В статье [1] К. Сейпом был рассмотрен некоторый класс дзета-функций, включающий в себя дзета-функцию Римана. А именно, функции вида:
F (s) = X ^(n)n~s; С1)
1
где х: N ! T, T = {z 2 C: |z| = 1},- вполне мультипликативная функция, т. е. такая что x(nm) = х(п)х(т) ". /// 2 N. Будем называть такую функцию обобщенной дзета-функцией по Сейпу (ОДС). При < s > 1 этот ряд сходится абсолютно и задает аналитическую функцию, при х = 1 она совпадает с дзета-функцией Римана. Одна из возможных точек зрения на дзета-функцию Римана состоит в рассмотрении ее как элемента класса рядов Дирихле, отвечающих различным функциям х- При такой точке зрения естественным становится вопрос о нулях и полюсах продолжения функции F за прямую 1
F (s) = П rd^-
Из этого представлени немедленно вытекает, что функция F не имеет нулей в полуплоскости 1.
Изучение дзета-функций вида (1) было начато X. Хелсоном, который в 1969 году показал [2], что при почти всех значениях характера х функция F анадитична в полуплоскости 1/2 и не имеет нулей при 'h's > 1/2. Плчти всюду в этом утверждении относится к характерам, параметризованным последовательностью {х(р)} T1, и подразумевает стандартную меру произведения для тора T1. Сравнительно недавно было показано [4], что для почти всех характеров х функция F не допускает мероморфного продолжения в полуплоскость а с каким-либо а < 1/2, и в этом смысле результат Хелсона неулучшаем.
Будем считать, что функция F продолжается мероморфно хотя бы до прямой Res = 2, В работе К. Сейпа исследовался вопрос о том, каким может быть множество нулей функции F. В терминах задачи Хелсона это вопрос о структуре аналитического продолжения для характеров из исключительного с точки зрения теории меры множества. Легко видеть, что никакой аналог гипотезы Римана для нулей функции F не справедлив. В [1] было gOKasano, что множество нулей в полосе 2 <
Теорема 1. [1, Theorem 1.4] (i) Для любого множества нулей и полюсов в полосе 2 <
(И) Для, любого локально конечного множества O в поло се 4 < 1 —
Любопытно отметить, что, если гипотеза Римана справедлива, утверждение пункта (ii) этой теоремы справедливо при произвольном е > 0, а при некоторых еще более сильных гипотезах о регулярности распределения простых чисел и при е = 0.
К. Сейпом был задан естественный вопрос - верно ли, что для любого докально конечного множества нулей и полюсов в полосе 20 << s < 40 существует ОДС с ровно такими нулями и полюсами?
Данная работа имеет цель доказать чуть более слабую версию этого утверждения. Справедлива следующая
Теорема 2. 1) Для любого е > 0 и любом, локально конечного множества нулей и полюсов в полосе 20 + е <
2) Если гипотеза Римана, верна, то для, любого е > 0 и любом, локально конечного множества нулей и полюсов в полосе 4 + е <
Мы приведем доказательство только первого пункта, доказательство второго аналогично.
В работе приведено доказательство первого пункта Теоремы 2, изложенной во Введении. Для доказательства версии теоремы в условии гипотезы Римана следует доказать аналог Леммы 1 сходным способом.
