Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Основные определения 8
Глава 2. Отношение симметрии для характеристических функций 12
2.1. Определения обобщенных характеристических функций 12
2.2. Основные леммы 13
2.3. Доказательство отношения симметрии 16
Глава 3. Супераддитивность d-характеристической функции для игры с многосторонними внешними влияниями 20
3.1. Мотивация 20
3.2. Достаточное условие супераддитивности 22
Глава 4. Примеры 26
4.1. Игра с линейными внешними влияниями 26
4.2. Дифференциальная игра с линейной динамикой 26
Выводы 28
Заключение 30
Литература 31
Основными задачами теории игр являются исследование поведения участников и поиск оптимальных решений в различных конкурентных ситуациях. Теоретико-игровые модели могут быть использованы в экономике, биологии, экологии и других дисциплинах. Для успешного решения этих задач применяются как статические модели, так и модели, в которых конфликтный процесс развивается во времени.
Игры, в которых допускается, что участники могут взаимодействовать и объединяться друг с другом, чаще всего исследуются с помощью характеристической функции. Характеристическая функция сопоставляет каждому возможному объединению игроков (коалиции) число, измеряющее силу этого объединения. Существуют различные способы определить и построить характеристическую функцию, которые могут давать различные результаты. В главе 1 приводятся основные определения и способы построения характеристических функций.
Число возможных коалиций растет экспоненциально вместе в числом игроков. С учетом большого разнообразия моделей, существенной проблемой становится вычисление конкретных значений характеристической функции. Поэтому становится особенно ценным аналитической исследование свойств характеристических функций.
В [5] была замечена взаимосвязь между несколькими способами построения характеристической функции для одной дифференциальной игры, которую здесь и далее будем называть отношением симметрии. Целью данной работы стал поиск достаточных условий для этой взаимосвязи.
В главе 2 рассматривается достаточно часто используемый класс игр с аддитивно сепарабельной функцией полезности. Для данного класса игр построены а-, 5-, Z- и ^-характеристические функции [14, 9, 11, 10, 5] и доказана теорема об их взаимосвязи в этом классе игр.
В [5] рассматривалась дифференциальная игра, которая является обобщением однократной игры, рассматривавшейся в [4, 12]. В статье [12] для 5-характеристической функции, построенной в такой статической игре, доказывается важное свойство супераддитивности. Для этой статической игры удалось заметить некоторую избыточность условий, накладываемых на модель. В главе 3 приводится доказательство свойства супераддитивности для ^-характеристической функции в более слабых предположениях.
В главе 4 приводятся примеры игр, для которых выполняются доказанные теоремы.
Результаты, полученные в главе 2 и примеры из главы 4 ранее публиковались в [2, 6].
В данной работе аддитивная сепарабельность функций выигрыша по стратегиям игроков была получена как достаточное условие выполнения замеченного в [5] отношения симметрии между а-, 5-, Z- и n-характеристическими функциями
Va - Vs = V - Vn,
и получены следствия этого свойства. В главе 4 описывается важный класс дифференциальных игр с линейной динамикой, который часто встречается в приложениях. Игры из этого класса являются играми с аддитивно сепарабельной функцией полезности.
Кроме того, было получено новое достаточное условие супераддитвности 5-характеристической функции для игр с многосторонними внешними влияниями. Новые условия являются модификацией условий, полученных в [12].
