Фреймы Габора для рациональных функций

1 Введение 3
1.1 Анализ Габора 3
1.2 Обозначения и структура работы 6
2 Интегральное неравенство 7
3 Достаточное условие фреймовости 10
3.1 Достаточное условие фреймовости для рациональных функций степени 2 10
3.2 Достаточное условие фреймовости для рациональных функций степени 3 13
3.3 Достаточное условие фреймовости для рациональных функций степени 4 14
4 Рациональные функции степени 2 16
5 Рациональные функции степени 3 17
6 Рациональные функции степени 4 20
Список литературы 22
Купить

Одна из классических задач гармонического анализа — восстановление функ­ции (сигнала) f 2 L2(R) по серии измерений (сэмплов) (f, hn), где hn - подходя­щий набор гармоник. В первую очередь мы потребуем, чтобы было выполнено свойство единственности, (f, en) = 0 ) f = 0. Другое ключевое требование - устойчивость процедуры восстановления (малые изменения последовательно­сти данных (f,hn) соответствуют малым изменениям f). Это приводит нас к следующему определению:
Определение 1. Система векторов E = {uj g в гильбертовом пространстве H называется фреймом, если существуют некоторые константы 0 < a < A < 1 такие, что
allfll2 < EKf,Uj)l2 < Allfll2 (1)
для любой функции f 2 H.
1.1 Анализ Габора
Важный конкретный пример системы гармоник - системы Габора. Для описа­ния систем Габора определим частотно-временной сдвиг.
Определение 2. Пусть g 2 L2(R) и s,t 2 R. Тогда функция
gs,t(x) = e2msxg(x - t).
называется частотно-временным сдвигом функции g.
Пусть задана решетка Л С R2 и некоторая функция g 2 L2(R). Можно определить систему Габора, порожденную решеткой Л и функцией g:
Определение 3. Система частотно-временных сдвигов G(g, Л), где
G(g;Л) = {ga,b(x): (a,b) = л 2 Лд;
называется системой Габора.
Следовательно, если для системы Габора G(g, Л) выполнено условие (1) для любой функции f 2 L2(R), то она фрейм.
Главный вопрос анализа Габора:
Вопрос 1. Какие пары (g, Л) порождают фрейм в пространстве L2(R)?
В такой общности вопрос выглядит очень сложным. В частности, полный ответ известен лишь для гауссовской функции g(x) = e~^x , (и ее очевидных модификаций - растяжение, сдвиг, модуляция). Данный результат был описан К. Сейпом в работе [2]. Поэтому естественно сузить класс рассматриваемых частотно-временных сдвигов Л. Мы будем рассматривать в качестве Л только прямоугольные решетки:
Л = aZ х £Z,
где a, G > 0.
Еще одно важное понятие в анализе Габора — это фрейм множество для функции g 2 L2(R).
Определение 4. Пусть g 2 L2(R). Тогда множество
F(g) = {(a, b) : Л = aZ + bZ, G(g, Л) — фрейм}
называется фрейм множеством для функции g.
Рассмотрим теорему 7.5.1 из [1]:
Теорема 1. Система Габора G(g,a,fi) фрейм в L2(R), тогда а@ < 1.
Таким образом, F(g) С {а,@ : п> < 1} для любой функции g 2 L2(R), то есть {а,@ : а@ < 1} — максимальное фрейм множество.
Лишь для очень узкого класса функций g 2 L2 (R) известно полное описание множества F. Рассмотрим конкретные примеры:
• для гауссиана (gi(t) = e-^2), гиперболического секанса (g2(t) = (e* + e-t)-1), экспоненциальной функции (g3(t) = e-jtj) фрейм множества сов­падают и имеют следующий вид:
F(gk) = {(a,fi) 2 R+ : а$ < 1};
• для односторонней экспоненциальной функции (g(t) = e-tyR+ (t)) фрейм множество:
F(g) = {(а, ft) 2 R+ : а^ < 1}.
Также рассмотрим класс тотально положительных функций.
Определение 5. Непостоянная измеримая функция g : R ! R называется тотально положительной функцией, если для любых последовательностей
Х1 <Х2 < ... < Xn , yi <У2 < ... < yN,
где xk,yk 2 R и n 2 N, выполнено условие
D = det [g(xj - yk)]i 0.
В работе [5] И. Шенберг получил эквивалентное описание тотально положи­тельных функций:
Теорема 2. Функция g : R ! R — тотально положительная функция тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье представимо в виде:
^=1
7 > 0, 5,5V 2 R.
Определение 6. Мы будем говорить, что функция g тотально положитель­ная функция конечного типа M, если
g(& = П(1 + 2^i5^
V=1
5V 2 R.
В статье [3] доказывается следующая теорема для тотально положительных функций:
Теорема 3. Пусть g 2 L2 (R) — тотально положительная функция конечного типа > 2. Тогда
F(g) = {(а,£) 2 R+ : (Д < 1}.
Другими словами, система Габора G(g,oi,ft) фрейм тогда и только тогда, ко­гда оД < 1.
Аналогичный результат был описан в статье [4] для g — тотально положи­тельных функций гауссовского типа:
Определение 7. Функция g называется тотально положительной функцией гауссовского типа, если она представима в виде
g(o = П(1 + 2^ х1^2,
V =1
где 5V 2 R, M > 2 и c > 0.
Для этого класса функций известен следующий результат:
Теорема 4. Пусть g — тотально положительная функция гауссовского ти­па. Тогда система Габора G(g,a,ft) фрейм тогда и только тогда, когда оД < 1.
Мы будем рассматривать только системы Габора, порожденные рациональ­ными функциями g. Очевидно, что, если g не имеет кратных полюсов, то
N
X ak
g(x) X ——.
ДД X — i!k
Недавно Ю. Белов, Ю. Любарский и А. Куликов доказали следующий ре­зультат для рациональных функций:
Теорема 5. Пусть g — рациональная функция такая, что
ak > 0,wk > 0.
Тогда система Габора G(g,a,fi) фрейм тогда и только тогда, когда оД < 1.
Пользуясь идеями из работы Ю. Белова, Ю. Любарского и А. Куликова мы докажем аналогичный результат для рациональных функций степени два:
Теорема 6. Пусть g — рациональная функция степени 2 и
ащ2^!1 e%! + a2e2^!2e!1 = 0, < > 0.
Тогда система G(g,a,fi) фрейм тогда и только тогда, когда оД < 1.
А также приведем серию контрпримеров для рациональных функций малых степеней:
Пример 1. Пусть а = 352, fi = 1 и
-1.59.. + 0.38..i -0.26.. + 0.66..i 1
x - i(—0.84.. - 0.84..i) + x - i(-0.92.. + 0.48..i) + x - i(-0.96.. - 0.24..i)'
Тогда G(f, 3-p-2, 1) не фрейм.
Пример 2. Пусть а = 352, fi = 1 и
0.11.. + 0.08..i -0.19.. + 0.11..i -0.74.. + 0.42..i 1
x - 0.85.. - 1.00..i+ x - 0.9.. + 0.75..i+ x - 0.95.. - 0.15..i+ x - 1.00.. + 0.55..i'
Тогда G(f, 3p-2, 1) не фрейм.
Вообще говоря, это первые нетривиальные примеры систем Габора G(g, а, fi), afi < 1 с иррациональным параметром afi.
1.2 Обозначения и структура работы
В данной работе мы будем обозначать скалярное произведение в гильбертовом пространстве как (•, •). Также мощность некоторого множества J мы будем обо­значать как | J|. Дробную часть числа £ — {£}. Сравнение f (x) х g(x) означает, что существуют константы 0 < c < C < 1 такие, что
cg(x) < f (x) < Cg(x).
Опишем структуру этой работы. В параграфе 2 мы выведем интеграль­ное неравенство, которое эквивалентно (1) и и предъявим достаточное условие фреймовости в параграфе 3. Более подробно мы рассмотрим случай для N = 2 (в параграфе 4). Для N = 3 и N = 4 приведем примеры систем Габора, порож­денных рациональными функциями, которые не фрейм, последние результаты описаны в параграфах 5 и 6 соответственно.
Купить