Проверка статистических гипотез - одна из основных задач математической статистики. Классическими разделами проверки гипотез принято считать проверку согласия, проверку симметрии, проверку однородности, проверку независимости и проверку случайности [14]. В настоящей работе мы уделяем главное внимание проверке симметрии, где на основании выборки проверяется симметричность генеральной плотности распределения, а также проверке однородности, где на основании двух выборок проверяется их принадлежность к одному и тому же распределению.
В центре наших интересов лежит интегральный критерий симметрии, основанный на Lx-расстоянии для ядерных оценок плотностей. Этот критерий был предложен в 2006 г. в статье французских статистиков Берраху и Луани [8]. Авторы нашли большие уклонения критериальной статистики при гипотезе симметрии, вычислили ее бахадуровскую эффективность для альтернативы сдвига в случае простейших распределений и исследовали вопрос о ее локальной асимптотической оптимальности.
Однако далее эта статистика никем не исследовалась. Нас интересует вопрос о том, какова ее локальная бахадуровская эффективность для других альтернатив (скошенных, лемановских, загрязнения), а также вопрос о сравнении рассматриваемой статистики с другими известными критериями симметрии.
В 2009 г. испанские математики Мартинес-Камблор, Корраль и Лопес [12] опубликовали статью, аналогичную работе Берраху и Луани, но для проверки однородности двух выборок. Помимо нахождения больших уклонений и вычисления бахадуровских локальных точных наклонов для альтернативы сдвига, они сравнили свой критерий со знаменитым критерием инверсий Манна-Уитни. Мы дополняем их работу вычислением бахадуровской асимптотической эффективности для других альтернатив и сравнением с другими критериями. Наша работа позволяет оценить практическую работоспособность рассматриваемых критериев в той или иной модельной ситуации.
Вычислив локальные бахадуровские эффективности последовательности статистик Vn для различных альтернатив и распределений, мы пришли к выводу, что данный критерий является весьма работоспособным и перспективным тестом не только для проверки симметрии, но и для проверки однородности, но при альтернативе сдвига, что должно позволить использовать его в прикладных целях. В остальных рассмотренных случаях, при других типах альтернатив, эффективность не была столь велика. Однако даже полученных результатов должно хватить, чтобы вызвать определённый интерес к дальнейшему изучению критерия симметрии, основанного на статистике Vn, ибо ранее, кроме работы Берраху-Луани [8], где он был введён, он не исследовался. То же относится и к аналогичному критерию однородности.
