Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Метод RKC 2-го порядка для решения ОДУ 9
1.1 Формулировка метода 9
1.2 Устойчивость 10
Глава 2. Метод RKC 2-го порядка для ДУЗА 13
2.1 Линейная интерполяция 14
2.2 Интерполяция второго порядка 14
Глава 3. Устойчивость методов RKC 2-го порядка для ДУЗА 16
3.1 Устойчивость решений тестового уравнения 16
3.2 Анализ численной устойчивости 16
3.3 Линейная интерполяция 18
3.4 Интерполяция 2-го порядка 20
Глава 4. Проверка областей устойчивости 22
Глава 5. Применение метода RKC 2-го порядка 26
5.1 Модель «хищник — жертва» 26
5.2 Уравнение в частных производных 29
Выводы 32
Заключение 34
Список литературы 35
Купить

В последнее время дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (ДУЗА) всё чаще встречаются во многих научных областях: медицине, экологии, биологии [14]. Также данный вид уравнений нашёл применение и в задачах физики, теории колебаний, ракетной технике, ав­томатики. Нередко встречаются в экономике, химии и инженерии [15, 16]. Такое разнообразие приложений привело к развитии теории ДУЗА, в част­ности к анализу устойчивости.
Для явного интегрирования жёстких систем обыкновенных диффе­ренциальных уравнений (ОДУ), возникающих в результате пространствен­ной дискретизации параболических уравнений в частных производных, су­ществует метод, по аналитической форме функций устойчивости которого называют методом Рунге — Кутты — Чебышёва (RKC).
Однако применение методов Рунге — Кутты — Чебышёва к диффе­ренциальным уравнениям с запаздыванием ещё мало исследовано. Поэто­му в данной работе будет проведён анализ P-устойчивости расширения методов Рунге — Кутты — Чебышёва второго порядка [1] для ДУЗА, а так­же показан пример работы с данными методами. Для реальных систем с помощью рассматриваемых методов будет получено устойчивое численное решение.
Так как подробный анализ устойчивости метода Рунге —Кутты — Чебышёва был приведён в выпускной квалификационной работе бакалав­ра [6], основной задачей данного исследования будет являться изучение ме­тода второго порядка. В первой главе приводятся формулировка и анализ устойчивости метода Рунге — Кутты — Чебышёва для решения обыкновен­ных дифференциальных уравнений. После этого во второй главе рассмат­риваются несколько расширений для решения уравнений с запаздыванием: с помощью линейной интерполяции и интерполяции второго порядка. В си­лу своей обширности анализ устойчивости рассматриваемых методов для решения ДУЗА был выделен в третью главу. В четвёртой главе полученные области устойчивости проверяются с помощью программы, написанной на языке программирования MATLAB. Наконец в пятой главе показывается пример работы с методами Рунге —Кутты —Чебышёва, получение числен­ных решений систем дифференциальных систем прикладного характера.
Таким образом, итогом данной работы будет являться не только тео­ретическое исследование областей устойчивости, но и программа, с помо­щью которой можно будет получать численные решения и для других си­стем.
Купить