Тема: УСТОЙЧИВОСТЬ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ—КУТТЫ —ЧЕБЫШЁВА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

В последнее время дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (ДУЗА) всё чаще встречаются во многих научных областях: медицине, экологии, биологии [14]. Также данный вид уравнений нашёл применение и в задачах физики, теории колебаний, ракетной технике, ав­томатики. Нередко встречаются в экономике, химии и инженерии [15, 16]. Такое разнообразие приложений привело к развитии теории ДУЗА, в част­ности к анализу устойчивости.
Для явного интегрирования жёстких систем обыкновенных диффе­ренциальных уравнений (ОДУ), возникающих в результате пространствен­ной дискретизации параболических уравнений в частных производных, су­ществует метод, по аналитической форме функций устойчивости которого называют методом Рунге — Кутты — Чебышёва (RKC).
Однако применение методов Рунге — Кутты — Чебышёва к диффе­ренциальным уравнениям с запаздыванием ещё мало исследовано. Поэто­му в данной работе будет проведён анализ P-устойчивости расширения методов Рунге — Кутты — Чебышёва второго порядка [1] для ДУЗА, а так­же показан пример работы с данными методами. Для реальных систем с помощью рассматриваемых методов будет получено устойчивое численное решение.
Так как подробный анализ устойчивости метода Рунге —Кутты — Чебышёва был приведён в выпускной квалификационной работе бакалав­ра [6], основной задачей данного исследования будет являться изучение ме­тода второго порядка. В первой главе приводятся формулировка и анализ устойчивости метода Рунге — Кутты — Чебышёва для решения обыкновен­ных дифференциальных уравнений. После этого во второй главе рассмат­риваются несколько расширений для решения уравнений с запаздыванием: с помощью линейной интерполяции и интерполяции второго порядка. В си­лу своей обширности анализ устойчивости рассматриваемых методов для решения ДУЗА был выделен в третью главу. В четвёртой главе полученные области устойчивости проверяются с помощью программы, написанной на языке программирования MATLAB. Наконец в пятой главе показывается пример работы с методами Рунге —Кутты —Чебышёва, получение числен­ных решений систем дифференциальных систем прикладного характера.
Таким образом, итогом данной работы будет являться не только тео­ретическое исследование областей устойчивости, но и программа, с помо­щью которой можно будет получать численные решения и для других си­стем.
Купить

Так как целью данной работы было не только проведение теоретиче­ского исследование по поиску областей устойчивости изучаемых методов, но и создание эффективной программы для решения систем разного типа (ОДУ И ДУЗА) с помощью методов Рунге — Кутты — Чебышёва, были по­лучены результаты и прикладного характера, продемонстрирован пример работы с реальными системами, для которых необходимо найти численное решение.
Был приведён вариант проведения анализа устойчивости для числен­ных методов, использующихся для нахождения дифференциальных урав­нений с запаздываниями. В дальнейшем подобный подход может быть ис­пользован и для других методов. Так данный алгоритм был применён для нахождения областей устойчивости методов Рунге — Кутты — Чебышёва и первого, и второго порядков.
Купить