируя высокую сложность вычислений.
Начнем с более простого случая - статики. Рассмотрим Оп-ф4-модель. Вклады порядка е и е2 во всех критических индексах и порядка е3 в у (индекс Фишера) были получены в первой работе Вильсона [5] (1972), вклады порядка е3 и е4 в у получены в работе [6] (1973), вклады е4 в остальные индексы - в [7] (1979), вклад е5 в у - в [8, 9] (1981). Позднее в работе [10] (1983) были вычислены вклады е5 в в-функцию и аномальную размерность массы, а в [11] (1983) вклады е5 в остальные индексы. При независимой проверке [12, 13] (1991, 1993) оказалось, что в [10] были допущены ошибки в расчетах, так что окончательно правильные результаты были опубликованы лишь спустя 8 лет. Дальнейшее продвижение наступило спустя 25 лет, когда в работах [14, 15, 16] (2016, 2017) были вычислены соответствующие вклады порядка е6. Наконец, в [17] (2018) были посчитаны РГ-функции, используя семи­петлевые расчеты, а в [18] (2023) был получен вклад порядка е8 в аномальную размерность поля. Пока что результаты [17, 18] не были получены другими независимыми группами, так что последними подтвержденными являются результаты порядка е6 .
Приведем также результаты исторического продвижения в расчетах для двух дру­гих моделей статики: ф3 и ф6 . Двухпетлевой расчет в модели ф3 , используя схему MS, был впервые выполнен в [19, 20] (1974, 1975). Вклады порядка е3 представлены в рабо­тах [21, 22, 23] (1980, 1981). Дальнейшие расчеты оказались сильно осложнены, поэтому четырехпетлевые вычисления были выполнены только спустя 35 лет и соответствующие результаты представлены в [24] (2015). Вклады порядка е5 получены в работах [25, 26] (2021). Самым последним результатом является получение вклада следующего порядка в аномальную размерность поля, используя шестипетлевые вычисления [18] (2023). Зна­чение представленного вклада является неожиданным в силу смены знака относительно других порядков. Результат [18] пока что не был получен другими независимыми группа­ми, так что последними подтвержденными являются результаты пятипетлевого счета.
Перейдем к модели ф6, в которой посчитано меньше всего вкладов ТВ в критические индексы. Вклады порядка е и е2 приведены в [27] (1973). Вклады е и е2 в индекс ф (crossover index) и вклад е3 в п в [28] (1978). Вклад 3 порядка по е в индекс v получен в [29] (1999) (предыдущие 2 порядка можно получить по старым результатам, используя соотношения на критические индексы). Последним результатом является получение вклада порядка е3 в ф [30] (2002).
Рассмотрим теперь продвижение в вычислениях динамического критического индекса z в одной из самых простых динамических моделей - модели A. Вклад порядка е2 (первый порядок вклада не дает) был вычислен в работе [32] (1972). Вклад следующего порядка впервые был получен в [33] (1975), но из-за технической погрешности оказался неправиль­ным. Его исправленное значение было представлено в [34] (1984). Вклад порядка е4 был посчитан только спустя 25 лет в работе [35] (2008). Еще через 10 лет, используя новую тех­нику редукции диаграмм, вклад четвертого порядка был вычислен с большей точностью в [36] (2018). Наконец, самым последним результатом является получение вклада порядка е5 в [37] (2022).
Суммируя всю вышеприведенную информацию, основной проблемой продвижения в расчетах является высокая сложность и трудоемкость вычислений. Решение этой про­блемы является актуальной задачей и является целью данной работы применительно к динамическим теориям.
Существует 2 способа дальнейшего продвижения в расчетах. Первым из них является создание новых эффективных методов вычислений и улучшение старых. Эффективные методы вычислений являются необходимостью, поэтому этот способ первостепенен. Из-за отсутствия того же множества различных эффективных способов вычислений в динамике, по сравнению со статикой, в ней продвижение идет сильно медленнее. Вторым способом является использование компьютерных программ для ускорения трудоемких вычислений. Этот способ ничуть не менее важен, ведь без него не были бы получены последние ре­зультаты вышеприведенных моделей. Это связано с тем, что количество диаграмм растет факториально с ростом числа петель и дополнительно к этому сложность вычисления каждой из них возрастает. В данной работе мы развиваем оба способа.
Основная техническая проблема состоит в вычислении многократных расходящихся в пределе е ^ 0 интегралов. Изначально были попытки применения метода Монте-Карло, не увенчавшиеся успехом из-за значительного снижения точности расчетов при вычис­лениях в высших порядках ТВ (стоит заметить, что со временем новые получающиеся результаты становятся более точными, благодаря непрекращающемуся улучшению дан­ного метода). На смену ему пришел метод Sector Decomposition (SD) [38, 39], оказавшийся эффективным методом повышения точности в статике и заключающийся в выделении вы­четов полюсов в явном виде. К сожалению, эффективность метода SD, адаптированного для вычислений в критической динамике [36], оказалась сильно ниже. В [34] был пред­ставлен метод вычислений в координатно-временном предтавлении. Его эффективность оказалась достаточно высокой как для вычислений в статике, так и в динамике.
Данная работа посвящена развитию метода вычислений многопетлевых диаграмм в координатно-временном представлении в динамике. Развитие этого подхода позволило провести вычисления в довольно сложной динамической модели [40, 41, 42], предназначен­ной для исследования фазового перехода в сверхтекучее состояние. Исторически сложи­лось, что для описания этого фазового перехода наиболее феноменологически пригодными являются модели E или F. Чтобы определиться какая из них лучше подходит, в недавней работе [40] была построена модель на основе микроскопического описания в формализ­ме временных функций Грина при конечной температуре. В результате этой работы было выдвинуто третье предположение, утверждающее, что соответствующее динамическое по­ведение описывается более простой стохастической моделью A. В [41] это предположение было подтверждено; было показано, что в ИК-фиксированной точке модель сводится к модели A; были вычислены критические размерности полей в первом порядке ТВ, кото­рые совпали с соответствующими критическими размерностями модели A. Подтверждение этого предположения сильно облегчает исследование фазового перехода в сверхтекучее состояние, ведь индекс z модели A уже посчитан в 5 порядке, а вычисление соответству­ющего индекса в моделях E и F автору не известно.
В этой работе, используя метод вычислений в координатно-временном представле­нии, вычисляются двух- и трехпетлевые диаграммы с целью подтверждения факта ИК- устойчивости единственной фиксированной точки модели [40]. Сложность этой модели, помимо того, что она динамическая, заключается в наличии комплексного непертурбатив­ного заряда, входящего непосредственно в пропагаторы. Попытки использования метода SD были оставлены из-за чересчур высокой сложности расчетов.
В результате первой части работы, были численно сосчитаны двух- и трехпетлевые вклады диаграмм, вычислены в-функции в следующих порядках по отношению к [41], найдена ИК-фиксированная точка во 2-м порядке и подтверждена ее ИК-устойчивость. Использование метода вычислений в координатно-временном представлении позволило для одно- и двухпетлевых диаграмм получить результаты в аналитическом виде, зави­сящими от непертурбативного заряда. Дополнительно к этому, оказалось, что вычеты полюсов сразу выделяются удобным образом.
Во второй части работы начинается дальнейшее развитие метода вычислений в коорди­натно-временном представлении. Было вновь получено преобразование звезда-треуголь­ник в статике, и результат совпал с уже полученными результатами для уникальных случаев. Вдобавок к этому, было получено данное преобразование в общем случае. Па­раллельно велась работа по оптимизации вычислений путем написания алгоритмов. На основе существующих библиотек были написаны методы, позволяющие вычислять часть диаграмм в статической модели ф3.
Основная часть работы состоит из 2-х глав. В 1 главе демонстрируется применение метода вычислений диаграмм в координатно-временном представлении на примере мо­дели [40]. Вначале в 1.1, 1.2 описывается сама ИК-эффективная модель в формализме временных функций Грина при конечной температуре, основанная на микроскопическом подходе. В 1.3 говорится о ренормировке модели, а в 1.4 представлен метод вычислений в координатно-временном представлении. Полученные с помощью него результаты приве­дены в 1.5. 2 глава посвящена дальнейшему развитию подхода. В 2.1 идет речь о преобра­зовании звезда-треугольник, а в 2.2 обсуждается написание методов для компьютерных вычислений.
Купить