Тема: Высокочастотная дифракция на контуре с негладкой кривизной

Структура высокочастотных полей в дифракционных задачах описывается гео­метрической теорией дифракции (ГТД), впервые отчетливо сформулированной Кел­лером [1]. Вклад в поле дают лучи, геометрооптически отраженные от гладких частей границы и дифрагированные точками ее негладкости. В продвинутых версиях ГТД (например, [2]) рассматриваются поля в переходных зонах (в частности, в полутени), где фазы отраженных и дифрагированных волн сближаются и эти волны теряют индивидуальность. Там поля описываются спецфункциями, удовлетворяющими па­раболическому уравнению: интеграл Френеля в полутени клина, интегралы Фока в полутени гладкого выпуклого тела [3], [4], [5], функция параболического цилиндра со значком —3/2 в полутени конуса [6].
Поля дифрагированных волн Келлер предлагал брать из эталонных задач, допус­кающих разделение переменных. Задача о дифракции на разрыве кривизны давно привлекала внимание исследователей не только возможными приложениями, но и тем, что эталонной задачи для нее нет. До сих пор исследования этой задачи осно­вывались, в сущности, на методе Кирхгофа [2]. Суть его заключается в применении формулы Грина, где в качестве значения поля на контуре берется геометрооптиче­ское значение полного поля.
Дифракция волны, распространяющейся вдоль плоской границы (с условием Ней­мана), переходящей в параболу в ее вершине, где кривизна испытывает скачок, впер­вые была рассмотрена А.В. Поповым [7]. Позже задачи с касательным падением ис­следовали Н.Я. и А.С. Кирпичниковы и В.Б. Филиппов [8], [9], [10], [11], которые использовали специфический вариант метода Кирхгофа. Они изучали дифракцию волны соскальзывания и волн шепчущей галереи на изогнутой границе, имеющей скачок кривизны, для граничных условий Дирихле и Неймана. Этот анализ был обобщен ими на случай упругой среды [11]. В работе Каминецкого и Келлера [12] исследована дифракция в случае некасательного падения волны на криволинейную границу с изолированной точкой, в которой имеет скачок кривизна или даже ее про­изводная некоторого порядка. Используя один из вариантов метода Кирхгофа, они получили выражения для дифрагированной волны; однако, было опущено обсужде­ние волнового поля в непосредственной близости направления отражения. Нестаци­онарный подход к этой проблеме, родственный методу Кирхгофа, разработал (для идеальных граничных условий) А.Ф. Филиппов [13]. А.П. Киселев и З.М. Рогофф в [14] с помощью метода Кирхгофа исследовали влияние импеданса на дифракцию цилиндрической волны (на контуре со скачком кривизны), интересуясь полем в пе­реходной области.
В настоящей работе к задаче о разрыве кривизны впервые применяется после­довательный метод пограничного слоя. Под методом пограничного слоя понимают технику, основанную на локальном изучении исходной задачи в некоторой малой (или тонкой) области, окружающей особенность решения, обычно с применением растянутых переменных. Затем это погранслойное решение сшивается (говорят еще: сращивается) с решением вне окрестности особенности. Полезность техники погра­ничного слоя в высокочастотных задачах теории дифракции впервые, по-видимому, отмечена в [15]. Единообразное систематическое изложение большого числа приме­ров дали Бабич и Кирпичникова [16]. В частности, в общую схему включен метод параболического уравнения, восходящий к [3], [4].
В нашей задаче естественно выделяются два пограничных слоя. Один окружает точку разрыва кривизны границы (здесь естественно растяжение декартовых ко­ординат в к раз и разложение кривизны в ряд), другой окружает геометрически отраженный луч, и в нем естественным является метод параболического уравнения.
Цель настоящей работы - построение (в главном порядке) формул для волны, дифрагированной точкой разрыва кривизны, и для поля в переходной области. Рас­сматривается некасательное падение плоской волны и некасательные направления наблюдения. Найденное выражение для дифрагированной волны согласуется с по­лученным в работах [7], [12]. Найденное выражение для поля в переходной области содержит функцию параболического цилиндра со значком —3, не встречавшуюся ранее при решении задач дифракции. Оно растет пропорционально расстоянию от точки разрыва.
Купить

Мы изучили асимптотическое поведение дифрагированной волны при kr ->оо по всем направлениям рассеяния.
Развитая техника переносится на задачи с разрывом кривизны более высоких порядков, а также на случай гельдеровой кривизны.
Купить