Введение 2
1 Теория "вращений" локально вогнутых функций 2
1.1 Введение и основные определения 2
1.2 Симметрия, по норме банахова пространства 3
1.3 Вычисление sup {B(x, s)| s E [||t||, b(x)]} по B(x,t) 9
2 Функции Беллмана на параболоидной полосе в Rd+1 11
2.1 Пространство BMO 12
2.2 Постановка общей задачи 13
2.3 Случай f(t) = tp 14
2.3.1 Случай p E (0, 2] 15
2.3.2 Случай p > 2 15
2.4 Случай f = Xt>A 20
2.4.1 Случай А E [0, e] 20
2.4.2 Случай А E (e, 2e] 21
2.4.3 Случай А > 2e 23
2.5 Случай f (t) = et 26
2.6 Вычисление Bet,£,1 29
2.6.1 Случай e E [1/2, 1) 29
2.6.2 Случай e E (0, 1/2) 30
Список литературы 38
На данный момент большая часть вычисленных функций Беллмана, по сути, зависит от двух переменных. Так, в работах [9], [10], [13], посчитан ряд функций на параболической полосе. В работах [4] и [5] разработана теория, восстанавливающая фунцию Беллмана по граничному значению в полосе, при достаточно гладких граничных значениях
Метод функции Беллмана и метод Буркхолдера возникают в работах [7] и [1] и описаны в книгах [8] и [14].
В данной работе рассмотрен вопрос нахождения функций Беллмана многих переменных при наличии у них некоторых симметрий.
Первый пункт первого раздела посвещён основным понятиям и определениям, связанным с минимальными локально вогнутыми функциями.
Минимальные локально вогнутые функции и их аналоги — максимальные локально выпуклые функции являются важным объектом математического анализа. Они часто являются решениями оптимизационных задач и совпадают с функциями Беллмана. Подобные функции встречаются в работах [2], [3], [6]. А так же в работах [12] и [11] доказывается равенство функций Беллмана и соответствующих минимальных локально вогнутых функций для параболической и параболоидной полос соответственно.
В разделе 1 построена теория, восстанавливающая минимальные локально вогнутые функции по их аналогам, зависящим от меньшего числа переменных.
В теореме 1.1 получена основная формула восстановления, а в утверждении 1.10 эта формула приведена к более явному виду.
В разделе 2 при помощи теории, построенной в первом разделе, вычисляется ряд конкретных функций Беллмана. В пункте 2.3 вычислен многомерный аналог функции Беллмана работы [9], а в пункте 2.4 — аналог функции работы [13]. Более того, как показано в следствиях 1.8, 1.9 и утверждении 1.11, при вычислении многомерной минимальной локально вогнутой функции и соответствующей ей функции Беллмана "плоский" аналог можно заменить на так называемые "промежуточные" функции, среди которых порой можно выбрать уже посчитанные и значительно проще устроенные функции (см. пункт 2.5), после чего, уже имея многомерную и "промежуточную" функцию, вычислить "плоскую"(см. пункт 2.6).
В работе:
- построена теория, восстанавливающая минимальные локально вогнутые функции по их аналогам, зависящим от меньшего числа переменных;
- получена основная формула восстановления, она приведена к более явному виду;
- вычислен ряд конкретных функций Беллмана.
