Покрытие пространства конусами, двойственными камерам Вейля

1 Введение 3
2 Случай замкнутых конусов, двойственных к An 6
3 Случай открытых конусов, двойственных к An 8
4 Случай замкнутых конусов, двойственных к Bn 9
5 Случай открытых конусов, двойственных к Bn 10
6 Случай замкнутых конусов, двойственных к Dn 12
7 Случай открытых конусов, двойственных к Dn 17
8 Исключительные системы корней 23
9 Приложение 24
Список литературы 25
Купить

Мы хотим покрыть конусами (открытыми или замкнутыми), двойственными к камерами Вейля некоторой системы корней, все пространство, порожденное корнями, — и миними­зировать их количество. Эта задача для открытых конусов была поставлена В. Л. По­повым [2], он же доказал, что ответ в ней конечен. В разделе 9 приведены приложения этого понятия, полученные в [2].
Некоторые экспоненциальные оценки были получены в работе В. С. Жгуна и Д. В. Ми­ронова [3]. Ф. В. Петров нашёл ответ в случае системы корней An [4]. (Ниже мы повторяем его рассуждение в этом случае, поскольку оно вписывается в общую канву.) Целью на­стоящей работы является изучение вопроса для всех серий и для исключительных систем корней. В большинстве случаев находится точный ответ.
Пусть R — система корней, порождающая векторное пространство L, снабжённое ска­лярным произведением (•, •). Для вектора l 2 L обозначим l+ := fx 2 L: (l,x) > 0g, l~ := fx 2 L: (l,x) 6 0g.
Для выпуклого конуса C C L обозначим замкнутый и открытый двойственные конуса
C° = fl 2 L: {l,x} 6 0g для любого c 2 C
Cy = fl 2 L: (l,x) < 0g для любого c 2 C f0g.
Назовем замкнутым разделяющим индексом sep(R) для системы корней R минималь­ное количество камер Вейля C1 , C2,..., Cn (здесь и далее камеры Вейля понимаются как замкнутые конуса) системы корней R таких, что для любого вектора l 2 L полупростран­ство l+ содержит хотя бы одну из этих камер — то есть существует натуральное i 2 [1, n] такое, что
Ci с l+.
Заметим, что условие C C l+ равносильно тому, что — l 2 C°.
Поэтому данное выше определение эквивалентно следующему:
Пусть R — система корней, порождающая L. Назовем разделяющим индексом sep(R) для системы корней R минимальное количество камер Вейля C1, C2,..., Cn для R таких, что замкнутые двойственные конусы C° покрывают L.
Аналогично определяются “открытые” разделяющие индексы, далее слово “открытый” для них опускается:
Назовем разделяющим индексом sep(R) для системы корней R минимальное количе­ство камер Вейля C1, C2,... , Cn для R таких, что для любого ненулевого вектора l 2 L существует натуральное i 2 [1, n], при котором
Ci Г = f0g.
Это условие равносильно тому что — l 2 лежит в конусе Cу. Поэтому определение равно­сильно следующему:
Пусть R — система корней, порождающая L. Назовем разделяющим индексом sep(R) для системы корней R минимальное количество камер Вейля Ci , C2 , . . . , Cn для R таких, что двойственные открытые конусы C^ покрывают L f0g.
Результаты по оценкам чисел разделяющих индексов классических систем корней ре­зюмированы в следующей таблице:
Начало таблицы.
An
Bn
Dn
G2
е8
Д
sep(G)
п +1
п +1
п +1
3
9
5
sep(G)
п(п + 1)
2п
от 2п до 2(п + 14)
от 3 до 6
от 9 до 44
от 5 до 8
Конец таблицы.
Далее нам понадобятся несколько комбинаторных лемм.
Лемма 1. Для того, чтобы покрыть Rn замкнутыми выпуклыми конусами, которые не содержат прямых, необходимо хотя бы п +1 конусов.
Доказательство проведем по индукции по п. База при п =1 очевидна.
Переход: Пусть можно покрыть п конусами. Рассмотрим первый из этих конусов. Найдем гиперплоскость, с которой он пересекается только по 0, и пересечем все остальные конусы с ней. Новые п — 1 замкнутых выпуклых конусов (они по-прежнему не содержат прямых) покрывают гиперплоскость в Rn, что противоречит предположению индукции.
Лемма 2. (Лемма Рени [1]) Если x1; x2, ..., xn — любая последовательность чисел, сумма которых равна 0, то у одного из её циклических сдвигов (xk, xk+1,.. .,xn,x1,X2,. . .,xk_1) все n частичных сумм начальных отрезков неположительны.
Доказательство. Рассмотрим такое t от 0 до п, при котором сумма x1 + x2 + ... + xt максимальна (если таких t несколько, то возьмем минимальное). Если x1 + x2 + ... + xt 6 0, то x1 + x2 + ... + xi 6 0 при всех i, и нам подойдет изначальное расположение чисел. Если x1 + x2 + ... + xt > 0, то докажем, что
xt+1 6 0
xt+1 + xt+2 6 0 xt+1 + xt+2 + ... + xra 6 0 xt+1 + xt+2 + ... + xn + x1 6 0 xt+1 + xt+2 + ... + xn + x1 + ... + xt-1 6 0
xt+1 + xt+2 + . . . + xn + x1 + . . . + xt = 0
Если неверно i-ое неравенство, где i 6 п — t, то xt+1 + xt+2 + ... + xt+i > 0 и тогда (x1 + x2 + ... xt+i) > (x1 + x2 + ... xt). Это противоречит выбору t.
Если неверно i-ое неравенство, где i > п — t, то xt+1 + xt+2 +... + xn+x1 +... + xt+i_n > 0 и тогда 0 < xt+1 + xt+2 + ... + xn + x1 + ... + xt+i_n < x1 + x2 + ... + xn = 0. Противоречие.
Лемма 3. Для любой последовательности чисел x1, x2, ..., xn найдется такое t от 0 до п, что
— Xt <= 0
— Xt - Xt-1 6 0
— Xt — Xt-1 — ... — Xi 6 0
— Xt - Xt-1 - ... - Xi + Xt+1 6 0
— Xt - Xt-1 - ... - Xi + Xt+i + ... + Xn 6 0
Доказательство Возьмем такое t от 0 до n, при котором сумма х1 + х2 + ... + xt максимальна (если таких t несколько, то возьмем минимальное). Поскольку при t = 0 сумма равна 0, из максимальности получаем х1 + х2 + ... + xt > 0. Проверим, что такое t подойдет.
Если неверно i-ое неравенство, где i < t, то — xt — xt_1 — ... — xt_i+1 > 0 и тогда X1 + X2 +... + Xt-i = (х1 + ... + Xt) + (-Xt - Xt-1 - ... - Xt-i+1) > X1 +... + Xt. Противоречие выбору t.
Если неверно t-ое неравенство, то —xt — xt_1 — ... — х1 > 0, но мы уже знаем, что х1 + х2 + ... + xt > 0. Противоречие.
Если неверно i-ое неравенство, где i > t, то —xt — xt_1 — ... — х1 + xt+1 + ... + xi > 0 и тогда X1 + X2 +... + Xi = 2(х1 +... + Xt) + (-Xt-Xt-1 -... -X1 + Xt+1 +... + Xi) > (х1 +... + Xt). Это опять противоречит выбору t.
Лемма 4. Если х1, х2, ..., хп — любая последовательность чисел, сумма которых равна 0, то либо все частичные суммы неположительные, либо найдется такое t от 1 до n, что
— xt < 0
— Xt - Xt-1 < 0
— xt — xt_1 — ... — х1 < 0
— Xt - Xt-1 - ... - X1 + Xt+1 < 0
— Xt - Xt-1 - ... - X1 + Xt+1 + ... + Xn < 0
Доказательство Возьмем такое t от 1 до n, при котором сумма х1 + х2 + ... + xt мак­симальна (если таких t несколько, то возьмем минимальное). Если есть положительная частичная сумма, то х1 + х2 + ... + xt > 0. Проверим, что такое t подойдет.
Если неверно i-ое неравенство, где i < t, то —xt — xt_1 — ... — xt_i+1 > 0 и тогда X1 + X2 +... + Xt-i = (х1 +... + Xt) + (-Xt -Xt-1 - ... -Xt-i+1) > (X1 +... + Xt). Противоречие выбору t.
Если неверно t-ое неравенство, то — xt — xt_1 — ... — xi > 0, но мы уже знаем, что xi + х2 + ... + xt > 0. Противоречие.
Если неверно i-ое неравенство, где i > t, то — xt — xt_1 — ... — xi + xt+i + ... + x» > 0 и тогда xi + x2 +... + xi = 2(xi +... + xt) + (-xt-xt_i -... -xi + xt+i +... + x») > (xi +...+xt). Противоречие выбору t.
Отметим также следующее свойство монотонности разделяющего индекса.
Лемма 5. Если система корней Ri содержит систему корней R2, то
sep(Ri) 6 sep(R2)
sep(Ri) 6 sep(R2)
Доказательство. Так как система корней R2 содержится в системе корней Ri, то каждая камера Вейля для системы R2 состоит из нескольких камер Вейля для системы Ri. Поэтому если имеется m камер для R2 таких, что любое полупространство содержит одну из них, то, произвольным образом выделяя в каждой камеру для Ri, получаем аналогичный набор из m камер для Ri.
Купить