1 Введение 3
2 Постановка задачи 4
3 Постановка задачи в пограничном слое 7
3.1 Используемые системы координат 7
3.2 Падающая волна в координатах N и S 8
3.3 Разложение оператора Гельмгольца в ряд по степеням большого параметра 9
3.4 Постановка задачи в координатах N и S 9
4 Построение u°h 10
4.1 Построение w 11
4.2 Построение v 11
4.2.1 Случай, когда полюс и критическая точка фазы далеки 12
4.2.2 Сшивка вне переходной зоны 13
4.2.3 Случай, когда полюс и критическая точка фазы близки 14
4.3 Поле в переходной зоне 15
4.4 Сшивка в переходной зоне 17
5 Заключение 17
Приложение A 18
Список литературы 19
Структура высокочастотных полей в дифракционных задачах описывается геометрической теорией дифракции (ГТД), впервые отчетливо сформулированной Келлером [1]. Вклад в поле дают лучи, геометрооптически отраженные от гладких частей границы и дифрагированные точками ее негладкости. В продвинутых версиях ГТД (например, [2]) рассматриваются поля в переходных зонах (в частности, в полутени), где фазы отраженных и дифрагированных волн сближаются и эти волны теряют индивидуальность. Там поля описываются спецфункциями, удовлетворяющими параболическому уравнению: интеграл Френеля в полутени клина, интегралы Фока в полутени гладкого выпуклого тела [3], [4], [5], функция параболического цилиндра со значком —3/2 в полутени конуса [6].
Поля дифрагированных волн Келлер предлагал брать из эталонных задач, допускающих разделение переменных. Задача о дифракции на разрыве кривизны давно привлекала внимание исследователей не только возможными приложениями, но и тем, что эталонной задачи для нее нет. До сих пор исследования этой задачи основывались, в сущности, на методе Кирхгофа [2]. Суть его заключается в применении формулы Грина, где в качестве значения поля на контуре берется геометрооптическое значение полного поля.
Дифракция волны, распространяющейся вдоль плоской границы (с условием Неймана), переходящей в параболу в ее вершине, где кривизна испытывает скачок, впервые была рассмотрена А.В. Поповым [7]. Позже задачи с касательным падением исследовали Н.Я. и А.С. Кирпичниковы и В.Б. Филиппов [8], [9], [10], [11], которые использовали специфический вариант метода Кирхгофа. Они изучали дифракцию волны соскальзывания и волн шепчущей галереи на изогнутой границе, имеющей скачок кривизны, для граничных условий Дирихле и Неймана. Этот анализ был обобщен ими на случай упругой среды [11]. В работе Каминецкого и Келлера [12] исследована дифракция в случае некасательного падения волны на криволинейную границу с изолированной точкой, в которой имеет скачок кривизна или даже ее производная некоторого порядка. Используя один из вариантов метода Кирхгофа, они получили выражения для дифрагированной волны; однако, было опущено обсуждение волнового поля в непосредственной близости направления отражения. Нестационарный подход к этой проблеме, родственный методу Кирхгофа, разработал (для идеальных граничных условий) А.Ф. Филиппов [13]. А.П. Киселев и З.М. Рогофф в [14] с помощью метода Кирхгофа исследовали влияние импеданса на дифракцию цилиндрической волны (на контуре со скачком кривизны), интересуясь полем в переходной области.
В настоящей работе к задаче о разрыве кривизны впервые применяется последовательный метод пограничного слоя. Под методом пограничного слоя понимают технику, основанную на локальном изучении исходной задачи в некоторой малой (или тонкой) области, окружающей особенность решения, обычно с применением растянутых переменных. Затем это погранслойное решение сшивается (говорят еще: сращивается) с решением вне окрестности особенности. Полезность техники пограничного слоя в высокочастотных задачах теории дифракции впервые, по-видимому, отмечена в [15]. Единообразное систематическое изложение большого числа примеров дали Бабич и Кирпичникова [16]. В частности, в общую схему включен метод параболического уравнения, восходящий к [3], [4].
В нашей задаче естественно выделяются два пограничных слоя. Один окружает точку разрыва кривизны границы (здесь естественно растяжение декартовых координат в к раз и разложение кривизны в ряд), другой окружает геометрически отраженный луч, и в нем естественным является метод параболического уравнения.
Цель настоящей работы - построение (в главном порядке) формул для волны, дифрагированной точкой разрыва кривизны, и для поля в переходной области. Рассматривается некасательное падение плоской волны и некасательные направления наблюдения. Найденное выражение для дифрагированной волны согласуется с полученным в работах [7], [12]. Найденное выражение для поля в переходной области содержит функцию параболического цилиндра со значком —3, не встречавшуюся ранее при решении задач дифракции. Оно растет пропорционально расстоянию от точки разрыва.
Мы изучили асимптотическое поведение дифрагированной волны при kr ->оо по всем направлениям рассеяния.
Развитая техника переносится на задачи с разрывом кривизны более высоких порядков, а также на случай гельдеровой кривизны.
[1] J. B. Keller, Geometrical theory of diffraction, J. Opt. Soc. Am., 52, 116-130 (1962).
[2] В. А. Боровиков, Б. Е. Кинбер, Геометрическая теория дифракции, «Связь», Москва (1978).
[3] М. А. Леонтович, Об одном методе решения задач о распространении электро-магнитных волн вдоль поверхности земли, Изв. АН СССР. Сер. Физ., 8(1), 16-22 (1944).
[4] М. А. Леонтович, В. А. Фок, Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения, ЖЭТФ, 16(7), 557-573 (1946).
[5] В. А. Фок, Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, «Советское радио», Москва (1970).
[6] A. Popov, A. Ladyzhensky, S. Khozioski, Uniform Asymptotics of the Wave Diffracted by a Cone of Arbitrary Cross Section, Russian Journal of Mathematical Physics, 16, 296-299 (2009).
[7] А. В. Попов, Обратное рассеяние от линии разрыва кривизны, Труды V Всес. сим- поз. по дифр. и распр. волн, 171-175 (1971).
[8] Н. Я. Кирпичникова, В. Б. Филиппов, Дифракция волны шепчущей галереи вблизи линии разрыва кривизны, Зап. научн. сем. ПОМИ, 239, 95-109 (1997).
[9] N. Ya. Kirpichnikova, V. B. Philippov, Diffraction of creeping waves by a jump of curvature of a boundary of a conducting body, Proceedings of the Day of Diffraction ’97, 53-58 (1997).
[10] Н. Я. Кирпичникова, В. Б. Филиппов, А. С. Кирпичникова, Дифракция волн со-скальзывания от линии скачка кривизны. (Акустическая трехмерная среда), Зап. научн. сем. ПОМИ, 257, 5-92 (1999).
[11] Н. Я. Кирпичникова, В. Б. Филиппов, Поведение поверхностных волн при переходе через линию сопряжения на границе упругого однородного изотропного тела, Зап. научн. сем. ПОМИ, 230, 86-102 (1995).
[12] L. Kaminetzky, J. B. Keller, Diffraction coefficients for hier order edges and vertices, SIAM J. Appl. Math., 22, 109-134 (1972).
[13] А. Ф. Филиппов, Отражение от границы, состоящей из дуг различной кривизны, Прикладная математика и механика, 34, 1076-1084 (1971).
[14] Z. M. Rogoff, A. P. Kiselev, Difraction at jump of curvature on an impedance boundary, Wave Motion, 33, 183-208 (2001).
[15] R. N. Buchal, J. B. Keller, Boundary layer problems in diffraction theory, Comm. Pure Appl. Math, 13, 85-114 (1960).
...