Качественные свойства минимальных бивогнутых функций
|
Введение 1
(i) Определения и базовые объекты 3
(ii) Основные результаты 4
(iii) Следствия и другие теоремы 6
(iv) Построение бивогнутых и минимальных бивогнутых функций 7
(v) Предварительные сведения 8
1 Нижняя оценка величины B[f, 0](0,0) для интегрируемой функции f 10
1.1. Основное неравенство для получения нижней оценки 10
1.2. Простейшая итерация основного неравенства 11
2 Минимальная бивогнутая функция B[x[a,b]> 0] и грубая верхняя оценка 14
2.1. Затухание минимальной бивогнутой функции 14
2.2. Построение функции Bx[a,b], 0] 16
2.3. Сведение задачи к основному случаю 19
2.4. Верхняя оценка величины A f2](0) 21
3 Точная нижняя оценка 23
3.1. Выбор параметров a, fi в основном неравенстве 23
3.2. Итерация основного неравенства 24
3.3. Анализ рекуррентной последовательности 25
4 Функция Bx[s,a,a,b] 30
4.1. Определение функции Bx[s,a,a,b] 30
4.2. Поиск параметров а и fi 32
4.3. Принадлежность функции Bx[s, а, a,b] множеству BC(S) 36
5 Минимальная бивогнутая функция B [РП=1 акX[afc;bk], 0 и верхняя оценка 46
5.1. Функция B [рп=1 акX[ak;bk], 0] 46
5.2. Верхняя оценка величины A [Р£ = 1 akX[ak,bk]] (0) 49
6 Сведение задачи к липшицевым функциям 53
6.1. Резюмирование полученных результатов 53
6.2. Устранение неопределённости в оценке 56
6.3. Выбор подходящих параметров r и р 61
7 Получение приемлемых оценок 65
7.1. Функционал R и его свойства 65
7.2. Доказательство основных результатов 71
Список обозначений 75
Список Литературы 76
(i) Определения и базовые объекты 3
(ii) Основные результаты 4
(iii) Следствия и другие теоремы 6
(iv) Построение бивогнутых и минимальных бивогнутых функций 7
(v) Предварительные сведения 8
1 Нижняя оценка величины B[f, 0](0,0) для интегрируемой функции f 10
1.1. Основное неравенство для получения нижней оценки 10
1.2. Простейшая итерация основного неравенства 11
2 Минимальная бивогнутая функция B[x[a,b]> 0] и грубая верхняя оценка 14
2.1. Затухание минимальной бивогнутой функции 14
2.2. Построение функции Bx[a,b], 0] 16
2.3. Сведение задачи к основному случаю 19
2.4. Верхняя оценка величины A f2](0) 21
3 Точная нижняя оценка 23
3.1. Выбор параметров a, fi в основном неравенстве 23
3.2. Итерация основного неравенства 24
3.3. Анализ рекуррентной последовательности 25
4 Функция Bx[s,a,a,b] 30
4.1. Определение функции Bx[s,a,a,b] 30
4.2. Поиск параметров а и fi 32
4.3. Принадлежность функции Bx[s, а, a,b] множеству BC(S) 36
5 Минимальная бивогнутая функция B [РП=1 акX[afc;bk], 0 и верхняя оценка 46
5.1. Функция B [рп=1 акX[ak;bk], 0] 46
5.2. Верхняя оценка величины A [Р£ = 1 akX[ak,bk]] (0) 49
6 Сведение задачи к липшицевым функциям 53
6.1. Резюмирование полученных результатов 53
6.2. Устранение неопределённости в оценке 56
6.3. Выбор подходящих параметров r и р 61
7 Получение приемлемых оценок 65
7.1. Функционал R и его свойства 65
7.2. Доказательство основных результатов 71
Список обозначений 75
Список Литературы 76
Основным объектом изучения в этой работе является координатно-вогнутая функция (separately concave function). Так называется функция нескольких переменных, сужение которой на произвольную прямую, параллельную одной из координатных осей, вогнуто. В книге [1, часть 2] помимо координатно-вогнутых функций можно встретить и другие примеры аналогичных в некотором смысле объектов, с которыми оперирует так называемый квазивыпуклый анализ. Все эти функции играют важную роль в современном вариационном исчислении. В частности, некоторые из них изучаются в статье [2], а в работе [3] можно найти непосредственное применение координатно-вогнутых функций (они вводятся в определении 3). Заметим, что основное отличие координатно-вогнутых функций от классических вогнутых функций состоит в том, что след координатно-вогнутой функции f: Rn ! R, равный отображению x ! f (x,x,... , x), не обязан быть вогнутым. Соответствующим примером может послужить функция, изображённая на рисунке 8. Описание множества следов координатно-вогнутых функций является нетривиальной задачей, которая достаточно подробно изучена в статье [4].
Особый интерес для нас будут представлять минимальные координатно-вогнутые функции. Координатно-вогнутая функция B: U С Rn ! R называется минимальной, если она является поточечно наименьшей среди всех координатно-вогнутых функций B: U ! R, таких что BdU > Вэи. Исследование минимальных координатно-вогнутых функций обусловлено их появлением в теории вероятностей при доказательстве неравенств для мартингалов. Статья Буркхолдера [5] является одной из первых работ, в которой подробно описан метод, позволяющий свести поиск точных констант в неравенствах для мартингалов к построению минимальных координатно-вогнутых функций с конкретными граничными значениями. Более обширный перечень примеров применения метода Буркхолдера можно найти в книге [6].
Отметим, что зачастую рассматриваются координатно-вогнутые функции двух переменных. Назовём такие функции бивогнутыми. В данной работе мы будем изучать только неотрицательные бивогнутые функции с областью определения
S = {(х, у) 2 R2 : x — 1 6 у 6 x + 1} (см. рис. 1).
Рис. 1. Область определения S.
Чтобы показать, как введённая функция связана с доказательствами неравенств для мартингалов, сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Рассмотрим произвольное вероятностное пространство Q, непрерывное отображение H: {—1,1} х R ! R и введём функцию Беллмана B: [—1,1] х R ! R. Определим значения функции B посредством следующей формулы:
B(x^) = sup {H('1,ф1): |'| = 1 почти наверное, '0 = х, ф0 = у} , где супремум берётся по множеству пар мартингалов ', ф, таких что
8к 2 N 9 " 2 {-1,1} : фк - фк-1 = е(рк - 'к-1).
Теперь построим минимальную бивогнутую функцию B: S ! R, такую что
8(х,у) 2 дS: B(x,y) = H(у — х,у + х).
Тогда 8(х,у) 2 S: B(x,у) = B(y — х,у + х).
Отметим, что это утверждение является простым следствием теоремы 2.2, сформулированной в книге [6].
Введённая нами минимальная бивогнутая функция имеет тесную связь с ещё одной функцией Беллмана В£: {(х1,х2) 2 R2: х2 6 х2 6 х2 + "} ! R, заданной следующим образом:
В" (x1,x2; f)=sup{[0;1] : <'>[0;1] = х1, <'2>[0,1] = х2’ ||'|1вМО([0,1]) 6 4’
где f: R ! R — непрерывная неотрицательная функция и <'>[01] = /0 '(t)dt. Более точное определение функции В£ и её свойства можно найти в работах [7] и [8]. Кроме того, в статье [8] приведён подробный алгоритм построения введённой функции Беллмана при условии, что функция f достаточно регулярная.
На данный момент доказана, но ещё не опубликована следующая теорема, утверждающая, что существует соответствие между минимальной бивогнутой функцией B: S ! R и функцией Беллмана В1. Теорема 2 была сообщена автору этой работы Д. М. Столяровым.
Теорема 2. Пусть нам дана непрерывная неотрицательная функция f: R ! R и минимальная бивогнутая функция B: S ! R, такая что для любых чисел t 2 R верны равенства B(t,t — 1) = B(t — 1,t) = f (2t — 1). Тогда
8t 2 R: B1(t,t2 + 1; f ) = B(t/2,t/2).
Несложно видеть, что минимальная бивогнутая функция однозначно восстанавливается по своим граничным значениям. Однако не для всяких значений на границе минимальная бивогнутая функция будет невырождена, то есть не равна тождественно +1. Один из результатов этой работы заключается в описании множества неотрицательных граничных значений, при которых минимальная бивогнутая функция конечна (см. теорему 14). Аналогичный вопрос был затронут и для функции В£ в теореме 6.1.2 из статьи [8]. Кроме того, похожая задача рассматривалась в работе [9] для гармонических функций в полосе [0,%] х R (см. теорему 1). Заметим, что всякая би- вогнутая функция является супергармонической, а любая гармоническая функция не превосходит супергармоническую функцию, принимающую те же значения на границе. Поэтому минимальная бивогнутая функция не меньше гармонической функции с такими же граничными значениями. Указав, как связаны эти объекты, мы вновь обратимся к теореме 1 из работы [9] и заметим, что для бивогнутых функций оказывается верным похожий результат, который сформулирован в теореме 14. А именно, при достаточно регулярном поведении граничных значений f минимальная бивогнутая функция невырождена, если e-2jtjf(t) 2 L1(R). При этом гармоническая функция в полосе & будет определена, если функция f, соответствующая её значениям на границе, удовлетворяет условию ' ''г f(t) 2 L1 (R). В частности, можно показать, что существуют граничные значения, для которых определена гармоническая функция, но вырождена минимальная бивогнутая. Философское объяснение этой аналогии между гармоническими и би- вогнутыми функциями состоит в том, что оба уравнения Ди = 0 и max(uxx,uyy) = 0 являются уравнениями Гамильтона—Якоби—Беллмана. Некоторые аспекты, связанные с этими уравнениями, можно найти в статье [10].
Наша основная задача будет состоять в том, чтобы найти приближённую оценку значения минимальной бивогнутой функции в точке (0,0), зная её поведение на границе (см. теорему 16). В качестве следствия мы получим оценку значений минимальной бивогнутой функции внутри всей области & (см. теорему 19). Кроме того, будет доказана теорема 17 в предположении, что верна теорема 2. Мы также сформулируем более точную версию теоремы 16 (см. теорему 18) и получим оценку роста следа минимальной бивогнутой функции (см. лемму 20). Отметим, что можно увидеть некоторую аналогию между леммой 20 и следствием 3.1 из статьи [9].
(i) Определения и базовые объекты
Определение 3. Рассмотрим функцию B: S ! (—1, +1]. Будем называть функцию B бивогнутой, если для любого числа a 2 R функции B(•,«) и B(a, •) вогнуты. Будем говорить, что бивогнутая функция вырождена, если хотя бы в одной точке она принимает бесконечное значение.
Замечание 4. Можно показать, что бивогнутая функция B: & ! (—1, +1] вырождена тогда и только тогда, когда B|int& = +1.
Функция B: & ! R называется билинейной, если она линейна по каждой своей переменной, то есть равна выражению a + bx + cy + dxy, где a,b,c,d 2 R — некоторые вещественные числа.
Определение 5. Обозначим множество бивогнутых функций B: & ! (—1, +1] символом BC*(&), а его подмножество невырожденных бивогнутых функций через BC(&).
Бивогнутая функция B: & ! R в каждой точке (x,y) 2 int & имеет односторонние координатные производные, которые мы обозначим символами @|B(x,y) и @@УB(x,y). А именно,
@1 B(x,y) = lim B(x + ",y) ~ B(x,y); @x ■"■ "
11 B(x,y) = Jim B(x,y + "> ~ B(x,y).
Замечание 6. Любая функция B 2 BC(&) локально липшицева. В частности, непрерывно сужение B|int&, и поэтому функция B может иметь разрывы только на границе множества &. Этот факт можно найти в книге [1, с. 47, теорема 2.31].
Теперь определим семейство минимальных бивогнутых функций.
Определение 7. Будем называть функцию B 2 BC*(&) минимальной, если она не больше любой, возможно, вырожденной бивогнутой функции B с неменьшими граничными значениями. То есть
8B 2 BC*(Q): B|@& > B|@& ) B > B.
Определение 8. Множество всех невырожденных минимальных бивогнутых функций B: S ! R обозначим символом B(S). Определим также множество B+ (S) С B(S) — семейство неотрицательных минимальных бивогнутых функций.
Наконец, введём главный объект изучения.
Определение 9. Для любых граничных значений f, g: R ! R определим функцию
B[f, g] = inf {B 2 BC*(S) | 8t 2 R: B(t,t - 1) > f(t) и B(t - 1,t) > g(t)g .
Замечание 10. Функция B[f, g] корректно определена, то есть не принимает значение —1. В частности, если f, g > 0, то и B[f,g] > 0. Кроме того, несложно доказать, что B[f,g] 2 BC*(S). Это включение следует из того, что инфимум бивогнутых функций также является бивогнутой функцией.
Если включение B[f, g] 2 BC*(S) очевидно, то описание пар функций f, g для которых функция B[f, g] невырождена, является нетривиальной задачей. Например, B[e2t, e2t] |ints = +1. Однако, заметим, что при наличии достаточно точной оценки значения функции B[f,g], например, в точке (0,0), эта задача имеет простое решение. Достаточно лишь воспользоваться соотношением
B[f,g](0,0) < 1 , B[f,g] 2 B(S),
которое верно в силу замечания 4.
Отметим, что мы будем работать только с неотрицательными функциями f и g. Чтобы внести ясность в вопрос о том, какие оценки считаются точными, мы введём следующее определение.
Определение 11. Пусть нам даны неотрицательные функции д1 и д2, значения которых принадлежат множеству [0, +1]. Будем писать, что д1 < д2, если существует абсолютная константа C > 0, такая что д1 6 Сд2. Соотношение д1 х д2 означает, что д1 < д2 и д2 < д1. При этом указанная оценка
сд2 6 д1 6 сд2
называется приемлемой, и число C/c — погрешность данной оценки.
Теперь мы готовы приступить к формулировке основных результатов.
(ii) Основные результаты
Один из ключевых вопросов заключается в следующем. При каких минимальных ограничениях на неотрицательные функции f и g справедливо включение B[f, g] 2 B+(S)? Мы же будем решать более общую задачу, заключающуюся в поиске приемлемой оценки величины B[f, g](0,0) для неотрицательных функций f и g. Чтобы сформулировать соответствующую теорему, введём ещё несколько определений. Зафиксируем произвольное подмножество прямой U С R.
Определение 12. Будем говорить, что неотрицательная функция д: U ! [0, +1) удовлетворяет квазиусловию Гёльдера-Липшица с показателем Гёльдера p 2 (0, +1) и коэффициентом Липшица L 2 [0, +1], если
8x,y 2 U: |др(х) - др(у)| 6 LP|x - yj.
Множество функций д: U ! [0, +1), удовлетворяющих этому условию, обозначим символом LippL(U).
Определение 13. Введём оператор CPL, действующий на множестве неотрицательных функций g: R ! [0, +1) посредством следующей формулы:
LL g = inf {G 2 LipL(R): G > gg .
Если множество {G 2 LipL: G > gg пусто, то будем считать, что Lpl g = +1.
Несложно показать, что CPL g 2 Lip£(R), если CPL g = +1. В замечании 7.2 будет сказано, как это получить в случае, когда функция g неотрицательна. Отметим, что введённый оператор обладает рядом свойств, которые будут полезны для понимания того, как он устроен. Эти свойства описаны в утверждениях 7.3, 7.8 и лемме 7.5 ниже.
Введём функцию Д: R ! (0,1] посредством следующей формулы (см. рис. 2):
(формула в виде рисунка)
Рисунок 2. График функции.
Теперь мы готовы сформулировать теорему об описании граничных значений неотрицательной минимальной бивогнутой функции.
Теорема 14. Пусть f, g: R ! [0, +1) — произвольные неотрицательные функции. Тогда включение B[f, g] 2 B+(S) верно тогда и только тогда, когда
(формула в виде рисунка)
Для формулировки основной теоремы нам понадобится ещё одно определение.
Определение 15. Пусть нам дано произвольное положительное число и 2 (0, +1). Тогда действие функционала Rv на множестве неотрицательных функций g: R ! [0, +1) определяется следующим образом:
L1(R))
Воспользовавшись некоторыми свойствами оператора L/2, можно сформулировать более точное определение функционала Rv, которое дано в лемме 7.7 ниже. Основные свойства функционала R^ описаны в лемме 7.9.
Теорема 16. Пусть нам даны произвольные неотрицательные функции f, g: R ! [0, +1). Тогда справедлива следующая приемлемая оценка:
B[f, g](0,0) xR1 «1 f) + R1 «1 g).
Заметим, что теорема 14 является простым следствием теоремы 16. Достаточно заметить, что в силу следствия 7.6 и леммы 7.7 величины R1^1f и временно равны или не равны +1.
Другие следствия из теоремы 16 и иные утверждения приведены в следующем подразделе. Отметим, что доказательства теорем 16, 18, следствия 19 и леммы 20 можно найти в подразделе 7.2.
(iii) Следствия и другие теоремы
Воспользовавшись теоремой 2, мы можем получить следующее утверждение:
Теорема 17. Для любой неотрицательной функции f: R ! [0, +1) верно следующее соотношение:
sup {[0,i] : <'>[0,1] = 0; <'2>[0,х] = 1; ||'IIbmo([0,i]) 6 1} х Ri
Теорема 18. Пусть даны параметр и = 2000 и неотрицательные функции f и g. Определим функции f0, f1, f2 и g0, g1, g2 (см. рис. 3), заданные посредством следующих формул:
f0 = Х(0,1)f; f1 = X(-i,0]f; f2 = X[1,+i)f;
g0 = X(0,1)g; g1 = X(-i,0]g; g2 = X[1,+i)g-
Рис. 3. Функции f0, f1, f2 и g0, g1, g2.
Тогда существует константа c> 0, такая что c,c~1 6 50 и
B[f, g](0,0) = c (0.8 (R
Пока что мы оценивали значение только в точке (0,0). Несложно видеть, что аналогичным образом достигается приемлемая оценка и в любой другой точке вида (x, x). Распространить полученную оценку на всю область & не удаётся. В следствии 19 показано, какие приемлемые оценки тем не менее можно получить.
Следствие 19. Пусть нам даны произвольные неотрицательные функции f, g: R ! [0, +1) и число е 2 (0,1). Тогда для любой точки (xo,yo) 2 &, такой что |yo — xo| 6 1 — е справедливы следующие неравенства:
" (Rv (
(2 - ") {Rv (
При изучении свойств, которыми обладают неотрицательные минимальные бивогну- тые функции, оказывается полезной следующая лемма, доказательство которой вновь основано на теореме 16.
Лемма 20. Пусть нам дана неотрицательная невырожденная минимальная биво- гнутая функция B: S ! [0, +1). Тогда
B(x,x) = o(e2jxj) при x ! +1.
Замечание 21. Заметим, что для бивогнутых функций это утверждение ложно. И соответствующим примером может послужить функция Be (определение 2.1).
(iv) Построение бивогнутых и минимальных бивогнутых функций
В дальнейшей работе мы нередко будем выписывать явные формулы для построенных бивогнутых и минимальных бивогнутых функций. Предположим, что мы хотим описать поведение бивогнутой функции B 2 BC(S).
Определение 22. Функция B линейна (полулинейна) по переменной x в точке (xo,yo) 2 S, если существует невырожденный интервал (отрезок) s, параллельный оси Ox, такой что (xo,yo) 2 s С S и функция B|s линейна.
Будем говорить, что функция B строго полулинейна по x в точке (xo,yo), если B полулинейна, но не линейна по переменной x в точке (xo , yo).
Аналогично вводится линейность, полулинейность и строгая полулинейность по y.
Описание функции B мы начнём с её граничных значений — функций f и g. Затем выпишем формулы для следующих областей:
• &{ху) С S — множество точек, в которых функция B линейна по x и по y.
• &Щ) С S&(ху) — область, в которой функция B полулинейна по x, но не линейна по x и по y одновременно.
• &Щ С & &{xyi — подмножество области S &{xy), в которой B полулинейна по переменной y.
• & С int S — множество внутренних точек, в которых функция строго полулинейна по обеим переменным x, y.
В примерах, которые будут приводиться S^x) U &(у U &{xy} = Q.
В качестве следующего шага мы определим значение функции в точках из множества S. Гарантируется, что функцию B можно доопределить на всём множестве S, зная её значения в областях &, @S и конфигурацию множеств &<х>, &Щ, &{xy).
Обычно для упрощения формул мы будем разделять области &{x}, &{y), &{xy) на части и описывать отдельно каждое множество 6^, 6^, &ухуу Для проверки бивогнутости бывает необходимо выписать явные формулы на каждом участке, что мы и будем делать в качестве последнего шага. Сужение функции B на множества 6^, 6—ij ik Г GP, G О U d I Г U М Г* ТЯ /Г О ЛЛ ТТ Q /Г ТЯ R^ Rj ТЯ Rk PTIATDOT ^TDCUUfl
<д^y, <д(ху) мы обозначим символами B^x^, B^y^ и B^xy^ соответственно.
(v) Предварительные сведения
Утверждение 23. Каждая бивогнутая функция B 2 BC(6) локально ограничена.
Доказательство. В силу непрерывности функции B в области int 6 достаточно проверить, что она локально ограничена в окрестности границы, например, в областях {(x, у) 2 6: у 6 x — 1} и {(x, у) 2 6: y > x + |}. Функция B бивогнута, поэтому справедливы следующие неравенства:
B(x, у) 6 2(x + 2 — у^(x, x) + 2(у — x)B(x, x + 2) при x + - 6 у 6 x + 1.
А значит, ввиду непрерывности сужений B(x,x) и B(x,x + 1) функция B локально ограничена в области {(я, у) 2 6: у > x + Ц. Локальная ограниченность в области {(x,у) 2 6: у 6 x — 2} доказывается аналогично. □
Покажем, что для оценки выражения B[f,g](0,0) достаточно оценить значение величины B[f, 0](0,0).
Утверждение 24. Рассмотрим последовательность неотрицательных чисел {0у}M=1, удовлетворяющих равенству PM1 Qj = 1. Тогда для любых положительных функций fj, gj справедливы следующие неравенства:
(формула в виде рисунка)
В частности, мы можем заключить, что
2B[f, 0] + 2B[0, g] 6 B[f, g] 6 B[f, 0] + B[0, g], (3)
то есть B[f, g] x B[f, 0] + B[0, g].
В дальнейшем, мы будем изучать случай, когда g = 0. Нам также будет удобнее работать с функцией f, такой что f(x) = 0 при достаточно маленьком значении аргумента x. Поэтому мы, как в теореме 18, разделим функцию f на три части.
(формулы в виде рисунка)
Для сведения задачи к вычислению величины B[f2,0] мы введём параметр ^0 2 [0, 2]. В силу утверждения 24 имеем следующие неравенства:
^0B[fi, 0] + MoB[f2,0] + (1 - 2^o)B[fo, 0] 6 B[f,0] 6 B[fi, 0] + B[f2,0] + B[fo, 0]: (5)
Наибольшую сложность в оценке представляют величины B[f1,0](0,0) и B[f2,0](0,0). Ввиду симметрии мы будем работать только с выражением B[f2, 0](0, 0). Дальнейшее развитие идеи использования утверждения 24 связано с разбиением функции f2 на функции, носители которых вкладываются в промежутки вида [kJ, (k + 1)J), где k 2 N, а 6 2 (0, +1). В этом случае мы могли бы оценить каждое слагаемое
B[X[H(fe+i)<5)f2,0](0,0) сверху величиной
sup f2(x) • B[^[ыд+ф], 0].
x2[fe6,(fc+1)6]
Поэтому следующая наша цель связана с вычислением функции В[х[а,ь], 0]. Но перед тем, как искать эту функцию, мы получим несколько нижних оценок, которые позволят доказать, что построенные бивогнутые функции будут минимальными.
Особый интерес для нас будут представлять минимальные координатно-вогнутые функции. Координатно-вогнутая функция B: U С Rn ! R называется минимальной, если она является поточечно наименьшей среди всех координатно-вогнутых функций B: U ! R, таких что BdU > Вэи. Исследование минимальных координатно-вогнутых функций обусловлено их появлением в теории вероятностей при доказательстве неравенств для мартингалов. Статья Буркхолдера [5] является одной из первых работ, в которой подробно описан метод, позволяющий свести поиск точных констант в неравенствах для мартингалов к построению минимальных координатно-вогнутых функций с конкретными граничными значениями. Более обширный перечень примеров применения метода Буркхолдера можно найти в книге [6].
Отметим, что зачастую рассматриваются координатно-вогнутые функции двух переменных. Назовём такие функции бивогнутыми. В данной работе мы будем изучать только неотрицательные бивогнутые функции с областью определения
S = {(х, у) 2 R2 : x — 1 6 у 6 x + 1} (см. рис. 1).
Рис. 1. Область определения S.
Чтобы показать, как введённая функция связана с доказательствами неравенств для мартингалов, сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Рассмотрим произвольное вероятностное пространство Q, непрерывное отображение H: {—1,1} х R ! R и введём функцию Беллмана B: [—1,1] х R ! R. Определим значения функции B посредством следующей формулы:
B(x^) = sup {H('1,ф1): |'| = 1 почти наверное, '0 = х, ф0 = у} , где супремум берётся по множеству пар мартингалов ', ф, таких что
8к 2 N 9 " 2 {-1,1} : фк - фк-1 = е(рк - 'к-1).
Теперь построим минимальную бивогнутую функцию B: S ! R, такую что
8(х,у) 2 дS: B(x,y) = H(у — х,у + х).
Тогда 8(х,у) 2 S: B(x,у) = B(y — х,у + х).
Отметим, что это утверждение является простым следствием теоремы 2.2, сформулированной в книге [6].
Введённая нами минимальная бивогнутая функция имеет тесную связь с ещё одной функцией Беллмана В£: {(х1,х2) 2 R2: х2 6 х2 6 х2 + "} ! R, заданной следующим образом:
В" (x1,x2; f)=sup{
где f: R ! R — непрерывная неотрицательная функция и <'>[01] = /0 '(t)dt. Более точное определение функции В£ и её свойства можно найти в работах [7] и [8]. Кроме того, в статье [8] приведён подробный алгоритм построения введённой функции Беллмана при условии, что функция f достаточно регулярная.
На данный момент доказана, но ещё не опубликована следующая теорема, утверждающая, что существует соответствие между минимальной бивогнутой функцией B: S ! R и функцией Беллмана В1. Теорема 2 была сообщена автору этой работы Д. М. Столяровым.
Теорема 2. Пусть нам дана непрерывная неотрицательная функция f: R ! R и минимальная бивогнутая функция B: S ! R, такая что для любых чисел t 2 R верны равенства B(t,t — 1) = B(t — 1,t) = f (2t — 1). Тогда
8t 2 R: B1(t,t2 + 1; f ) = B(t/2,t/2).
Несложно видеть, что минимальная бивогнутая функция однозначно восстанавливается по своим граничным значениям. Однако не для всяких значений на границе минимальная бивогнутая функция будет невырождена, то есть не равна тождественно +1. Один из результатов этой работы заключается в описании множества неотрицательных граничных значений, при которых минимальная бивогнутая функция конечна (см. теорему 14). Аналогичный вопрос был затронут и для функции В£ в теореме 6.1.2 из статьи [8]. Кроме того, похожая задача рассматривалась в работе [9] для гармонических функций в полосе [0,%] х R (см. теорему 1). Заметим, что всякая би- вогнутая функция является супергармонической, а любая гармоническая функция не превосходит супергармоническую функцию, принимающую те же значения на границе. Поэтому минимальная бивогнутая функция не меньше гармонической функции с такими же граничными значениями. Указав, как связаны эти объекты, мы вновь обратимся к теореме 1 из работы [9] и заметим, что для бивогнутых функций оказывается верным похожий результат, который сформулирован в теореме 14. А именно, при достаточно регулярном поведении граничных значений f минимальная бивогнутая функция невырождена, если e-2jtjf(t) 2 L1(R). При этом гармоническая функция в полосе & будет определена, если функция f, соответствующая её значениям на границе, удовлетворяет условию ' ''г f(t) 2 L1 (R). В частности, можно показать, что существуют граничные значения, для которых определена гармоническая функция, но вырождена минимальная бивогнутая. Философское объяснение этой аналогии между гармоническими и би- вогнутыми функциями состоит в том, что оба уравнения Ди = 0 и max(uxx,uyy) = 0 являются уравнениями Гамильтона—Якоби—Беллмана. Некоторые аспекты, связанные с этими уравнениями, можно найти в статье [10].
Наша основная задача будет состоять в том, чтобы найти приближённую оценку значения минимальной бивогнутой функции в точке (0,0), зная её поведение на границе (см. теорему 16). В качестве следствия мы получим оценку значений минимальной бивогнутой функции внутри всей области & (см. теорему 19). Кроме того, будет доказана теорема 17 в предположении, что верна теорема 2. Мы также сформулируем более точную версию теоремы 16 (см. теорему 18) и получим оценку роста следа минимальной бивогнутой функции (см. лемму 20). Отметим, что можно увидеть некоторую аналогию между леммой 20 и следствием 3.1 из статьи [9].
(i) Определения и базовые объекты
Определение 3. Рассмотрим функцию B: S ! (—1, +1]. Будем называть функцию B бивогнутой, если для любого числа a 2 R функции B(•,«) и B(a, •) вогнуты. Будем говорить, что бивогнутая функция вырождена, если хотя бы в одной точке она принимает бесконечное значение.
Замечание 4. Можно показать, что бивогнутая функция B: & ! (—1, +1] вырождена тогда и только тогда, когда B|int& = +1.
Функция B: & ! R называется билинейной, если она линейна по каждой своей переменной, то есть равна выражению a + bx + cy + dxy, где a,b,c,d 2 R — некоторые вещественные числа.
Определение 5. Обозначим множество бивогнутых функций B: & ! (—1, +1] символом BC*(&), а его подмножество невырожденных бивогнутых функций через BC(&).
Бивогнутая функция B: & ! R в каждой точке (x,y) 2 int & имеет односторонние координатные производные, которые мы обозначим символами @|B(x,y) и @@УB(x,y). А именно,
@1 B(x,y) = lim B(x + ",y) ~ B(x,y); @x ■"■ "
11 B(x,y) = Jim B(x,y + "> ~ B(x,y).
Замечание 6. Любая функция B 2 BC(&) локально липшицева. В частности, непрерывно сужение B|int&, и поэтому функция B может иметь разрывы только на границе множества &. Этот факт можно найти в книге [1, с. 47, теорема 2.31].
Теперь определим семейство минимальных бивогнутых функций.
Определение 7. Будем называть функцию B 2 BC*(&) минимальной, если она не больше любой, возможно, вырожденной бивогнутой функции B с неменьшими граничными значениями. То есть
8B 2 BC*(Q): B|@& > B|@& ) B > B.
Определение 8. Множество всех невырожденных минимальных бивогнутых функций B: S ! R обозначим символом B(S). Определим также множество B+ (S) С B(S) — семейство неотрицательных минимальных бивогнутых функций.
Наконец, введём главный объект изучения.
Определение 9. Для любых граничных значений f, g: R ! R определим функцию
B[f, g] = inf {B 2 BC*(S) | 8t 2 R: B(t,t - 1) > f(t) и B(t - 1,t) > g(t)g .
Замечание 10. Функция B[f, g] корректно определена, то есть не принимает значение —1. В частности, если f, g > 0, то и B[f,g] > 0. Кроме того, несложно доказать, что B[f,g] 2 BC*(S). Это включение следует из того, что инфимум бивогнутых функций также является бивогнутой функцией.
Если включение B[f, g] 2 BC*(S) очевидно, то описание пар функций f, g для которых функция B[f, g] невырождена, является нетривиальной задачей. Например, B[e2t, e2t] |ints = +1. Однако, заметим, что при наличии достаточно точной оценки значения функции B[f,g], например, в точке (0,0), эта задача имеет простое решение. Достаточно лишь воспользоваться соотношением
B[f,g](0,0) < 1 , B[f,g] 2 B(S),
которое верно в силу замечания 4.
Отметим, что мы будем работать только с неотрицательными функциями f и g. Чтобы внести ясность в вопрос о том, какие оценки считаются точными, мы введём следующее определение.
Определение 11. Пусть нам даны неотрицательные функции д1 и д2, значения которых принадлежат множеству [0, +1]. Будем писать, что д1 < д2, если существует абсолютная константа C > 0, такая что д1 6 Сд2. Соотношение д1 х д2 означает, что д1 < д2 и д2 < д1. При этом указанная оценка
сд2 6 д1 6 сд2
называется приемлемой, и число C/c — погрешность данной оценки.
Теперь мы готовы приступить к формулировке основных результатов.
(ii) Основные результаты
Один из ключевых вопросов заключается в следующем. При каких минимальных ограничениях на неотрицательные функции f и g справедливо включение B[f, g] 2 B+(S)? Мы же будем решать более общую задачу, заключающуюся в поиске приемлемой оценки величины B[f, g](0,0) для неотрицательных функций f и g. Чтобы сформулировать соответствующую теорему, введём ещё несколько определений. Зафиксируем произвольное подмножество прямой U С R.
Определение 12. Будем говорить, что неотрицательная функция д: U ! [0, +1) удовлетворяет квазиусловию Гёльдера-Липшица с показателем Гёльдера p 2 (0, +1) и коэффициентом Липшица L 2 [0, +1], если
8x,y 2 U: |др(х) - др(у)| 6 LP|x - yj.
Множество функций д: U ! [0, +1), удовлетворяющих этому условию, обозначим символом LippL(U).
Определение 13. Введём оператор CPL, действующий на множестве неотрицательных функций g: R ! [0, +1) посредством следующей формулы:
LL g = inf {G 2 LipL(R): G > gg .
Если множество {G 2 LipL: G > gg пусто, то будем считать, что Lpl g = +1.
Несложно показать, что CPL g 2 Lip£(R), если CPL g = +1. В замечании 7.2 будет сказано, как это получить в случае, когда функция g неотрицательна. Отметим, что введённый оператор обладает рядом свойств, которые будут полезны для понимания того, как он устроен. Эти свойства описаны в утверждениях 7.3, 7.8 и лемме 7.5 ниже.
Введём функцию Д: R ! (0,1] посредством следующей формулы (см. рис. 2):
(формула в виде рисунка)
Рисунок 2. График функции.
Теперь мы готовы сформулировать теорему об описании граничных значений неотрицательной минимальной бивогнутой функции.
Теорема 14. Пусть f, g: R ! [0, +1) — произвольные неотрицательные функции. Тогда включение B[f, g] 2 B+(S) верно тогда и только тогда, когда
(формула в виде рисунка)
Для формулировки основной теоремы нам понадобится ещё одно определение.
Определение 15. Пусть нам дано произвольное положительное число и 2 (0, +1). Тогда действие функционала Rv на множестве неотрицательных функций g: R ! [0, +1) определяется следующим образом:
L1(R))
Воспользовавшись некоторыми свойствами оператора L/2, можно сформулировать более точное определение функционала Rv, которое дано в лемме 7.7 ниже. Основные свойства функционала R^ описаны в лемме 7.9.
Теорема 16. Пусть нам даны произвольные неотрицательные функции f, g: R ! [0, +1). Тогда справедлива следующая приемлемая оценка:
B[f, g](0,0) xR1 «1 f) + R1 «1 g).
Заметим, что теорема 14 является простым следствием теоремы 16. Достаточно заметить, что в силу следствия 7.6 и леммы 7.7 величины R1^1f и временно равны или не равны +1.
Другие следствия из теоремы 16 и иные утверждения приведены в следующем подразделе. Отметим, что доказательства теорем 16, 18, следствия 19 и леммы 20 можно найти в подразделе 7.2.
(iii) Следствия и другие теоремы
Воспользовавшись теоремой 2, мы можем получить следующее утверждение:
Теорема 17. Для любой неотрицательной функции f: R ! [0, +1) верно следующее соотношение:
sup {
Теорема 18. Пусть даны параметр и = 2000 и неотрицательные функции f и g. Определим функции f0, f1, f2 и g0, g1, g2 (см. рис. 3), заданные посредством следующих формул:
f0 = Х(0,1)f; f1 = X(-i,0]f; f2 = X[1,+i)f;
g0 = X(0,1)g; g1 = X(-i,0]g; g2 = X[1,+i)g-
Рис. 3. Функции f0, f1, f2 и g0, g1, g2.
Тогда существует константа c> 0, такая что c,c~1 6 50 и
B[f, g](0,0) = c (0.8 (R
Пока что мы оценивали значение только в точке (0,0). Несложно видеть, что аналогичным образом достигается приемлемая оценка и в любой другой точке вида (x, x). Распространить полученную оценку на всю область & не удаётся. В следствии 19 показано, какие приемлемые оценки тем не менее можно получить.
Следствие 19. Пусть нам даны произвольные неотрицательные функции f, g: R ! [0, +1) и число е 2 (0,1). Тогда для любой точки (xo,yo) 2 &, такой что |yo — xo| 6 1 — е справедливы следующие неравенства:
" (Rv (
(2 - ") {Rv (
При изучении свойств, которыми обладают неотрицательные минимальные бивогну- тые функции, оказывается полезной следующая лемма, доказательство которой вновь основано на теореме 16.
Лемма 20. Пусть нам дана неотрицательная невырожденная минимальная биво- гнутая функция B: S ! [0, +1). Тогда
B(x,x) = o(e2jxj) при x ! +1.
Замечание 21. Заметим, что для бивогнутых функций это утверждение ложно. И соответствующим примером может послужить функция Be (определение 2.1).
(iv) Построение бивогнутых и минимальных бивогнутых функций
В дальнейшей работе мы нередко будем выписывать явные формулы для построенных бивогнутых и минимальных бивогнутых функций. Предположим, что мы хотим описать поведение бивогнутой функции B 2 BC(S).
Определение 22. Функция B линейна (полулинейна) по переменной x в точке (xo,yo) 2 S, если существует невырожденный интервал (отрезок) s, параллельный оси Ox, такой что (xo,yo) 2 s С S и функция B|s линейна.
Будем говорить, что функция B строго полулинейна по x в точке (xo,yo), если B полулинейна, но не линейна по переменной x в точке (xo , yo).
Аналогично вводится линейность, полулинейность и строгая полулинейность по y.
Описание функции B мы начнём с её граничных значений — функций f и g. Затем выпишем формулы для следующих областей:
• &{ху) С S — множество точек, в которых функция B линейна по x и по y.
• &Щ) С S&(ху) — область, в которой функция B полулинейна по x, но не линейна по x и по y одновременно.
• &Щ С & &{xyi — подмножество области S &{xy), в которой B полулинейна по переменной y.
• & С int S — множество внутренних точек, в которых функция строго полулинейна по обеим переменным x, y.
В примерах, которые будут приводиться S^x) U &(у U &{xy} = Q.
В качестве следующего шага мы определим значение функции в точках из множества S. Гарантируется, что функцию B можно доопределить на всём множестве S, зная её значения в областях &, @S и конфигурацию множеств &<х>, &Щ, &{xy).
Обычно для упрощения формул мы будем разделять области &{x}, &{y), &{xy) на части и описывать отдельно каждое множество 6^, 6^, &ухуу Для проверки бивогнутости бывает необходимо выписать явные формулы на каждом участке, что мы и будем делать в качестве последнего шага. Сужение функции B на множества 6^, 6—ij ik Г GP, G О U d I Г U М Г* ТЯ /Г О ЛЛ ТТ Q /Г ТЯ R^ Rj ТЯ Rk PTIATDOT ^TDCUUfl
<д^y, <д(ху) мы обозначим символами B^x^, B^y^ и B^xy^ соответственно.
(v) Предварительные сведения
Утверждение 23. Каждая бивогнутая функция B 2 BC(6) локально ограничена.
Доказательство. В силу непрерывности функции B в области int 6 достаточно проверить, что она локально ограничена в окрестности границы, например, в областях {(x, у) 2 6: у 6 x — 1} и {(x, у) 2 6: y > x + |}. Функция B бивогнута, поэтому справедливы следующие неравенства:
B(x, у) 6 2(x + 2 — у^(x, x) + 2(у — x)B(x, x + 2) при x + - 6 у 6 x + 1.
А значит, ввиду непрерывности сужений B(x,x) и B(x,x + 1) функция B локально ограничена в области {(я, у) 2 6: у > x + Ц. Локальная ограниченность в области {(x,у) 2 6: у 6 x — 2} доказывается аналогично. □
Покажем, что для оценки выражения B[f,g](0,0) достаточно оценить значение величины B[f, 0](0,0).
Утверждение 24. Рассмотрим последовательность неотрицательных чисел {0у}M=1, удовлетворяющих равенству PM1 Qj = 1. Тогда для любых положительных функций fj, gj справедливы следующие неравенства:
(формула в виде рисунка)
В частности, мы можем заключить, что
2B[f, 0] + 2B[0, g] 6 B[f, g] 6 B[f, 0] + B[0, g], (3)
то есть B[f, g] x B[f, 0] + B[0, g].
В дальнейшем, мы будем изучать случай, когда g = 0. Нам также будет удобнее работать с функцией f, такой что f(x) = 0 при достаточно маленьком значении аргумента x. Поэтому мы, как в теореме 18, разделим функцию f на три части.
(формулы в виде рисунка)
Для сведения задачи к вычислению величины B[f2,0] мы введём параметр ^0 2 [0, 2]. В силу утверждения 24 имеем следующие неравенства:
^0B[fi, 0] + MoB[f2,0] + (1 - 2^o)B[fo, 0] 6 B[f,0] 6 B[fi, 0] + B[f2,0] + B[fo, 0]: (5)
Наибольшую сложность в оценке представляют величины B[f1,0](0,0) и B[f2,0](0,0). Ввиду симметрии мы будем работать только с выражением B[f2, 0](0, 0). Дальнейшее развитие идеи использования утверждения 24 связано с разбиением функции f2 на функции, носители которых вкладываются в промежутки вида [kJ, (k + 1)J), где k 2 N, а 6 2 (0, +1). В этом случае мы могли бы оценить каждое слагаемое
B[X[H(fe+i)<5)f2,0](0,0) сверху величиной
sup f2(x) • B[^[ыд+ф], 0].
x2[fe6,(fc+1)6]
Поэтому следующая наша цель связана с вычислением функции В[х[а,ь], 0]. Но перед тем, как искать эту функцию, мы получим несколько нижних оценок, которые позволят доказать, что построенные бивогнутые функции будут минимальными.
Благодаря проделанной работе изучена координатно-вогнутая функция (separately concave function). Найдена приближённая оценка значения минимальной бивогнутой функции в точке (0,0), а также получена оценка её значений внутри всей области (см. теорему 19). Кроме того, доказана теорема 17 в предположении, что верна теорема 2. Сформулирована более точная версия теоремы 16 (см. теорему 18), получена оценка роста следа минимальной бивогнутой функции (см. лемму 20).
