1 Введение 3
2 Постановка задачи 4
3 Постановка задачи в пограничном слое 7
3.1 Используемые системы координат 7
3.2 Падающая волна в координатах N и S 8
3.3 Разложение оператора Гельмгольца в ряд по степеням большого параметра 9
3.4 Постановка задачи в координатах N и S 9
4 Построение u°h 10
4.1 Построение w 11
4.2 Построение v 11
4.2.1 Случай, когда полюс и критическая точка фазы далеки 12
4.2.2 Сшивка вне переходной зоны 13
4.2.3 Случай, когда полюс и критическая точка фазы близки 14
4.3 Поле в переходной зоне 15
4.4 Сшивка в переходной зоне 17
5 Заключение 17
Приложение A 18
Список литературы 19
Купить

Структура высокочастотных полей в дифракционных задачах описывается гео­метрической теорией дифракции (ГТД), впервые отчетливо сформулированной Кел­лером [1]. Вклад в поле дают лучи, геометрооптически отраженные от гладких частей границы и дифрагированные точками ее негладкости. В продвинутых версиях ГТД (например, [2]) рассматриваются поля в переходных зонах (в частности, в полутени), где фазы отраженных и дифрагированных волн сближаются и эти волны теряют индивидуальность. Там поля описываются спецфункциями, удовлетворяющими па­раболическому уравнению: интеграл Френеля в полутени клина, интегралы Фока в полутени гладкого выпуклого тела [3], [4], [5], функция параболического цилиндра со значком —3/2 в полутени конуса [6].
Поля дифрагированных волн Келлер предлагал брать из эталонных задач, допус­кающих разделение переменных. Задача о дифракции на разрыве кривизны давно привлекала внимание исследователей не только возможными приложениями, но и тем, что эталонной задачи для нее нет. До сих пор исследования этой задачи осно­вывались, в сущности, на методе Кирхгофа [2]. Суть его заключается в применении формулы Грина, где в качестве значения поля на контуре берется геометрооптиче­ское значение полного поля.
Дифракция волны, распространяющейся вдоль плоской границы (с условием Ней­мана), переходящей в параболу в ее вершине, где кривизна испытывает скачок, впер­вые была рассмотрена А.В. Поповым [7]. Позже задачи с касательным падением ис­следовали Н.Я. и А.С. Кирпичниковы и В.Б. Филиппов [8], [9], [10], [11], которые использовали специфический вариант метода Кирхгофа. Они изучали дифракцию волны соскальзывания и волн шепчущей галереи на изогнутой границе, имеющей скачок кривизны, для граничных условий Дирихле и Неймана. Этот анализ был обобщен ими на случай упругой среды [11]. В работе Каминецкого и Келлера [12] исследована дифракция в случае некасательного падения волны на криволинейную границу с изолированной точкой, в которой имеет скачок кривизна или даже ее про­изводная некоторого порядка. Используя один из вариантов метода Кирхгофа, они получили выражения для дифрагированной волны; однако, было опущено обсужде­ние волнового поля в непосредственной близости направления отражения. Нестаци­онарный подход к этой проблеме, родственный методу Кирхгофа, разработал (для идеальных граничных условий) А.Ф. Филиппов [13]. А.П. Киселев и З.М. Рогофф в [14] с помощью метода Кирхгофа исследовали влияние импеданса на дифракцию цилиндрической волны (на контуре со скачком кривизны), интересуясь полем в пе­реходной области.
В настоящей работе к задаче о разрыве кривизны впервые применяется после­довательный метод пограничного слоя. Под методом пограничного слоя понимают технику, основанную на локальном изучении исходной задачи в некоторой малой (или тонкой) области, окружающей особенность решения, обычно с применением растянутых переменных. Затем это погранслойное решение сшивается (говорят еще: сращивается) с решением вне окрестности особенности. Полезность техники погра­ничного слоя в высокочастотных задачах теории дифракции впервые, по-видимому, отмечена в [15]. Единообразное систематическое изложение большого числа приме­ров дали Бабич и Кирпичникова [16]. В частности, в общую схему включен метод параболического уравнения, восходящий к [3], [4].
В нашей задаче естественно выделяются два пограничных слоя. Один окружает точку разрыва кривизны границы (здесь естественно растяжение декартовых ко­ординат в к раз и разложение кривизны в ряд), другой окружает геометрически отраженный луч, и в нем естественным является метод параболического уравнения.
Цель настоящей работы - построение (в главном порядке) формул для волны, дифрагированной точкой разрыва кривизны, и для поля в переходной области. Рас­сматривается некасательное падение плоской волны и некасательные направления наблюдения. Найденное выражение для дифрагированной волны согласуется с по­лученным в работах [7], [12]. Найденное выражение для поля в переходной области содержит функцию параболического цилиндра со значком —3, не встречавшуюся ранее при решении задач дифракции. Оно растет пропорционально расстоянию от точки разрыва.
Купить